自动控制原理 课件-第3章 时域分析法

自动控制原理

第3章时域分析法自动控制原理课程组机械与电子控制工程学院北京交通大学1教学目标（1）能够描述阻尼比及自然振荡角频率对二阶控制系统动态性能的影响。（2）能够准确计算二阶欠阻尼系统的动态性能指标。（重点）（3）能够正确应用动态性能指标分析复杂控制系统的性能。（难点）（4）理解稳定性的概念，并能够应用Routh稳定判据分析线性系统的稳定性。（5）正确理解稳态误差的定义，并能够准确计算扰动稳态误差及给定稳态误差。2引言控制系统研究分析的基本步骤：第一步建立模型（第二章）第二步性能分析（稳、准、快）注意：研究分析针对已有控制器的完整控制系统

控制器综合设计部分在第六章系统性能分析方法包括：时域分析法（本章）根轨迹法（第四章）频域分析法（第五章）34

3.1典型输入信号与控制系统的时间响应53.1.1典型输入信号典型输入信号，是指根据系统常遇到的输入信号形式，在数学描述上加以理想化的一些基本输入函数。阶跃函数脉冲函数斜坡函数抛物线函数正弦函数0常用的典型输入信号包括6（1）阶跃函数当A=1时称为单位阶跃函数，记为拉普拉斯变换为（2）斜坡函数当A=1时称为单位斜坡函数。拉普拉斯变换为0数学表达式数学表达式3.1.1典型输入信号（3）抛物线函数73.1.1典型输入信号当A=1时，称为单位抛物线函数。拉普拉斯变换为（4）正弦函数数学表达式拉普拉斯变换为数学表达式83.1.1典型输入信号（5）脉冲函数当A=1时，称为单位脉冲函数,记为

（t）数学表达式拉普拉斯变换为9分析系统特性究竟采用何种典型输入信号，取决于实际系统在正常工作情况下最常见的输入信号形式。在所有可能的输入信号中,往往选取最不利的信号作为系统的输入信号。同一系统对不同输入信号的输出响应是不同的,但所表征的系统性能是一致的。讨论系统的时域性能时，通常选择单位阶跃信号作为典型输入信号。3.1.1典型输入信号103.1.2控制系统的时间响应控制系统的时间响应:指的是系统在一定输入信号下的输出响应时间响应包括:动态过程+稳态过程动态过程：又称为过渡过程、瞬态过程，是指系统从初始状态到达新的平衡状态的响应过程。稳态过程：是指当时间趋向无穷大时系统的输出状态，它表征系统输出量最终复现输入的程度。允许误差带过渡过程0稳态过程允许误差带过渡过程0稳态过程控制系统的动态性能及稳态性能就是针对这两个阶段分别定义的

3.2控制系统的时域分析11123.2.1一阶系统的时域分析一阶系统的数学模型微分方程拉普拉斯变换结构图传递函数标准形式T为一阶系统的时间常数。一阶系统单位阶跃响应响应曲线在[0，）的时间区间中始终不会超过其稳态值，把这样的响应称为非周期响应。-无振荡稳态输出为13.2.1一阶系统的时域分析一阶系统单位阶跃响应动态性能指标—调节时间3.2.1一阶系统的时域分析表3-1一阶系统的单位阶跃响应t0T2T3T4T…00.6320.8650.950.982…115一阶系统单位斜坡响应当t充分大时，系统跟踪单位斜坡输入信号的误差等于T。T越小，系统跟踪斜坡信号的稳态误差也越小。3.2.1一阶系统的时域分析16一阶系统单位脉冲响应当t充分大时，系统的输出为零。T越小，系统输出衰减越快。单位脉冲响应是单位阶跃响应的导数。3.2.1一阶系统的时域分析17从一阶系统对典型输入信号时间响应可以得到：（1）三个典型输入信号之间存在着积分和微分的关系，它们的时间响应之间也存在着同样的积分和微分的关系；（2）一阶系统的时间响应曲线为单调变化曲线，响应滞后，惯性较大，时间常数T越小，系统响应速度越快。T反映了系统的惯性大小。线性定常系统的重要性质系统对原输入信号导数的响应等于系统对原信号响应的微分;系统对原输入信号积分的响应等于系统对原信号响应的积分.3.2.1一阶系统的时域分析183.2.1一阶系统的时域分析例3-1

