利息理论及其应用(第五版)- 课件 第4-7章 收益率- 利率风险

收益率2主要内容净现值与收益率再投资与修正收益率基金的收益率币值加权收益率时间加权收益率基金的收益分配投资组合法投资年度法

净现值（netpresentvalue，NPV）净现值越大，表示获得的收益越多。与本金大小有关，没有可比性净现值收益率：使得资金流入的现值与资金流出的现值相等时的利率。也称为内涵报酬率（internalrateofreturn，IRR）收益率：使得净现值等于零的利率：收益率例（收益率的定义）：时间零点投资100元，年末收回110元，计算收益率。解：三种方法（1）价值方程：100(1+i)=110,

故收益率i=10%（2）资金流入的现值=110/（1+i），资金流出的现值=100

令上述两者相等：110/(1+i)=100，等价于前述价值方程。（3）令净现值=110/(1+i)-100=0，也等价于前述价值方程。收益率孟生旺Presentername例:

期初投资20万元，在今后的5年内每年末可以获得5万元。

计算：（1）在5%和10%利率水平下的净现值；（2）收益率。（1）净现值：（2）收益率：令净现值等于零2055555注：NPV函数中不含0点的现金流。例：应用EXCEL计算净现值NPV和收益率IRR（参见MOOC）收益率孟生旺Presentername求解收益率可能出现的三种情况无解多重解唯一解，例：例（收益率不存在）：

，求收益率。解:净现值为

由于

，方程无实数解，不存在收益率。-100-133230012例（多重收益率）：在时间零点和第2年末分别投资100和132，在第1年末可以获得230，求收益率。

-100-132230012例（唯一收益率）：项目P在时间零点投资4000，在第1年和第2年末分别可以获得1000和4000。项目Q在第2年末投资x，在时间零点和第1年末分别可以获得2000和4000。如果年利率为10%，则两个项目的净现值相等。计算项目Q的收益率。

t012P-400010004000Q20004000-x收益率孟生旺Presentername收益率唯一性的条件满足下述两个准则之一即可：准则1：资金净流入只改变过一次符号（正负号）。准则2：用收益率计算资金净流入的累积值，始终为负，最后一年末等于零。时间流出流入净流入010-1011-12143314341435143644例：从资金净流入的符号判断，收益率是唯一的（9.98%）例：净流入改变了三次符号，但符合准则2，故收益率（i=2.003%）是唯一的年度流出流入净流入010-1011-12143354-141435143644净流入的累积值-10-10*(1+i

)-1=-11.20-11.20*(1+i

)+3=-8.42-8.42*(1+i

)-1=-9.59-9.59*(1+i

)+3=-6.79-6.79*(1+i

)+3=-3.92-3.92*(1+i

)+4=0应用EXCEL计算资金净流入的累积值（参见MOOC）例：多重收益率条件下的净流入及其累积值时间净流入按20%计算累积值0-100-1001230-100(1+20%)+230=1102-132110(1+20)-132=0时间净流入按10%计算累积值0-100-1001230-100*(1+10%)+230=1202-132120*(1+10%)-132=0100132230应用IRR函数计算收益率（参见MOOC）收益率孟生旺Presentername012不存在-100230-133不唯一（10%和20%）-100230-132修正收益率当收益率不存在或不唯一时，考虑使用修正收益率。如何计算修正收益率？资金流出（成本）：用筹资利率计算现值资金流入（收益）：用再投资利率计算累积值流出的现值流入的累积值0t012收益率不存在-100230-133例：假设筹资利率为8%，再投资利率为6%，计算修正收益率。资金流出的现值：100+133/(1+8%)2=214资金流入的累积值：230

(1+6%)=244修正收益率：应用MIRR函数计算修正收益率（参见MOOC）012收益率不唯一（10%和20%）-100230-132例：假设筹资利率为8%，再投资利率为6%，计算修正收益率。资金流出的现值：100+132/(1+8%)2=213资金流入的累积值：230

(1+6%)=244修正收益率：收益率孟生旺Presentername再投资再投资：前期投资产生的收入，按新的利率再次进行投资。例：考虑两种可选的投资项目A）投资5年，年利率为9％B）投资10年，年利率为8％如果两种投资在10年期间的收益相同，A在后5年的再投资收益率应为多少？例：投资者在时间零点存入12，在第10年末存入12，年利率为i。利息每年末支付一次，并按0.75i的利率再投资。在第20年末，利息再投资形成的累积值为64。计算i。利息在t=20时的累积值（不含本金）：12i12i……12i12i12i12i12i……12i12i

