中科大材料结构缺陷讲义

第1次棵引言复习晶体学章节的几个概念：空间点阵，结点，晶胞，七大晶系等。一晶体与晶格晶体：由离子、原子或分子有规律地排列而成，即构成晶体的质点按一定规律排列着。质点在空间的分布具有周期性和对称性。晶格：人们习惯用空间几何图形来抽象地表示晶体结构。就是把晶体质点的中心，用直线联起来，构成一个空间格架，这种空间格架就是晶体格子，简称晶格。最小晶格单元称为晶胞。晶胞abc-sidesabc-sides-angles14中BravaisLattices（P－简单，I－体心，F－面新，C－底心）Allcrystalstructuresmustbelongtooneofthe14space,

orBravais,lattices:SystemNumberof

latticesLattice

symbolsRestrictionsonconventional

cellaxesandanglesTriclinic1Pabc

Monoclinic2P，Cabc

==90ºOrthorhombic4P,C,I,Fabc

===90ºTetragonal2P，Ia=bc

===90ºCubic3P

Iorbcc

Forfcca=b=c

===90ºTrigonal1Ra=b=c

==<120º,90ºHexagonal1pa=bc

==90º=120º1．1缺陷的概念晶体的特征：其中的原子或原子集团都是在有规律的排列（周期性），即不论沿晶体的哪个方向看去，总是相隔一定的距离就出现相同的原子或原子集团。实际上，即使在0K，实际晶体中也不是所有的原子都严格地按照周期性排列的，因为晶体中存在着一些微小的区域，在这些区域中或穿过这些区域时，原子排列的周期性受到破坏，这样的区域便称为晶体缺陷。1．2晶体缺陷的种类按照缺陷区相对于晶体的大小，可将晶体缺陷分为以下四类：点缺陷—在任意方向上缺陷区的尺寸都远小于晶体或晶粒的线度的缺陷（0维缺陷）。例子：溶解于晶体中的杂质原子，晶体点阵结点上的原子进入点阵间隙时形成的空位和填隙原子等。线缺陷—在某一方向上缺陷区的尺寸可以与晶体或晶粒的线度相比拟的缺陷（一维缺陷）。例子：位错。面缺陷—在共面的各方向上缺陷区的尺寸可与晶体或晶粒的线度相比拟，而在穿过该面的任何方向上缺陷区的尺寸都远小于晶体或晶粒的线度的缺陷（二维缺陷）。例子：晶粒边界或层错面等。体缺陷—在任意方向上缺陷区的尺寸都可以与晶体或晶粒的线度相比拟的缺陷（三维缺陷）。例子：亚结构（镶嵌块）、沉淀相、空洞、气泡、层错四面体等。1．3缺陷的作用缺陷浓度—缺陷总体积与晶体体积之比。不论哪种缺陷，其浓度都是很低的，但是缺陷对晶体性质的影响却很大。力学性能物理性质（如电阻率、扩散系数、光学性能等）化学性质（如耐腐蚀性质）冶金性能（如固态相变）其它（功能性）并不是所有的缺陷都是对材料产生负面影响，合理的应用缺陷可以制备出很多有用器件。第1次棵点缺陷的基本属性2．1缺陷的形成固体中的原子是围绕其平衡位置作热振动的，由于热振动的无规性，原子在某一瞬时可能获得较大的动能或较大的振幅而脱离平衡位置。Case1：如果此原子是表面上的原子，它就会脱离固体而“蒸发”掉，接着此表面的原子会迁移到表面位置，于是在晶体内就形成一个空位。Case2：如果此原子是晶体内部的原子，就会从平衡原子位置进入附近的点阵间隙中，于是在晶体中同时形成一个空位和一个间隙原子。2．1点缺陷的类型基本类型：空位和间隙原子。空位—晶体结构中未被占据的（或空着的）原子位置；间隙原子—进入点阵间隙的原子。肖脱基缺陷（Shottkydisorder）—只形成空位而不形成等量的间隙原子的缺陷（空位）。弗兰克尔缺陷（Frenkeldisorder）—同时形成等量的空位和间隙原子的缺陷（空位和间隙对）注意1：对于金属晶体来说，肖脱基缺陷就是金属离子空位，而弗兰克尔缺陷是金属离子和位于间隙中的金属离子。对于离子晶体来说，由于局部电中性的要求，离子晶体中的肖脱基缺陷只能是等量的正离子空位和负离子空位；又由于离子晶体中负离子半径往往比正离子大的多，故弗兰克尔缺陷只可能是等量的正离子空位和间隙正离子（为什么？）反肖脱基缺陷（Shottkydisorder）—只形成间隙原子而不形成等量的空位的缺陷（间隙原子）。反弗兰克尔缺陷（Frenkeldisorder）—在离子晶体中，同时形成等量的负离子空位和间隙负离子的缺陷（空位和间隙对）注意2：复杂点缺陷。例子1：即使在金属晶体中，也可能存在两个或三个甚至更多相邻的空位，分别称双空位、三空位或空位团。由多个空位组成的空位团从能量上讲是不稳定的，很容易沿某一方向“坍塌”成空位片（即在某一原子面内有一个无原子的小区域）。例子2：间隙原子也未必都是单个原子，而是有可能m个原子均匀地分布在n个原子的范围内（m>n），形成所谓的“挤塞子”（crowdion）外来杂质缺陷：替代原子（a，受主取代原子和施主取代原子），和间隙原子图1NaCl晶体中的肖脱机缺陷（Na＋和Cl－离子空位）图2含有挤塞子的FCC晶体的（111）面（讲到外来杂质缺陷，复杂缺陷的种类还没有阐述）。