一阶系统的结构图如图3-11所示。试求该系统的单位阶跃响应及调节时间。如果要求调节时间（5%误差带），试问系统的反馈系数K（K>0）应该如何选取？图3-11一阶系统结构图193.2.1一阶系统的时域分析解：由系统的结构图可以写出闭环传递函数按5%的误差带考虑，则调节时间为根据闭环传递函数得到一阶系统的时间常数。系统单位阶跃响应为根据题意，若要求，则因此，应选取反馈系数203.2.2二阶系统的时域分析二阶系统的数学模型传递函数微分方程或者表示为—无阻尼自然振荡角频率—阻尼比—时间常数21动态结构图二阶系统的数学模型R(s)Y(s)R(s)Y(s)特征方程特征根（闭环极点）3.2.2二阶系统的时域分析22时域响应函数：二阶系统的分类与单位阶跃响应显然，二阶系统两个特征根分布会直接影响系统的时间响应。二阶系统的单位阶跃响应3.2.2二阶系统的时域分析阻尼比不同特征根的类型不同时域响应不同23二阶系统的分类根据系统阻尼比的取值范围可以将二阶系统进行划分：类型1：过阻尼（）类型2：临界阻尼（）类型3：欠阻尼（）类型4：无阻尼（）类型5：负阻尼（）3.2.2二阶系统的时域分析不同类型二阶系统的极点分布与阶跃响应规律类型1：过阻尼（）两个不相等的负实根特征根分布图阶跃响应图jωs1s2[s平面]单位阶跃响应3.2.2二阶系统的时域分析24响应会振荡吗？单调收敛稳定25类型2：临界阻尼（）特征根分布图阶跃响应图jωs1=s2两个相等的负实根单位阶跃响应3.2.2二阶系统的时域分析特征根：单调收敛稳定26类型3：欠阻尼（）特征根分布图两个具有负实部的共轭复根单位阶跃响应

=cos

0

s1

ωn-

n

s2

j

d

（阻尼振荡角频率）（阻尼角）3.2.2二阶系统的时域分析振荡收敛稳定阶跃响应图稳态分量瞬态分量27类型4：无阻尼（）两个共轭纯虚根jωs2s1单位阶跃响应特征根分布图阶跃响应图3.2.2二阶系统的时域分析等幅振荡临界稳定振幅还会变化吗？特征根：28类型5：负阻尼（）3.2.2二阶系统的时域分析时振荡发散不稳定具有正实部的共轭复根单位阶跃响应：

为阻尼角特征根：j029类型5：负阻尼（）两个具有正实部的共轭复根或正实根jωs2s1jωs2s1特征根分布图单位阶跃响应阶跃响应呈现发散，表明系统处于不稳定状态。3.2.2二阶系统的时域分析负阻尼振荡发散小结--二阶控制系统的动态性能与阻尼比的关系5.过阻尼4.临界阻尼3.欠阻尼2.无阻尼单调收敛单调收敛振荡收敛等幅振荡不稳定临界稳定稳定稳定稳定303.2.2二阶系统的时域分析

随着阻尼比的增大，系统由振荡发散的不稳定状态逐渐变为振荡或单调收敛的稳定状态。313.2.2二阶系统的时域分析

在不同的阻尼比下，二阶系统的阶跃响应有很大的差别。当阻尼比小于零时，系统无法正常工作。当阻尼比大于1时，系统的响应过慢。对二阶系统来讲，综合考虑系统响应的平稳性和快速性，欠阻尼情况是最有实际意义的，一般选择在0.40.8之间。

称为二阶系统最佳工程参数。小结—二阶系统的分类与单位阶跃响应32欠阻尼二阶系统动态性能指标计算动态性能指标包括：上升时间峰值时间最大超调量调节时间欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应为3.2.2二阶系统的时域分析33欠阻尼二阶系统动态性能指标计算指标1：上升时间

（指的是系统阶跃响应第1次到达稳态值的时间）3.2.2二阶系统的时域分析上升时间

越大，越长34欠阻尼二阶系统动态性能指标计算指标1：上升时间

（指的是系统阶跃响应第1次到达稳态值的时间）令当一定时，越大，越长3.2.2二阶系统的时域分析（k=0,1,2……）35指标2：峰值时间（指的是系统阶跃响从零开始到达第1个峰值所需要的时间）欠阻尼二阶系统动态性能指标计算令当一定时，越大，越长3.2.2二阶系统的时域分析峰值时间36欠阻尼二阶系统动态性能指标计算指标3：最大超调量（指的是响应过程中，输出量超过稳态值的最大偏差与稳态值的百分比）最大超调量仅与阻尼比相关，和自然频率无关；越大，超调量越小，响应越平稳。