12i12i……12i12i121201020例：投资者每年初投资1000，投资5年，年收益率为10%。每年获得的收益按8%进行再投资。计算5年期间的总平均收益率。时间012345投资的本金10001000100010001000本金余额100020003000400050005000本金产生的收益10020030040050050005年末的余额=+利息收入在第5年末的累积值：第5年末的总价值：6669.91平均收益率：参考答案：计算第2年末的价值：将来法：未来19次领取金额的现值过去法：第1年末的价值按12%累积1年时间零点的投资额为：XXXX例：一笔资金按年利率10%投资，刚好可以在未来20年的每年末领取1元。第一年的收益率为10%，投资者在年末领取了1元。在第2年，收益率为12%。如果从第3年开始收益率回到了原来的水平10%。计算在第2年末到第20年末，投资者可以领取的等额收益是多少。…=练习：一笔资金按年利率10%投资，刚好可以在未来20年的每年末领取1元。在第一年，收益率为10%，投资者在年末领取了1元。假设从第2年开始，每年的收益率均为

12%。计算在第2年末到第20年末投资者可以领取的等额收益是多少。YYYY解：计算第1年末的价值过去法将来法…=收益率孟生旺Presentername练习：在t=0,投资者在账户A中投资10000，每年赚取10%的收益率.

账户A每年产生的利息收入投资于账户B，账户B的年收益率为10%帐户B每年产生的利息收入投资于账户C，账户C的年收益率为10%帐户C每年产生的利息收入投资于账户D，账户D的年收益率为10%帐户D每年产生的利息收入投资于账户E，账户E的年收益率为10%帐户E每年产生的利息收入投资于账户F，账户F的年收益率为10%

计算t=5时每个账户的累积值，以及投资者在这5年期间的年收益率.012345到期余额A的收入1000010000B的收入10001000100010001000B的余额100020003000400050005000C的收入100200300400C的余额10030060010001000D的收入103060D的余额1040100100E的收入14E的余额155F的收入0.1F的余额0.10.116105.1例：在t=0,投资者在账户A中投资2000，每年赚取5%的收益率.

账户A每年产生的利息收入投资于账户B，账户B的年收益率为10%。帐户B每年产生的利息收入投资于账户C，账户C的年收益率为7%。

计算t=5时，所有投资的累积值，以及这5年期间的年平均收益率.时间（t）012345账户A的收入2000

账户B的收入

100100

100

100

100

账户B的余额100200300400500账户C的收入

102030

40时间012345第5年末的余额账户A的收入2000

2000账户B的收入

100100

100

100

100

100

5=500账户C的收入

102030

40收益率孟生旺Presentername基金的收益率币值加权收益率

(dollar-weightedyieldrate)：度量投资者个人的收益水平时间加权收益率

(time-weightedyieldrate)：度量基金经理人的业绩币值加权收益率假设：年初本金为A0，在时刻

t

的新增投资为Ct，收益率为i，在年末累积值为用

A1

表示年末的累积值，则有注：Ct

>

0

增加投资；Ct<0

减少投资。由此可以求得收益率i币值加权收益率的近似计算公式分母：日均资金占用额例：年初存入100万，t=0.5时存入20万，t=0.8时提取50万。（1）计算日均资金占用额（平均本金余额）（2）如果年末账户余额为80万，账户当年的币值加权收益率是多少？00.50.810020-50（1）1001+20

0.5–50

0.2=100

（2）80-（100+20-50）=10

i=10/100

=10%例：在年初存入1000，在4个月末存入1000，在6月和8月末分别提取200和500。在年末时，基金余额为1500。计算基金的币值加权收益率。1000100020050015004/126/128/12利息：

1500－（1000+1000－

200－500）=200日均资金占用额：近似值14.29%1000100020050015004/126/128/12近似效果如何？受哪些因素影响？精确值14.33%收益率孟生旺Presentername时间加权收益率币值加权收益率：受本金增减变化的影响。本金增减由投资者决定。衡量投资者的收益，不能衡量经理人的业绩。时间加权收益率：剔除本金增减变化的影响。衡量经理人的业绩。set.seed(111)x=seq(0,1,0.05)y=50+x*12+rnorm(length(x),0,2)plot(x,y,type='o',xlab="时间",ylab='股价',col=2,pch=16)如何剔除本金变化的影响？1100120新增80，变为200210前半年：后半年：全年：时间加权收益率的计算年初的本金为