第2次棵点缺陷的表示方法复习上次课的主要内容：首先介绍了晶体的特点以及几个概念：空间点阵，结点，晶胞，7大晶系在此基础上引出晶体学缺陷，并介绍了构成缺陷的几个种类：点，线，面，体。简单提到缺陷对材料性质的影响，并不是缺陷都是不好的东西，只要我们合理的应用缺陷，可以造福于人类。点缺陷的形成点缺陷的基本种类：空位和间隙原子点缺陷的几个种类：shottky缺陷，Frenkel缺陷，反shottky缺陷，反Frenkel缺陷，杂质缺陷（受主取代，施主取代和间隙原子），复杂点缺陷（例子1：空位团，例子2：挤塞子）例子1：即使在金属晶体中，也可能存在两个或三个甚至更多相邻的空位，分别称双空位、三空位或空位团。由多个空位组成的空位团从能量上讲是不稳定的，很容易沿某一方向“坍塌”成空位片（即在某一原子面内有一个无原子的小区域）。例子2：间隙原子也未必都是单个原子，而是有可能m个原子均匀地分布在n个原子的范围内（m>n），形成所谓的“挤塞子”（crowdion）外来杂质缺陷：替代原子（a，受主取代原子和施主取代原子），和间隙原子接下来介绍本次课的内容：2．1点缺陷的表示方法国际上主要的表示方法是Kroger－Vink符号，该符号系统的特点：空位—V（vacancy）；间隙原子Mi（interstitionalatom）;电子—e（electron）；h（hole）缺陷荷正电—用上标M表示，缺陷荷负电则用X表示，不带电缺陷则用M表示。对于化合物M2+X2-而言，表示方法见表所示：2.2缺陷化学方程式的书写三个规则：（1）方程式的两边具有相同的有效电荷；（2）两边保持物质质量的相等（空位质量为0）；（3）M的格点数与X的格点数应保持正确的比例；例3.1写出NaF加入YF3中的缺陷反应方程式。解答：首先以正离子为基准，Na+离子占据Y3+位置，该位置带有2个单位负电荷，同时，引入的1个F－离子位于基质晶体中F－离子的位置上。按照位置关系，基质YF3中正负离子格点数之比为1/3，现在只引入了1个F－离子，所以还有2个F－离子位置空着。反应方程式为：可以验证该方程式符合上述3个原则。再以负离子为基准，假设引入3个F－离子位于基质中的F－离子位置上，与此同时，引入了3个Na+离子。根据基质晶体中的位置关系，只能有1个Na+离子占据Y3+离子位置，其余2个Na+位于晶格间隙，方程式为：此方程亦满足上述3个原则。当然，也可以写出其他形式的缺陷反应方程式，但上述2个方程所代表的缺陷是最可能出现的。例3.2写出CaCl2加入KCl中的缺陷反应方程式。以正离子为基准，缺陷反应方程式为：以负离子为基准，则缺陷反应方程式为：例3.3MgO形成肖特基缺陷。解答：MgO形成肖特基缺陷时，表面的Mg2+和O2-离子迁到表面新位置上，在晶体内部留下空位，用方程式表示为：MgMgsurface+OOsurfaceMgMgnewsurface+OOnewsurface+该方程式中的表面位置与新表面位置无本质区别，故可以从方程两边消掉，以零O（naught）代表无缺陷状态，则肖特基缺陷方程式可简化为：O例3.4AgBr形成弗仑克尔缺陷。