3.2.2二阶系统的时域分析AB超调量

=AB100%

37欠阻尼二阶系统动态性能指标计算指标3：最大超调量（指的是响应过程中，输出量超过稳态值的最大偏差与稳态值的百分比）3.2.2二阶系统的时域分析典型阻尼比与系统超调量如果阻尼比选在0.4至0.8之间，那么阶跃响应的最大超调量将控制在25.4%至1.5%之间。0.10.20.30.40.50.60.70.7070.80.972.9%52.7%37.2%25.4%16.3%9.48%4.6%4.3%1.5%0.15%最佳阻尼比二阶最佳工程参数38欠阻尼二阶系统动态性能指标计算指标4：调节时间（指的是阶跃响应到达并保持在终值5%或2%误差带内所需的最短时间，又称为过渡过程时间。）3.2.2二阶系统的时域分析调节时间误差范围调节时间综合反映快速性和平稳性

越大，越短39欠阻尼二阶系统动态性能指标计算指标4：调节时间（指的是阶跃响应到达并保持在终值5%或2%误差带内所需的最短时间，又称为过渡过程时间。）用幅值包络线近似求解调节时间令(=5%)（=2%）10（包络线）t当一定时，越大，越小3.2.2二阶系统的时域分析40调节时间及超调量是最重要的两个动态性能指标。小结—二阶欠阻尼控制系统的动态性能指标3.2.2二阶系统的时域分析413.2.2二阶系统的时域分析例3-2考虑如图所示的单位负反馈控制系统，当给定输入为单位阶跃函数时，要求：（1）当K=20时，

计算系统的动态性能指标，，（按5%误差带）。（2）若调整K=100，对系统动态性能有何影响？系统结构图不同K值下的单位阶跃响应曲线调节时间为423.2.2二阶系统的时域分析解：（1）系统的闭环传递函数为

将K=20代入上式，得与标准形式的二阶系统传递函数形式对比，可得故峰值时间为最大超调量为（按5%误差带）433.2.2二阶系统的时域分析解：（2）若K增大到100，可以计算出则可见，增大放大系数K，使得阻尼比减小而固有频率增大，峰值时间提前，最大超调量显著增大，但调节时间并无多大变化。443.2.2二阶系统的时域分析（1）Kk=4时，自然振荡角频率、阻尼比？（2）超调量和调节时间？（3）如果要求阻尼比为0.707，应怎样改变Kk【例】有如下系统：453.2.2二阶系统的时域分析【解】与标准二阶系统传递函数比较，可得：即，，因此（1）当Kk=4时，自然振荡角频率和阻尼比分别为：（2）（3）由，设闭环传递函数变风量空调节能性好，已得到广泛应用。已知某型号空调系统的末端装置风阀和房间调节通道的放大系数和时间常数分别为。若要求系统阶跃响应温度超调量为，估算此时温度误差达到设定值2%范围内所需的调节时间。由超调量计算出阻尼比调节时间计算公式动态性能分析实例应用：空调温度控制系统性能指标分析解：系统的闭环传递函数为与二阶系统传递函数标准型对比计算可得根据超调量计算公式，可得阻尼系数代入已知的空调参数，可得控制系数根据自然频率计算公式，可得代入调节时间计算公式，可得动态性能分析实例应用：空调温度控制系统性能指标分析变风量空调节能性好，已得到广泛应用。已知某型号空调系统的末端装置风阀和房间调节通道的放大系数和时间常数分别为。若要求系统阶跃响应温度超调量为，估算此时温度误差达到设定值2%范围内所需的调节时间。483.2.3高阶系统的时域分析

设高阶系统的闭环传递函数为

写成零、极点形式

-zi(i=1,2……m)—闭环零点-pj(j=1,2……n)—闭环极点（

闭环零、极点为实数或共轭复数）

用三阶或三阶以上微分方程所描述的系统称为高阶系统。49如果高阶系统的闭环极点均位于左半复平面，为实数且各不相同，则该系统的单位阶跃响应为稳态分量瞬态分量结论1：所有瞬态响应分量都将随着时间的增长按指数规律单调衰减于零。闭环极点离虚轴越远，其对应的瞬态响应分量衰减越快，反之，则衰减越慢。