A(0)在第k个时间区间末的累积值为Ak在第k个时间区间末的新增投资为

Ck（k=1,2,…,n）在年末的累积值为

A(1)A(0)A1A2C1累积值新增本金A1+C1区间的收益率AnCnAn+CnA(1)………A(0)A1A2A3A1+C1A2+C2A3+C3AnAn+CnA(1)……例：1月1日，账户余额为100，在5月1日，余额增长到112，当天增加投资30。在11月1日，账户余额为125，当天提取42。在次年1月1日，账户余额为100。计算账户的币值加权收益率和时间加权收益率。1-15-111-11-1100112新增30125新增-42100解：（1）币值加权收益率

I

=

100–（100

+

30

42）=12

（2）时间加权收益率-12%20%12%例：2021年1月1日在基金中存入1000，在7月1日存入C。在2022年1月1日，基金余额为2000。基金的时间加权收益率和币值加权收益率分别为10%和9%。计算基金在前6个月的年有效利率。1000C200000.51A解：

币值加权收益率9%时间加权收益率10%故收益率孟生旺PresenternameB基金余额追加提取1月1日1007月1日125x12月31日

105.8A基金余额追加提取1月1日1007月1日125x10月1日

1102x12月31日

125例：基金A的币值加权收益率等于基金B的时间加权收益率，都等于i，计算

iB:A:x=10i=15%例：时刻t的利息力为0.05t。计算从t=2到t=2.5的年收益率。1a(2)a(2.5)11022.5收益率孟生旺Presentername基金的收益分配问题：基金包括不同时期的投资。如何把基金的收益分配给不同时期的投资？分配方法：投资组合法

投资年度法

投资组合法方法：对所有投资都按照平均收益率进行分配

。适用情况：收益率水平保持稳定。例：投资额10000元，投资期限9个月，年收益率为6%，则分配的利息是复利法：10000(1+0.06)9/12–10000=446.71单利法：10000×6%×9/12

=

450

投资组合法的问题：当各个年度的收益率不同时，组合法可能不公平。例：2020年发生的投资，收益率8％；2021年发生的投资，收益率10％；2020-2021平均收益率9%。如果对2021年的新投资按9％分配收益，不利于吸引新投资。如何解决？投资年度法投资年度法发生在最近几年（如近三年）的投资：考虑投资发生的年度，即按投资年度利率分配收益发生在以前年度（如三年以前）的投资：不考虑投资发生的年度，都按组合利率（平均利率）分配收益。投资年度法：投资年度利率和组合利率例：2017年如何分配收益？2014年的投资在217年如何分配收益？2010年呢？2011年的投资在2016年如何分配收益？2013年的投资在2016年如何分配收益？投资年度投资年度利率组合利率组合利率的年度i1i2i3201710%10%7%8%2020201812%5%10%7%202120198%9%12%20209%11%20218%例：投资者A在2016年初向基金投入100，每年的利息收入在当年末全部取出。计算投资者A在2021年末可以分配到的利息是多少？

投资者B在2020年初向基金投入100，每年的利息收入在当年末全部取出。计算投资者B在2021年末可以分配到的利息是多少？A：100

7%=7B：100

11%=11投资年度投资年度利率组合利率组合利率的年度i1i2i3201710%9%7%8%2020201812%5%10%7%202120198%9%12%20209%11%20217%例：投资者在2017年初向基金投入100，每年末的利息收入全部投入该基金。计算投资者在2021年可以分配到的利息是多少？100(1+10%)(1+9%)(1+7%)(1+8%)(7%)=9.7投资年度投资年度利率组合利率组合利率的年度i1i2i3201010%10%r8%2013201112%5%10%7%201420128%r-

0.0212%20139%11%20147%例:2010,2011和2012的年初分别投资100，在2013年分配的总收益为28.40.计算r2010年初的投资：100(1.10)

(1.10)

(1+r)

(0.08)2011年初的投资：100(1.12)

(1.05)(0.1)2012年初的投资：100(1.08)(r

‒0.02)三年的总收益

=

28.4，故r=7.75%收益率小结孟生旺收益率净现值、收益率再投资、修正收益率基金的收益率币值加权收益率时间加权收益率基金的收益分配投资组合法投资年度法净现值：资金流入的现值与资金流出的现值之差收益率：净现值等于零的利率收益率唯一性的判断准则：准则1：资金净流入只改变过一次符号（正负号）。准则2：用收益率计算资金净流入的累积值，始终为负，最后一年末等于零。收益率不存在或不唯一的处理：计算修正收益率资金流出（成本）：用筹资利率计算现值资金流入（收益）：用再投资利率计算累积值流出的现值流入的累积值0t币值加权收益率：度量投资者的收益水平A0A1