解答：AgBr中半径小的Ag+离子进入晶格间隙，在其格点上留下空位，方程式为：AgAg一般规律：当晶体中剩余空隙比较小，如NaCl型结构，容易形成肖特基缺陷；当晶体中剩余空隙比较大时，如萤石CaF2型结构等，容易产生弗仑克尔缺陷。2．3材料缺陷化学处理方法2．3．1Brouwer近似法处理介绍2．3．2一般步骤1写出材料体系中可能存在的缺陷平衡方程式；2采用Brouwer法来近似讨论各种浓度随外部条件（一般是气体分压）变化的特点；3根据条件写出近似电中性方程；4计算缺陷浓度；5绘制Brouwer图。例子－1：第3次课点缺陷的平衡浓度上次课主要介绍了点缺陷的表示方法，系统的介绍了Kroger－Vink符号的写法和特点，并在此基础上对缺陷平衡方程式的撰写方法进行了介绍。其撰写原则包括三点：1电荷平衡，2质量平衡和3格点数保持正确的比例。接着我们主要对9中典型的缺陷化学方程书写进行了逐一介绍。我希望大家能熟练的掌握这些方程的书写方式，在上次课中还列举了两个掺杂缺陷的方程式的书写实例，由于在讲述过程中出现了一些问题，我打算把这两个例子再进行系统介绍。最后，我们介绍了用Brouwer近似法进行计算缺陷浓度的几个步骤，简单的说共分为5个步骤：1写出材料体系中可能存在的缺陷平衡方程式；2采用Brouwer法来近似讨论各种浓度随外部条件（一般是气体分压）变化的特点；3根据条件写出近似电中性方程；4计算缺陷浓度；5绘制Brouwer图。现在我们以MgO为例进行介绍：第3次课例子－2，MgO中添加F2O3杂质；点缺陷平衡浓度的推导：平衡浓度—热力学分析表明，在高于0K的任何温度下，晶体最稳定的状态是含有一定浓度的点缺陷的状态，这个浓度即为平衡浓度，用表示。以肖脱基缺陷为例：首先分析金属晶体。假定在一定的温度T和压强P下，从N个原子组成的完整晶体中取走n个原子（这就相当于n个空位）。令完整晶体和含有n个空位的晶体的自由焓分别为和。由于引进了空位以后原子间的键能和晶体体积都要变化，故晶体的内能和焓都要变化。由于空位在晶体的各原子位置上有各种可能的分布，故引进空位后晶体增加了混合熵。又由于引进空位后原子的振动频率有所改变，故振动熵也要改变。因此有：式中，和分别为引进了n个空位后晶体的焓变和振动熵变，u为一个空位的生成能，为引进一个空位引起的晶体体积的变化。增加一个空位引起的振动熵变；一个空位的生成焓；—1mol空位的生成焓；—1mol空位的生成自由焓；—增加1mol空位引起的振动熵变。令一个空位的生成焓，，式中增加一个空位引起的振动熵变；则上式可写作：混合熵定义：式中W是出现n个空位和（N－n）个原子这种状态的热力学几率，即n个空位在N个原子位置上的分布数，也就是N个原子中取出n个原子的组合数Stirling公式：当x远远小于1时）代入：定义缺陷浓度晶体中空位的浓度。则平衡浓度应该是对应于最小自由焓的空位浓度，因此只要对自由焓求导，得到由于远远小于1，则得到（1）（2）（3）（4）式子表明点缺陷有以下两基本特征：（1）在一定的温度下，确实存在一个平衡的空位浓度，此时晶体的自由焓最低，因而稳定；（2）平衡浓度随温度升高而呈指数地急剧增加。对于肖脱基缺陷，其正离子和负离子空位的平衡浓度都可以按上述热力学方法分析，得到：（5）和分别是负离子（或阴离子）和正离子（阳离子）空位的平衡浓度，和分别是负离子空位和正离子空位的摩尔生成自由焓。