高阶系统的阶跃响应3.2.3高阶系统的时域分析50闭环极点如果高阶系统的闭环极点有实数和共轭复数，且均位于左半复平面则该系统的单位阶跃响应为结论2：瞬态响应分量含有指数函数分量和正弦函数分量。当闭环极点均位于左半复平面时，这些瞬态响应分量均随着时间的增长而趋于零。闭环极点离虚轴越远，其对应的瞬态响应分量衰减越快，反之，则衰减越慢。

高阶系统的阶跃响应3.2.3高阶系统的时域分析513.2.3高阶系统的时域分析【例1】求如下系统的阶跃响应思考：1.该系统的极点是？极点类型？分布？2.该系统阶跃响应输出的拉式变换是？3.阶跃响应时域表达式？主导极点概念-1-10总结：极点-1靠近虚轴，影响较大，成为主导系统性能的极点极点-1极点-10结论：极点-1主导性能主导极点定义1：实部绝对值小于其他的五分之一。3.2.3高阶系统的时域分析3.2.3高阶系统的时域分析【例2】求如下系统的阶跃响应思考：1）该系统极点、零点如何分布?与前例区别3.2.3高阶系统的时域分析解：主导极点定义2：实部绝对值小于其他的五分之一，且附近无零点的极点。总结：极点-1靠近虚轴，但附近有零点，不能主导系统性能结论：未有主导性能的极点55

闭环主导极点在稳定的高阶系统中，对其时间响应起主导作用的闭环极点，称为主导极点。闭环主导极点满足（1）距离虚轴的距离较近，且附近不存在零点；（2）其实部的绝对值比其他极点的实部绝对值小5倍以上。

偶极子高阶系统中一对靠得很近的零点和极点，称为偶极子。偶极子的作用相互抵消。应用主导极点和偶极子的概念，可以把一些高阶系统近似为一阶或二阶系统。3.2.3高阶系统的时域分析563.2.3高阶系统的时域分析56(s2+2s+5)(s+6)30Φ1(s)=(s2+2s+5)5Φ2(s)=σ%=19.1%ts=3.89sσ%=20.8%ts=3.74ss1,2=-1±j4；s3=-6573.2.3高阶系统的时域分析例3-3

已知某反馈系统的闭环传递函数为解：根据闭环传递函数可知，该三阶系统存在一对共轭复数极点和一个远离虚轴的实极点。试估算系统的动态性能。显然，可看成这个三阶系统的一对主导极点，远离虚轴的实极点为非主导极点，其影响可忽略。因此，可将该系统近似为如下形式的二阶系统对于近似后的二阶系统，有和阻尼比583.2.3高阶系统的时域分析根据典型二阶系统的动态性能指标计算公式得降阶前后系统的单位阶跃响应曲线如图所示。由图可知，两个系统虽然存在误差，但近似后的二阶系统基本上反映了原系统的动态性能。图3-19降阶前后系统的单位阶跃响应59

3.3线性系统稳定性分析60本节主要内容：线性定常系统稳定的概念系统稳定的条件和稳定性的判定方法稳定判据的应用3.3线性系统稳定性分析613.3.1线性系统稳定的充分必要条件稳定性的概念稳定性：如果一个系统受到扰动，偏离了原来的平衡状态，而当扰动取消后，这个系统能以足够的准确度逐渐恢复到原来的平衡状态，则称系统是稳定的。否则，称这个系统是不稳定的。稳定性是扰动消失后系统恢复到平衡状态的特性。线性系统稳定性是系统固有特性，只取决于系统自身的结构参数，与外输入无关。62线性系统稳定的充分必要条件稳定是控制系统正常工作的首要条件。分析、判断系统的稳定性，并提出确保系统稳定的条件是控制理论的基本任务之一。稳定的充分必要条件：系统的特征方程的所有根（即系统的闭环极点）都具有负实部，或者说所有闭环特征根都位于左半s平面。3.3.1线性系统稳定的充分必要条件633.3.1线性系统稳定的充分必要条件j