Ct

0t1时间加权收益率：度量基金经理人的业绩注：区间初的价值包含新增投资Ct例：0t注：t<1基金的收益分配方法投资组合法：使用平均收益率分配收益投资年度法：在最近几年发生的投资，不同年度使用不同的收益率。

超过一定年限的投资，使用平均收益率。投资年度投资年度利率组合利率组合利率的年度i1i2i3201710%10%7%8%2020201812%5%10%7%202120198%9%12%20209%11%20218%债务偿还孟生旺等额分期偿还在等额分期偿还中，需要解决：每次偿还的金额是多少？未偿还的本金余额是多少？在每次偿还的金额中，利息和本金分别是多少？每次偿还的金额贷款的本金L0期限n

年利率i每年末等额偿还R未偿还本金余额问题：每年偿还R，第k年末的未偿还本金余额？方法：将来法过去法将来法过去法将来法：将来还需要偿还n–k次。过去法：从本金的累积值中减去已偿还金额的累积值。证明：将来法=过去法

（过去法）（将来法）例：一笔贷款每年末偿还一次，前10年每年末偿还2000，后10年每年末偿还1000。如果年利率为5%，用过去法计算第5次偿还后的本金余额。例：一笔贷款的年利率为9%，期限为20年，每年末偿还1000。在第5年末，借款人希望多偿还2000，然后将剩余本金在未来12年内等额偿还。计算后12年每年末等额偿还的金额。解：第5次偿还后，未偿还本金余额为如借款人额外偿还2000，则本金余额变为6060.70。

未来12年等额偿还，所以10001000100010001000...1000债务偿还孟生旺本息分解第

k年初本金余额第k

年末支付利息第k年末偿还本金k-1k等额分期偿还表构成要素：每年末的还款额每年末的本金余额本息分解：偿还本金支付利息等额分期偿还表债务偿还孟生旺例：一笔贷款的期限为2年，每季度末等额偿还一次，每年复利4次的年利率为6%，如果第一年末偿还的本金为2000元，计算在第二年末应偿还的本金。解：每季度偿还一次，偿还8次，季度有效利率为i=1.5%

第1年末（第4次）偿还的本金：P4=Rv8–4+1=Rv5

第2年末（第8次）偿还的本金：P8=Rv8–8+1=Rv

所以P8/P4=v–4=(1+i)4，即

P8=P4(1+i)4=2000(1.015)4=2122.73（元）例：本金为1000的贷款在每年末偿还100，直至偿还完所有贷款本息为止，如果最后一次偿还金额不足100时，按实际需要偿还的金额偿还。假设年利率为4%，计算第4次的还款额中包含的利息和本金分别是多少。解：第三次还款后，未偿还本金余额为从而有另一种解法（了解）例：用EXCEL构造等额分期偿还表（参见MOOC）债务偿还孟生旺等额偿债基金例：借款人从银行获得10000元的贷款，期限为5年，年利率为6%。双方约定：（１）借款人每年末向银行支付600元利息；（２）借款人在银行开设一个存款帐户，每年末存入1791.76元，按5.5％的利率计息。到第5年末，帐户余额正好是10000元，用于偿还贷款本金。借款人在银行开设的帐户就是偿债基金。借款人每年向偿债基金的储蓄额相等，为等额偿债基金。符号：贷款利率：i偿债基金利率：j每年支付利息：I=iL0每年向偿债基金的储蓄额：D借款人每年末向偿债基金的储蓄额为D借款人在每年末的付款总金额为等额偿债基金法需要解决的问题？第k年末，未偿还本金余额为DD…DD特例：j=i当

