平行四边形培优训练一

平行四边形培优训练一各位同学，在平面几何的世界里，平行四边形无疑是一颗璀璨的明珠，它不仅自身性质丰富，更是连接三角形与其他特殊四边形的重要桥梁。本次培优训练，我们将深入挖掘平行四边形的性质，探索其在复杂问题中的应用技巧，旨在提升大家的逻辑推理能力与解题应变能力。一、温故知新：平行四边形的核心性质再认识要想在平行四边形的培优题中游刃有余，对其基本性质的深刻理解与灵活运用是前提。我们先来梳理一下：1.定义的双重性：平行四边形既是两组对边分别平行的四边形，这是我们判定一个四边形是否为平行四边形的原始依据；反过来，若一个四边形是平行四边形，则它的两组对边分别平行。这种“判定”与“性质”的互逆关系，是几何证明中常用的思维方式。2.边的性质：平行四边形的对边平行且相等。这意味着我们可以利用平行线的性质（如同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）来转化角的关系，也可以通过边的相等关系进行线段的等量代换。3.角的性质：平行四边形的对角相等，邻角互补。这为我们提供了角之间相互转化的依据，在角度计算和角相等的证明中尤为重要。4.对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分。这是一个非常核心的性质，它意味着对角线的交点是两条对角线的中点，由此可以引申出许多与中点、中位线相关的问题。这些性质并非孤立存在，它们相互关联，共同构成了平行四边形的知识体系。在解题时，我们要学会从不同角度调用这些性质，寻找解题的突破口。二、方法指引与典例精析（一）利用平行四边形的性质进行计算与证明核心策略：紧扣性质，将已知条件向所求结论转化，注意等量代换和方程思想的应用。例1：已知平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若△AOB的周长比△BOC的周长少4，且平行四边形ABCD的周长为24，求平行四边形ABCD的一组邻边的长。分析与解答：首先，我们应根据平行四边形对角线互相平分的性质，得出AO=OC，BO为公共边。△AOB的周长=AO+BO+AB；△BOC的周长=BO+OC+BC。已知△AOB的周长比△BOC的周长少4，即(BO+OC+BC)-(AO+BO+AB)=4。由于AO=OC，上式化简为BC-AB=4。①又因为平行四边形的周长为24，即2(AB+BC)=24，所以AB+BC=12。②联立①②，解方程组可得：AB=4，BC=8。故平行四边形ABCD的一组邻边长分别为4和8。点评：本题直接运用了平行四边形对角线互相平分和对边相等的性质，通过建立方程求解，体现了代数方法在几何计算中的应用。关键在于抓住两个三角形周长差的实质，消去公共部分，从而找到邻边之间的关系。（二）构造平行四边形解决问题核心策略：当题目中出现一组对边平行且相等，或两组对边分别平行，或对角线互相平分的条件时，可以考虑构造平行四边形，利用其性质将分散的条件集中，或实现线段、角的转移。例2：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC，E、F分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线分别与EF的延长线交于点H、G。求证：∠AHE=∠BGE。分析与解答：要证明∠AHE=∠BGE，直接证明比较困难。观察到AD∥BC，E、F分别为AB、CD中点，考虑构造平行四边形来平移线段或角。连接BD，取BD的中点O，再连接OE、OF。在△ABD中，E、O分别为AB、BD中点，所以OE∥AD，OE=1/2AD。同理，在△BCD中，O、F分别为BD、CD中点，所以OF∥BC，OF=1/2BC。因为AD∥BC，所以OE∥OF（平行于同一直线的两直线平行），即E、O、F三点共线（因为它们都在EF所在直线上）。所以HE∥AD，GF∥BC（这里将OE、OF看作EF的一部分）。因此，∠AHE=∠HAD（内错角相等），∠BGE=∠GBC（内错角相等）。又因为AD∥BC，所以∠HAD=∠GBC（同位角相等）。故∠AHE=∠BGE。点评：本题通过连接对角线，并取其中点，构造出了三角形的中位线，进而得到了平行关系，将待证的两个角通过平行线的性质与一对同位角联系起来。这种构造中位线和平行四边形（本题中OE和OF共线，构成了平行关系的传递）的方法在解决中点问题时非常有效。（三）平行四边形与动态几何初步核心策略：在动态问题中，要抓住平行四边形的不变性质（如对边平行且相等、对角线互相平分），关注图形变化过程中的变量与不变量，以及特殊位置关系。例3：已知在平面直角坐标系中，点A(0,3)，点B(3,0)，点P是线段OB上一个动点（不与O、B重合），点Q是y轴上一个动点。若以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标。分析与解答：首先，我们在坐标系中标记出点A(0,3)和点B(3,0)。点P在线段OB上，设P点坐标为(t,0)，其中0<t<3。点Q在y轴上，设Q点坐标为(0,q)。以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，需要考虑这四个点的顺序以及哪两条边是对边。由于平行四边形的对边平行且相等，我们可以分情况讨论：情况一：AB与PQ为对边。则AB平行且等于PQ。向量AB=(3-0,0-3)=(3,-3)。向量PQ=(0-t,q-0)=(-t,q)。