0S平面

64方法1:

求根法求出特征方程的根（即闭环极点），再检验是否都位于左半s平面。判别系统稳定性的方法闭环特征方程直接解方程，手算困难此方法不适合高阶系统的稳定性分析。方法2:

劳斯稳定判据（无需求解特征方程）3.3.1线性系统稳定的充分必要条件方法3:

根轨迹法：s平面绘图法方法5:

李亚普诺夫直接法：稳定的数学定义方法4:

Nyquist稳定性判据：在频域中分析653.3.2Routh稳定判据设闭环系统的特征方程为则使系统稳定的必要条件：

（1）各项系数均不为零。

（2）各项系数具有相同的符号。

若不满足上述条件，可以立即判定系统不稳定，但是满足上述条件，不能直接判定系统是否稳定，可以采用劳斯稳定判据继续进行分析这是系统稳定性的必要条件。不稳定不稳定可能稳定663.3.2Routh稳定判据应用劳斯稳定判据分析线性定常系统稳定性的步骤从第3行开始需要进行逐行计算假设系统特征方程中各项系数均为正

由特征多项式的系数构造劳斯表的头两行设闭环系统的特征方程为根据构造出的劳斯表，由劳斯稳定判据进行稳定性研究。673.3.2Routh稳定判据劳斯表的构造

一直计算到最后一行算完为止。然后判断阵列中第一列系数的符号，若全部大于0,则系统稳定；否则，第一列系数符号改变的次数，就为特征方程在右半s平面根的个数。68

劳斯稳定判据劳斯稳定判据：系统稳定的充分必要条件是劳斯表的第1列元素符号都为正，否则系统不稳定，而且第1列元素符号改变的次数就是系统特征方程中正实部根的个数。3.3.2Routh稳定判据69举例说明【例】已知系统的特征方程为，试用劳斯稳定判据判别系统的稳定性。解：根据已知特征方程系数构造劳斯表劳斯表第1列系数符号改变了两次，表明该系统有2个正实部根，所以系统是不稳定的。3.3.2Routh稳定判据70劳斯稳定判据特殊情况的处理特殊情况1：劳斯表某行第一列元素为零而其余元素不全为零处理方法：用一个很小的正数ε代替零元素参与计算。

s41

1

1

s32

2

s20

1

s1

s0

1

ε【例1】系统特征方程为第一列元素符号改变两次，显然系统不稳定。

3.3.2Routh稳定判据【例】设系统特征方程为：s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0劳斯表s6s5s0s1s2s3s41246357(6－4)/2=1127124635710(6-14)/1=-8-8412例题

第一列出现零元素时，用正无穷小量ε代替。ε7127

-8ε7符号变化两次，有2个根在s右半平面，系统不稳定3.3.2Routh稳定判据72劳斯表为:

s31

1

s22

2

s10

s02

ε>0第一列元素符号没有改变，意味着特征方程存在纯虚根。该系统为临界稳定。【例2】3.3.2Routh稳定判据-2.0000+0.0000i0.0000+1.0000i0.0000-1.0000i73特殊情况1：劳斯表某行第一列元素为零而其余元素不全为零小结:构造劳斯表时，用一个很小的正数ε代替零元素参与计算。若劳斯表第一列元素符号改变m次，则说明特征方程有m个具有正实部的根，系统不稳定。如果位于零（ε）上面的系数符号与位于零（ε）下面的系数符号相同，且第一列中其他元素符号均为正，则表明存在一对共轭纯虚根，系统处于临界稳定状态。3.3.2Routh稳定判据74特殊情况2：劳斯表某行元素全为零说明特征方程存在关于坐标原点对称的根。即存在等值反号的实根或共轭虚根或偶数对共轭复根。处理方法：由全零行的上一行元素构造一个辅助多项式。将辅助多项式对s求导，用其系数代替全零行，继续计算下去。对称于原点的根可以通过求解辅助方程获得。[S][s]3.3.2Routh稳定判据75【例】特征方程为一行为零说明有共轭虚根引入辅助多项式求导得3.3.2Routh稳定判据763.3.2Routh稳定判据1、一阶和二阶系统稳定的充分必要条件是：特征方程所有系数均为正。2、三阶系统稳定的充分必要条件是：特征方程所有系数均为正，且3、如果系统稳定，那么它的微分方程的特征方程所有系数必须同号。应用Routh判据研究1，2，3阶系统的结论为：773.3.3Routh稳定判据的应用应用1：确定使系统稳定的参数范围解.闭环特征方程为当0<k<8,闭环系统是稳定的。某单位反馈系统的开环传递函数如下，确定系统稳定时

k的取值范围。

【例1】783.3.3Routh稳定判据的应用【例】求使系统稳定的K.