j=i

时，借款人在每年末的付款总金额为（等额分期偿还金额）注：结论：当

j=i

时，等额分期偿还法=等额偿债基金法债务偿还孟生旺例：对借款人而言，下列哪种贷款的成本较低？分期偿还法：贷款利率为6%偿债基金法：贷款利率为6%，偿债基金利率为5%解释：在偿债基金方法中，贷款成本高于6%。例：对借款人而言，下列哪种贷款的成本较低？分期偿还法：贷款利率为6%偿债基金法：贷款利率为6%，偿债基金利率为7%解释：在偿债基金方法中，贷款成本低于6%。例：两笔贷款的本金均为10000元，期限均为5年，但偿还方式不同：第一笔：采用偿债基金方法偿还，贷款利率为6%，偿债基金利率为5%。第二笔：采用等额分期方法偿还。当第二笔贷款的利率为多少时，两笔贷款对借款人而言是等价的。012345偿债基金：分期偿还：偿债基金法：分期偿还法：令此式等于2409.75，有r=6.552%注：分期偿还法的贷款利率（6.552%）大于偿债基金法的贷款利率（6%）。解：例：用EXCEL构造等额偿债基金表（参见MOOC）债务偿还孟生旺偿债基金的价值方程验证：价值方程：偿债基金的价值方程：推广形式（了解）W

：

servicepayment,

可以不等于

iL0例：本金10000，年利率5%，在10年内用偿债基金方法偿还。银行要求借款人每年末支600的服务费（servicepayment）。

如果偿债基金的年利率为4%，计算：（1）借款人每年向偿债基金的储蓄额。（2）与等额分期偿还方法等价的贷款利率r。问题：当服务费增加时，r

会如何变化？等额分期偿还与等额偿债基金的比较区别：已偿还本金的计息方式不同。分期偿还：已偿还本金按i计息。偿债基金：已偿还本金按j计息。特例：当i=j

时，两种方法等价。债务偿还孟生旺变额分期偿还假设贷款金额为L0，每年末偿还Rt（t=1，2，…，n）则有变额分期偿还方法：（1）等额本金（2）算术级数变化（3）几何级数变化

例（等额本金）：一笔10000元的贷款，期限5年，年利率5%，每年末偿还2000元本金。构造分期偿还表。年份偿还本金未偿还本金余额支付当年利息每年偿还的总金额(1)(2)(3)(4)(5)

=

(2)

+

(4)01000012000800050025002200060004002400320004000300230042000200020022005200001002100例：10年期的贷款，本金2000，每年末偿还一次。可用两种方法偿还：(1)等额分期偿还，年利率为8.07%(2)每年末偿还本金200，并按年利率i

支付利息。假设在两种偿还方法下，10年期间的偿还额之和相等，求i

。等额分期方法等额本金方法解:等额分期方法:R=299

⇒

偿还额之和=2990等额本金方法:

2000+

i（2000+1800+1600+…+200）=2990

⇒

i

=9%例（算术级数变化）：贷款期限为5年，年利率为6%。借款人每年末的偿还额为：2000，1800，1600，1400，1200。计算:（1）贷款本金为多少？（2）第三年末支付的利息和偿还的本金分别为多少？20001800160014001200012345贷款本金：第二年末，未偿还的本金余额为（将来法）第三年末，支付利息

I3=iL2=0.06×3762.97=225.78第三年末，偿还本金

P3=R3–I3=1600–225.78=1374.21债务偿还孟生旺121变额分期偿还：几何级数变化0123……

n-1

n例（几何级数变化）：贷款本金10000，年利率10%，期限6年，每年末偿还一次，每次的偿还金额以50%递增。构造分期偿还表。10000R1=736.69i=10/100r=50/100j=(i-r)/(1+r)an=(1-(1+j)^(-6))/jR1=10000/an*(1+r);R1解：第一年末的偿还额R1=736.69

第一年，利息为I1=10000×0.1=1000年末偿还本金为负

P1=R1–I1

=736.69–1000=–263.31年末本金余额（变大）

L1=L0–P1

=10000+263.31=10263.31

第二年，利息为I2=iL1

=0.1×10263.31=1026.33年末偿还额为R2=1.5R1

=736.69×1.5=1105.04

年末偿还本金P2=R2–I2

=1105.04–1026.33=78.71年末本金余额L2=L1–P2

=10263.31–78.71=10184.6变额分期偿还表

年份偿还额按50%递增支付利息偿还本金本金余额0100001736.691000–263.3110263.3121105.041026.3378.7110184.6031657.551018.46639.099545.5142486.33954.551531.788013.7353729.49801.372928.125085.6165594.24508.565085.68–0.07*第41次的偿还额=1000(1-2%)40=445.7