由以上两式便得到：（6）式中是肖脱基缺陷（即正负离子空位对）的摩尔生成自由焓。由于某种空位（或间隙原子）的平衡浓度从数学上讲就代表了该种空位（或间隙原子）出现的几率，故式（4－7）右边就是同时出现一个负离子空位和一个正离子空位的几率，也就是出现一个肖脱基缺陷的几率，或者说，肖脱基缺陷的平衡浓度（7）对于弗兰克尔缺陷，根据类似分析：（8）式中，和分别是间隙正离子和正离子空位的平衡浓度，是弗兰克尔缺陷的平衡浓度（也就是同时形成一个正离子空位和一个间隙正离子的几率）。，和分别是间隙正离子、正离子空位和弗兰克尔缺陷的摩尔生成自由焓。第4次课点缺陷的实验研究上次课主要介绍了用brouwer近似法来计算缺陷浓度，具体用MgO为例子来分析在该材料体系中的各缺陷与氧气分压的关系。接着我们对点缺陷平衡浓度的计算方法加以介绍。（1）（2）（3）（4）第4次课点缺陷的实验研究点缺陷的形貌可以用电子显微镜直接观察。点缺陷的其它性质如生成焓、生成熵、扩散激活能（迁移率）以及它引起的晶体体积变化等，都可以通过各种物理实验测定。6．1比热容实验公式推导（不讲）若晶体中点缺陷浓度C（相当于一个原子对应C个点缺陷），则附加的原子比热容为：式中和分别对应1个和1mol点缺陷的生成焓，点缺陷浓度带入后得到附加原子比热容：一个原子：1mol晶体附加比热容：由于（1）式中是一个与温度无关的常数。：附加的原子比热容；：1mol电缺陷的生成焓，可视为与温度无关的常数。由式可见，如果能测出各种温度下的附加热容量，就可作出关系直线。由直线的斜率可求出点缺陷的生成焓，再由直线的截距，可以算出点缺陷的生成熵。6．2的测定通常比热实验中测得的是晶体的总热容量。它由两部分组成，一部分是由原子（或离子）热振动引起的热容量（完整晶体的热容量），另一部分是由于形成点缺陷引起的附加热容量。故＝＋，由比热容公式和缺陷浓度公式可看出，只有在很高的温度（接近熔点）时，才较显著，如果温度不太高，则，此时～。因此如果测出晶体的热容量－温度关系曲线，那么曲线的低温段就代表了，只要将这段曲线外推氘高温（接近熔点的温度），就可求出。图3钾的热容量与温度的关系6．1热膨胀实验晶体在加热或冷却时体积会发生变化。这种变化包括两部分：一是由于原子（离子）间的平均距离（或点阵常数）改变引起的体积变化，这就是通常所说的热膨胀；另一部分是由于点缺陷浓度改变引起的晶体体积变化。若晶体的体积为V，总体积变化为△V，其中热膨胀（△V）l，点缺陷引起的体积变化为△V）d则有：由于晶体体积随温度的变化通常很小，故l为晶体的线度。类似的可以写出：点缺陷引起体积变化的确定：如果晶体中形成一个空位，就要增加一个原子体积，而形成一个间隙原子则要减少一个原子体积。因此，形成浓度为Cv的空位和浓度为Ci的间隙原子时，晶体的相对体积变化就是：式中总膨胀量可由热膨胀实验测出，可由x光衍射实验测出。对于金属晶体而言，经过推导：根据该公式，可以测出和缺点：虽然原理简单，但技术上难度很大，这是因为如果缺陷浓度的准确度达到10％时，和的测量精度要达到10－5。图4铝的Δl/l和Δa/a随温度的变化