特征方程为：s3s2s0s11401440K(560-40K)/1440K求有参数的劳斯表？【解】79应用2：检验系统的相对稳定性复平面上以虚轴作为稳定的边界，以特征方程最靠近虚轴的根与虚轴的距离

表示系统的相对稳定性。距离越大，系统的相对稳定性越高。利用劳斯稳定判据确定系统相对稳定性：将复平面虚轴左移，即令s=z-

，再用劳斯稳定判据检验稳定性。s平面ReIm

0×××××3.3.3Routh稳定判据的应用若稳定，则该系统闭环极点均位于垂线s=-以左区域，具有

以上的稳定程度。虚轴左移的距离

又称为稳定裕量。80【例】某系统的特征方程为（1）判定系统的稳定性；（2）检验上述系统是否具有稳定裕度

=1（或者问：有几个根在垂线s=-１的右边。）【解】（1）劳斯阵列表为s

3115s

2820s

125/4s

020第一列无符号改变，故没有根在S平面的右半平面，说明系统稳定。3.3.3Routh稳定判据的应用81解：令s=z-1，代入特征方程式，得新的劳斯阵列表为z

312z

2512z

1-2/5z

012从上表中可看出，第一列符号改变2次，故有二个根在垂直线s=-1的右边，因此稳定裕量达不到1。（2）检验上述系统是否具有稳定裕度

=13.3.3Routh稳定判据的应用82

3.4反馈控制系统的稳态误差分析83误差与稳态误差

G(s)

H(s)R(s)E(s)Y(s)-G(s)R(s)Y(s)H(s)-误差从输入端定义:

从输出端定义:

B(s)3.4.1稳态误差的基本概念单位负反馈情况下呢？84稳态误差误差与稳态误差3.4.1稳态误差的基本概念图3-22典型反馈控制系统从输入端定义的误差表现直接，在实际系统中可以测量，但其物理含义不十分明显。从输出端定义的误差，物理意义比较明确，但它通常无法测量。除特别说明外，本课程讨论的误差均采用从输入端定义的误差。85计算稳态误差的一般方法(１)判断闭环系统的稳定性。系统不稳定时,求稳态误差没有意义。(２)求误差传递函数。(３)利用终值定理计算稳态误差。3.4.1稳态误差的基本概念图3-22典型反馈控制系统输入信号开环传递函数863.4.2典型给定信号下的稳态误差与系统结构参数的关系系统型别开环传递函数开环增益坐标原点处的极点个数G0H0

=K

∏(τis+1)i=1

msν

∏(Tjs+1)

j=1n-ν当s→0时，G0H0一定→1根据开环传递函数中所包含的积分环节个数来定义系统型别。

ν=0，称为0型系统ν=1，称为Ⅰ型系统ν=2，称为Ⅱ型系统873.4.2典型给定信号下的稳态误差与系统结构参数的关系系统型别开环传递函数假设系统稳定，利用终值定理求得给定输入下的稳态误差为给定稳态误差和开环增益K、系统型别v及输入信号的形式有关。下面讨论三种典型输入下系统的稳态误差。88典型输入下的稳态误差与误差系数定义静态位置误差系数

G(s)

H(s)R(s)E(s)Y(s)-3.4.2典型给定信号下的稳态误差与系统结构参数的关系(1)单位阶跃输入

890型系统

Ⅰ型系统

Ⅱ型系统

开环传递函数

结论1:0型系统在单位阶跃输入下，稳态误差为有限值。

Ⅰ型及Ⅰ型以上的系统才可以无静差地跟踪单位阶跃输入信号。3.4.2典型给定信号下的稳态误差与系统结构参数的关系90典型输入下的稳态误差与误差系数定义静态速度误差系数

G(s)