416040?解：练习：贷款在60个月内分期偿还，每月末偿还一次，月利率为0.75%。第一个月末的偿还额为1000，以后每月的偿还额按2%递减。计算偿还40次以后的本金余额。未偿还本金余额（将来法）：i=0.75/100r=-2/100P=1000*(1+r)^40j=(i-r)/(1+r)an=(1-(1+j)^(-20))/jP*an/(1+r)债务偿还孟生旺变额偿债基金变额偿债基金0123…

n（证明见下页）借款人每年偿还的总金额Rt包括：支付利息：iL0向偿债基金储蓄：

Dt

=Rt

iL0偿债基金在第n年末的累积值等于贷款本金L0，即证明：分子和分母均乘以(1+j)–n：若D1<0，首先计算L1然后应用，倒推L00123…

n若D2<0，首先计算L2

然后应用，倒推L1，再求L00123…

n例：贷款期限5年，用偿债基金方法偿还。贷款利率10%，偿债基金利率8%。借款人每年末的偿还额：1000，2000，3000，4000，5000。计算贷款本金。10002000300040005000012345解：应用公式，n=5,i=10%,j=8%第1年末向偿债基金的储蓄额=1000‒10524.69×0.1=‒52.47问题：向偿债基金的储蓄不能为负。首先L1：10002000300040005000012345j=8/100i=10/100a4=(1-(1+j)^(-4))/jIs4=(a4*(1+j)-4*(1+j)^(-4))/j(1000*a4+1000*Is4)/(1+2/100*a4)从L1倒推L0

变额偿债基金表年份每年末的偿还额支付利息向偿债基金储蓄偿债基金的累积值本金余额00L0=10521.7311000100000L1=10573.90220001057.39942.61942.619631.29330001057.391942.612960.637613.27440001057.392942.616140.094433.81550001057.393942.6110573.900注：第1年应偿还利息1052.17，实际支付1000，将第1年末的负偿还-52.17本金化：L1=L0-（-52.17）=10573.90练习题贷款期限5年，用偿债基金方法偿还。贷款年利率10%，偿债基金利率8%。借款人每年末的偿还额分别为：1000，1000，5000，5000，5000借款人在时间零点可以获得的贷款本金是多少？如果将这笔贷款转化为等价的分期偿还方法偿还（等价的含义：在两种偿还方法下，借款人每年的付款金额相等），分期偿还的年利率是多少？债务偿还方法小结孟生旺等额分期偿还每次偿还的金额：利息和本金的分解：未偿还的本金余额：将来法过去法等额偿债基金每年末向偿债基金的储蓄额：每年末的付款总金额：第k年末的未偿还本金余额：

注：当j=i时，I+D=

R偿债基金=

分期偿还（偿债基金）（分期偿还）等额偿债基金的价值方程W

：

servicepayment,

可以不等于

iL0变额分期偿还付款额R的变化方式：等额本金（利息递减）算术级数变化几何级数变化变额偿债基金借款人每年偿还的总金额Rt包括：支付利息：iL0向偿债基金储蓄是变化的：

Dt

=Rt

iL0偿债基金在第n年末的累积值等于贷款本金L0，即若Dt

>0，则L0正确若D1<0，首先计算L1然后应用，倒推L0若D2<0，首先计算L2

然后应用，倒推L1，再求L0债券孟生旺主要内容债券价格基本公式、溢价公式（重点）基价公式、Makeham公式（了解）债券的账面值理论方法、半理论方法、实践方法分期偿还债券（了解）贴现债券可赎回债券债券的含义和类型含义：由筹资者向投资者出具的在一定时期还本付息的债权债务凭证。种类：政府债券国债地方政府债券金融债券公司债券债券的基本要素：票面价值（面值）：100或1000元。价格：平价,溢价,折价票面利率（息票率）。根据利息支付方式,分为：附息债券（coupon）零息债券（zero-coupon）符号P

价格i

到期收益率（重点）F

面值r

息票率rF

息票收入C

债券的偿还值,通常等于债券的面值,即C=Fn

息票的支付次数。债券的现金流：0123....n债券的定价公式基本公式溢价公式基价公式（了解）Makeham公式（了解）基本公式

F

面值C

偿还值r

息票率n

支付次数0123......n如何影响债券价格？到期收益率i

期限n152一阶导数小于零,说明P是到期收益率的减函数债券价格关于到期收益率（利息力表示）的一阶导数小于零：一阶导数小于零,说明P是到期收益率的减函数。如何递减？需要计算二阶导数。价格到期收益率二阶导数大于零,说明P是到期收益率

的下凸函数债券价格与到期收益率的关系n=30C=F=1000r=5%i增加时,P下降较慢；i减小时,P上升较快。例：30年期的债券，面值和到期偿还值为1000，年息票率为12%，每季度支付一次利息，售价为850。计算该债券每季度复利一次的年名义收益率。故年名义收益率为4j