因为AB=PQ，所以3=-t且-3=q，解得t=-3，q=-3。但t=-3不在0<t<3范围内，故舍去。情况二：AP与BQ为对边。则AP平行且等于BQ。向量AP=(t-0,0-3)=(t,-3)。向量BQ=(0-3,q-0)=(-3,q)。所以t=-3且-3=q，同样t=-3不符合题意，舍去。情况三：AQ与BP为对边。则AQ平行且等于BP。向量AQ=(0-0,q-3)=(0,q-3)。向量BP=(t-3,0-0)=(t-3,0)。因为AQ平行且等于BP，所以向量AQ与向量BP的坐标对应相等（或成比例，此处为零向量的特殊情况）。故0=t-3且q-3=0，解得t=3，q=3。但t=3时P与B重合，不符合题意“不与O、B重合”，故点P不能与B重合，此情况是否完全无解？或者，我们换一种思路：AQ和BP平行且相等。AQ在y轴上，是竖直方向的线段，那么BP也必须是竖直方向且长度相等。BP是竖直方向，则P点横坐标必须与B点相同，即t=3，此时P与B重合，故此种情况在线段OB上（不包含端点）不存在这样的P点。情况四：考虑另外一种顶点顺序，比如A、P、B、Q。此时AP与BQ为对边，AB与PQ为对边。向量AP=(t,-3)，向量BQ=(0-3,q-0)=(-3,q)。AP=BQ，则t=-3,q=-3（同上，舍去）。向量AB=(3,-3)，向量PQ=(0-t,q-0)=(-t,q)。AB=PQ，则t=-3,q=-3（同上）。情况五：A、Q、B、P。此时AQ与BP平行且相等，AB与QP平行且相等。向量AQ=(0,q-3)，向量BP=(t-3,0)。AQ平行BP，则AQ为竖直，BP也为竖直，t=3（P与B重合，舍去）。向量AB=(3,-3)，向量QP=(t-0,0-q)=(t,-q)。AB=QP，则3=t,-3=-q→t=3,q=3（P与B重合，舍去）。情况六：A、P、Q、B。此时AP与QB平行且相等，AQ与PB平行且相等。向量AP=(t,-3)，向量QB=(3-0,0-q)=(3,-q)。AP=QB→t=3,-3=-q→t=3,q=3（P与B重合，舍去）。向量AQ=(0,q-3)，向量PB=(3-t,0-0)=(3-t,0)。AQ=PB→0=3-t,q-3=0→t=3,q=3（同上）。这么看来，是不是没有解了？或者我们之前的假设Q点在y轴上，除了负半轴，正半轴除了A点还有其他可能吗？哦！我们可能忽略了一种情况：当AB为对角线时。情况七：AB为对角线，那么O为AB中点，也是PQ中点。AB中点O的坐标为((0+3)/2,(3+0)/2)=(1.5,1.5)。P(t,0)，Q(0,q)，则PQ中点坐标为(t/2,q/2)。所以t/2=1.5，q/2=1.5→t=3，q=3。P点还是(3,0)，与B重合。情况八：AP为对角线。则A(0,3)和P(t,0)的中点与B(3,0)和Q(0,q)的中点重合。中点坐标：(t/2,3/2)=(3/2,q/2)→t/2=3/2且3/2=q/2→t=3,q=3（P与B重合，舍去）。情况九：AQ为对角线。则A(0,3)和Q(0,q)的中点与B(3,0)和P(t,0)的中点重合。中点坐标：(0,(3+q)/2)=((3+t)/2,0)。所以(3+q)/2=0→q=-3；(3+t)/2=0→t=-3。t=-3不在OB线段上（OB是从(0,0)到(3,0)），故P点不存在于线段OB上。综上，在点P在线段OB上（不与O、B重合）的条件下，似乎不存在满足条件的Q点？这可能吗？或者我们最初设Q在y轴上是正确的，但题目并未限制Q点在正半轴还是负半轴，只是我们得到的解都不符合P点的限制。那么，或许题目中的“以A、B、P、Q为顶点的四边形”允许P与B重合？或者我们在分析时出现了疏漏？（稍作停顿，引导学生思考）哦，我们在情况三中，若允许P与B重合，则Q点坐标为(0,3)，即点A。但此时四个点A、B、P(B)、Q(A)共线或重合，不能构成四边形。所以，严格来说，在线段OB上（不与O、B重合）运动时，以A、B、P、Q为顶点的平行四边形不存在？这似乎是结论。但这个结论是否正确，留给同学们课后再仔细推敲，或者检查我们的分类是否有遗漏，比如Q点是否一定在y轴的正半轴或负半轴，或者是否存在其他的顶点排列顺序使得向量关系不同。这种动态问题的分析，非常考验我们的严谨性。点评：动态几何问题需要我们具备分类讨论的思想，并且能够熟练运用代数工具（如坐标系、向量）来描述几何关系。本题虽然最终可能得出在给定条件下无解的结论，但这个探究过程本身就是宝贵的，它锻炼了我们全面考虑问题的能力。三、能力提升训练1.已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作直线EF分别交AD于E，交BC于F。求证：OE=OF。2.在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，点E、F分别在AD、BC上，且AE=CF。求证：BE=DF。3.如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是AC上一点，EF∥AB，DF∥BE。求证：DF=AE。4.（★★★）已知平行四边形ABCD中，∠A的平分线分BC成4cm和3cm两条线段，求平行四边形ABCD的周长。（提示：第4题需注意角平分线与对边相交时，哪个交点将BC分成了两段，可能存在两种情况。）四、总结与展望本次培优训练，我们重点回顾了平行四边形的性质，并通过典例分析了这些性质的灵活应用，以及构造平行四边形解决问题的常用策略，初步接触了动态几何中的平行四边形存在性