H(s)R(s)E(s)Y(s)-3.4.2典型给定信号下的稳态误差与系统结构参数的关系(２)单位斜坡输入

91开环传递函数

结论2:0型系统无法跟踪单位斜坡信号。Ⅰ型系统可以跟踪斜坡信号，但是存在一定的稳态误差Ⅱ型及Ⅱ型以上的系统才可以跟踪斜坡输入信号，且在稳态时的误差为零。0型系统

Ⅰ型系统

Ⅱ型系统

3.4.2典型给定信号下的稳态误差与系统结构参数的关系92典型输入下的稳态误差与误差系数

G(s)

H(s)R(s)E(s)Y(s)-定义静态加速度误差系数

3.4.2典型给定信号下的稳态误差与系统结构参数的关系(３)单位抛物线输入

93开环传递函数

结论

３:0型及Ⅰ型系统均无法跟踪单位抛物线信号。Ⅱ型系统可以跟踪抛物线信号，但是存在一定的稳态误差Ⅲ型及Ⅲ型以上的系统才可以跟踪斜坡输入信号，且在稳态时的误差为零。0型系统

Ⅰ型系统

Ⅱ型系统

3.4.2典型给定信号下的稳态误差与系统结构参数的关系943.4.2系统稳态误差与系统结构参数的关系小结表

典型输入信号下的稳态误差上表综合了不同型别的系统在三种典型输入信号作用下的稳态误差，揭示了控制输入作用下系统稳态误差随系统结构、参数及输入形式变换的规律。1）同一个系统，如果输入信号不同，其稳态误差也不同。2）在输入一定下，增大开环增益K，可以减小稳态误差。3）增加开环传递函数中积分环节数，即提高系统型别，可以消除稳态误差。但是考虑到系统的稳定性，一般系统的型别不超过II。953.4.2典型给定信号下的稳态误差与系统结构参数的关系【例】引入比例-微分控制的系统结构图如图所示。若已知输入信号，试求系统的稳态误差解：开环传递函数II型开环增益为

应用静态误差系数法，系统必须是稳定的，且不能有其他前馈通道，误差是按输入端定义的，且只能用于计算典型给定输入时的稳态误差。963.4.2典型给定信号下的稳态误差与系统结构参数的关系【练习】单位反馈系统：输入为：和，求稳态误差（1）（2）973.4.3扰动信号下系统的稳态误差在给定输入和扰动同时作用下:

给定作用下的稳态误差扰动作用下的稳态误差图3-23给定及干扰共同作用下的控制系统输入端定义下扰动信号引起的稳态误差为求扰动作用下的传递函数计算稳态误差的一般方法

依然适用利用终值定理计算稳态误差如何得到？回顾第2章回顾2.3.2结构图的等效变换和简化98输出对扰动的结构图利用公式，直接可得：重点掌握输出对扰动的传递函数假设R(s)=0回顾

2.3.2结构图的等效变换和简化99误差对扰动的传递函数假设R(s)=0

误差对扰动的结构图回顾

2.3.2结构图的等效变换和简化1002）只有扰动作用的输出量？3）两个输入同时作用的输出量？1）只有给定作用的输出量？101【例】如图所示的反馈系统，确定该系统在给定输入及扰动信号均为阶跃函数下的稳态误差。r(t)-y(t)解.(1)该系统在参数T>0且时是稳定的。(2)给定稳态误差3.4.3扰动信号下系统的稳态误差更简便的方法？102（3）扰动稳态误差(４）总稳态误差3.4.3扰动信号下系统的稳态误差

3.5控制器对系统性能的改善1031043.5.1改善系统稳定性控制系统能够在工程实际中应用的首要条件是系统必须稳定。分析系统稳定性，提出保证系统稳定的措施，是控制理论的基本任务之一。图3-26控制系统结构图（a>0）以下图所示的单位负反馈控制系统为例，其中被控对象本身有两个极点，分别为显然有一个极点位于s右半平面，因此被控对象自身是不稳定的，必须为其增加控制器和反馈环节，才能构成一个稳定的闭环系统。