=14.16%假设每个季度的收益率为j121203030301000债券到期时间n对债券价格P的影响（假设面值和到期偿还值相等，均为F）若r<i,第二项大于零，n

越大，P越小若r>i,第二项小于零，n

越大，P越大注：此小结的内容仅供参考，应用溢价公式更易得出结论债券期限n对债券价格P的影响？债券期限n对债券价格的影响？溢价公式

r

息票率,息票收入与面值之比g

修正息票率，息票收入与到期偿还值C之比溢价公式：163溢价公式的解释：CiCiCiCiC

CPgCgCgCgC

C溢价公式的常见形式因为，所以，当C=F

时,

g=r溢价公式的应用平价发行,

r=i溢价发行,r>

i折价发行,

r<i债券价格与面值的关系?溢价公式的应用若r=i，价格与期限无关若r>

i，期限越长，价格越高若r<i，期限越长，价格越低债券期限n如何影响债券价格？例：一个5年期债券每半年支付一次利息，年息票率为5%，到期按面值100偿还。如果到期年收益率为7%，计算该债券的价格。基本公式：溢价公式：0123......102.52.52.5......2.5100

账面值：投资余额基于购买债券时的到期收益率i

计算不是市场价格在付息日期，价格与账面值相等付息日期的价格和账面值（1）将来法在付息日期：价格与账面值相等（注：假设到期收益率保持不变）k

k+1...n（2）过去法

01...k...n提示：与分期偿还方法中的未偿还本金余额进行比较过去法

=将来法计算账面值的递推公式k

k+1

例：债券的面值为1000元，年息票率为6%，期限为3年，到期按面值偿还。到期收益率为5%，计算债券在各年末的价格和账面值。解：0123606060

1000年份实际的息票收入应得利息收入（按5%的到期收益率计算）溢价分摊账面值0

1027.23160260360合计180152.7727.23

注：溢价通过每年多支付的利息得到补偿。折价通过每年少支付利息进行累积。溢价27.23元的分摊，到期时账面值等于到期偿还值8.649.079.521018.591009.521000非付息日期的价格上一个付息日期的价格为P0下一个付息日期的价格为P1用Pt表示在两个付息日期之间的价格（0<t<1）0t1P0PtP1时间价格非付息日期的账面值账面值：从价格中扣除应计利息。在时间t（0<t<1）的价格在时间t的账面值为

其中(rF)t表示应计利息。应计利息(rF)t的计算方法：期末利息为rF,期初本金应为按复利计算应计利息为：

按单利计算应计利息为

(rF)t

=trF

0t1理论方法半理论方法实践方法账面值的三种计算方法例：债券面值为1000元,年息票率为6%,每年末支付一次利息,期限为3年,到期按面值偿还。债券的到期收益率为8%。计算债券在6个月末的价格和账面值。解：债券的价格（应用溢价公式）为

6个月末的价格（t=0.5）为01236060601000t=0.56个月末的账面值：理论方法半理论方法实践方法01236060601000t=0.5季度价格账面值理论方法半理论方法实践方法0948.46948.46948.46948.461966.89952.32951.89952.432985.67956.25955.67956.4031005.00960.25959.82960.374964.34964.34964.34964.345983.07968.50968.07968.6361002.17972.75972.17972.9171021.64977.07976.64977.208981.48981.48981.48981.4891000.55985.98985.55986.11101019.98990.56989.98990.74111039.80995.24994.80995.37121000100010001000债券的价格和账面值注：实践方法更加接近理论方法价格和账面值的变化过程在付息日期，价格=账面值。在每个付息周期，价格先增后降。练习：债券的面值为1000元,年息票率为10%

,每年末支付一次利息,期限为5年,到期按面值偿还。到期收益率为8%。应用理论方法计算该债券在25个月末的价格和账面值。i=

8/100

v=

1/(1+i)

a3=

(1-v^3)/i

P2=

100*a3+1000*v^3;P2#第2年末（第24个月末）的价格##[1]1052Pt=

P2*(1+i)^(1/12);Pt#第25个月末的价格，将P2累积一个月##[1]1058Vt=

Pt-

100/i*((1+i)^(1/12)-1);Vt#第25个月末的账面值（理论方法）##[1]1050Vt=

Pt-

100*(1/12);Vt#第25个月末的账面值（实践方法##[1]1050可赎回债券的价格可赎回债券：发行人有权赎回的债券。为什么发行可赎回债券？降低资金成本通常有赎回保护期,有相对较高的收益率，补偿赎回风险。赎回价格：大于到期偿还值。差额为赎回溢价例：8年期的可赎回债券，年息票率为12%

,面值和到期偿还值均为1000元。赎回保护期为5年。假设发行人从第5年末开始可以在任何一年末行使赎回权。如果投资者要求的收益率为10%

,他愿意支付的价格应为多少？如果在第5年末赎回,赎回价格为1050元如果在第6年末赎回,赎回价格为1030元如果在第7年末赎回,赎回价格为1010元投资者的购买价：在各种赎回日期下,债券的最低价格。0123456781050103010101000如果在第5年末赎回,债券价格应为如果在第6年末赎回,债券价格应为1104.04如果在第7年末赎回,债券价格应为1102.50如果债券到期时偿还,债券价格应为1106.70投资者的购买价格应为1102.50元。如何赎回日期很多，如何快速计算债券的最低价格？g

i

>

0

,

n

越小,价格越低g

i<0

,

n

越大,价格越低例：10年期可赎回债券的面值为100，年息票率为6%，每半年支付1次利息。满5年后的可赎回价格为102。如果债券每半年复利一次的年收益率为7%，计算债券的价格。rF=3

,g

=3/102=2.94%,

i=3.5%

g<i,n

越大,价格越低,故n

=

2010121416182031023102练习：投资者购买了10年期可赎回债券，面值为100，年息票率为6%，每年支付2次利息。5年以后的可赎回价格为102。如果债券每半年复利一次的收益率为5%，计算债券的价格。参考答案：

rF=3

,g

=

3/102=2.94%,i=2.5%

g>i,n

越小,价格越低,故n

=10贴现债券的价格P=C(1–dt)

=到期偿还值

（1-贴现率

债券期限）例：2023年1月1日发行贴现债券，面值和偿还值均为100元，2023年8月31日到期，年贴现率为5%。计算债券的价格。解：基价（G）。为了获得周期性收益rF

所须的投资额。每期的利息收入等于息票收入：

iG=rF息票收入：rF=gC=iG基价公式（了解）基价公式：Makeham公式（了解）由于rF=gC

,应用基本公式Makeham公式的应用：计算分期偿还债券的价格分期偿还债券的价格（应用makeham公式）例：假设债券的面值为1000元,年息票率为5%

,从第6年末开始,发行人分5次偿还,每次偿还1/5,每年末的偿还额为205元,第10年末还清。假设到期收益率为6%

,求该债券的价格。01234567891020520520520520550505050505040302010分解为5个债券：面值均为200，偿还值均为205元,期限为6-10年。012345678910200200200200200205205205205205

面值偿还值r=5%g=200×5%÷205=0.04878i=6%修正息票率为

g=200×5%÷205=0.04878偿还值之和为偿还值的现值之和为原债券的价格为衡量债券收益水平的指标（了解）小结债券价值分析孟生旺债券债券的价格基本公式、溢价公式（重点）基价公式、Makeham公式（了解）债券的账面值理论方法、半理论方法、实践方法可赎回债券贴现债券基本公式：到期收益率i债券的价格溢价公式：当C=F

时,

g=r平价发行,

r=i溢价发行,r>

i折价发行,

r<i若r=i，价格与期限无关若r>

i，期限越长，价格越高若r<i，期限越长，价格越低付息日期的价格和账面值：（将来法）（过去法）基本公式溢价公式递推公式：非付息日期的价格：非付息日期的账面值：其中理论方法半理论方法实践方法非付息日期的账面值：可赎回债券的价格：g

i

>

0

,

n

越小,价格越低g

i<0

,

n

越大,价格越低r

i

>

0

,

n

越小,价格越低r

i<0

,

n

越大,价格越低贴现债券的价格：=到期偿还值

（1-贴现率

债券期限）注：债券期限小于1，用单贴现近似复贴现：利率风险i=seq(0,0.15,0.01)A=5*(1-(1+i)^(-5))/i+100*(1+i)^(-5)B=5*(1-(1+i)^(-10))/i+100*(1+i)^(-10)C=5*(1-(1+i)^(-25))/i+100*(1+i)^(-25)plot(i,A,type='l',ylim=c(40,150),lty=1,col=1,xlab="到期收益率",ylab='债券价格',main="面值均为100，息票率均为5%",lwd=2)lines(i,B,type='l',lty=2,col=2,lwd=2)lines(i,C,type='l',lty=3,col=4,lwd=2)legend('top