引入比例-积分-微分控制，可以通过选择合适的控制器参数，来确保系统闭环稳定。105引入校正环节，改善系统动态性能

以典型二阶系统为例，探讨不同校正环节的引入对系统动态性能的影响。典型二阶系统3.5.2改善系统动态性能R(s)Y(s)比例-微分控制误差信号的比例-微分控制（PD控制）测速反馈控制输出量的微分反馈控制（测速反馈控制）106（１）误差信号的比例-微分控制（PD控制）比例-微分控制闭环传递函数开环传递函数开环放大系数等效阻尼比系统的等效阻尼比增大，固有频率保持不变。抑制振荡，减小超调并减小调节时间。增加了一个闭环实零点。系统平稳性讨论变得复杂。3.5.2改善系统动态性能107（２）测速反馈控制测速反馈控制开环传递函数开环增益系统的等效阻尼比增大，固有频率保持不变。系统的等效阻尼比增大，固有频率保持不变。抑制振荡，减小超调并减小调节时间。减小了开环增益。加大了系统在斜坡信号下的稳态误差。3.5.2改善系统动态性能闭环传递函数等效阻尼比108引入校正环节，改善系统稳态性能

改善系统稳态性能的方法主要有：增大开环增益提高系统型别（一般不超过2）影响系统稳定性和瞬态性能。3.5.3改善系统稳态性能Ⅰ型0型Ⅱ型R·1(t)

R1+kRkRkR·t000∞∞∞Rt2/2思考：开环增益越大，误差？稳定性？型越高，误差？109引入校正环节，改善系统稳态性能3.5.3改善系统稳态性能补偿方法：指作用于控制对象的控制信号中，除偏差信号外，还引入与扰动或者给定量有关的补偿信号，以提高系统的控制精度，减小误差。采用复合控制（分为按输入补偿和按扰动补偿）110采用复合控制改善系统稳态性能

（１）复合控制—按输入补偿复合控制系统的闭环传递函数为取，则有实现了对误差的完全补偿。3.5.3改善系统稳态性能系统误差为111采用复合控制改善系统稳态性能

（２）复合控制—按扰动补偿扰动作用下系统的误差传递函数为取，则有系统输出完全不受扰动影响，即实现了对扰动的完全补偿。3.5.3改善系统稳态性能此Gc称为：按给定的不变性条件但是，实际情况是：……112解.

【例】如图所示的反馈控制系统，设计补偿环节，使得输入

r(t)=At作用下系统稳态误差为０。系统的闭环特征方程为：显然，当参数，闭环稳定。误差传递函数为：3.5.3改善系统稳态性能113斜坡输入下的稳态误差为：取，则有采用前馈控制，提高了系统的稳态性能。3.5.2改善系统稳态性能1143.5.2改善系统稳态性能如果系统从I型提高到III型，求a和b.【例】某系统方框图如下：其中，1153.5.2改善系统稳态性能如果系统从I型提高到III型，则a和b？116

3.6应用MATLAB进行系统时域分析117调用函数roots()来求取系统特征根roots(p)%p为特征多项式的系数向量，按降幂排列，缺项补0利用pzmap()函数绘制线性连续系统的零极点图来判断系统的稳定性pzmap(num,den)

3.6.1判别系统的稳定性

118【例】单位反馈系统的开环传递函数如下，使用MATLAB函数命令判断稳定性。%MATLABprogramnum=[105010010040];den=[1211848702384366424960];G=tf(num,den);sys=feedback(G,1);pzmap(sys);[p,z]=pzmap(sys)MATLAB程序3.6.1判别系统的稳定性

119闭环零点、极点分布图p=-6.9223+0.0000i-3.6502+2.3020i-3.6502-2.3020i-2.0633+1.7923i-2.0633-1.7923i-2.6349+0.0000i-0.0158+0.0000iz=-2.0000+0.0000i-1.0000+1.0000i-1.0000-1.0000i-1.0000+0.0000i闭环系统稳定3.6.1判别系统的稳定性

1203.6.2线性系统的时间响应

（1）单位阶跃响应MATLAB中求取单位阶跃响应的函数为step()，其调用格式如下，其中G为给定系统的数学模型。step(G)

%不返回变元将自动绘制系统阶跃响应曲线[y,t]=step(G)

%自动选择时间变量进行阶跃响应分析[y,t]=step(G,tn)

%设置系统的终止响应时间tn，进行阶跃响应分析y=step(G,t)

%用户自己选择时间向量t，进行阶跃响应分析（3）任意函数作用下的系统响应如果输入信号由其他数学函数描述，需要借助lsim()函数来绘制系统的时间响应曲线。lsim(G,u,t)y=lsim(G,u,t)（2）单位脉冲响应MATLAB中求取单位脉冲响应的函