第5次课5．1上次课我们主要介绍了缺陷平衡浓度的表示方法，以及肖脱机缺陷和府伦克而缺陷平衡浓度的表示法，由公式可以知道，点缺陷的的两个特征：（1）在一定的温度下，确实存在一个平衡的空位浓度，此时晶体的自由焓最低，因而稳定；（2）平衡浓度随温度升高而呈指数地急剧增加。接着，我们介绍了两种用来测量点缺陷形成能和形成熵的实验方法，1比热容实验2和热膨胀实验，这两种方法实验原理简单，易于操作，但也存在测量值误差较大的缺点，这次课我们将介绍一种相对精确的测量点缺陷形成能的方法——正离子湮没实验。5．2正离子湮没实验5．2．1过程122Na，64Cu等具有β＋衰变的放射性同位素会放出正电子，它的质量和电子相同，但带单位正电荷，且具有很高的能量（Mev的数量级）。22Na在放出高能正电子的同时发射出一个能量为1.28Mev的γ光子。2高能的正电子在射入被研究的固体后首先在极短的时间（约10－12s）内被“热化”，即通过电离碰撞、产生等离子体和电子－空穴对等损失其能量，最后通过声子散射与固体物质达到热平衡。3热化后的正电子和电子相遇时，正、负电子对便同时消失而转变成两个能量各为0.511Mev的γ光子（有时会产生1个或3个γ光子）。总结：热化正电子在湮没前往往在固体中自由扩撒一段时间τ，τ称为正电子湮没寿命，它和固体结构特别是缺陷状态密切相关。实际中，由于热化时间很短（10－12s），远小于自由扩散时间，为方便起见，人们将寿命τ规定为从发射1.28Mev的光子到发射两个0.511ev的光子这两个事件间隔为正电子湮灭时间。5．2．2固体中正电子有两种状态：自由态正电子—无缺陷区的正电子；由于受点阵上离子的排斥，该正电子不可能接近离子芯，而是在离子之间自由运动。缺陷区正电子—由于缺陷区的电场不同于无缺陷区，正电子分布不同。捕获：正电子和电子复合的过程。束缚态：被捕获的正电子。捕获陷阱：正电子被捕获的源。捕获模型包括以下假设：捕获陷阱的性质：捕获陷阱是单空位、双空位还是三空位还是位错，晶界捕获几率与缺陷浓度的关系通常假设缺陷对正电子的捕获几率正比于缺陷浓度湮没规律通常假设自由态正电子和捕获态正电子均按指数规律衰减，衰减常数（即湮没几率）分别为1/τf和1/τd（τf，τf分别为自由正电子和捕获正电子的寿命）。这样实际测量出的寿命图就可看成由两条指数衰减曲线合成，通过计算机模拟就可求出τf，τf。5．2．3例子例子：在缺陷是单空位情形下，根据捕获模型可以导出：其中μ是单位浓度的空位对正电子的捕获几率，把上式改写为：将上式带入缺陷浓度公式：式中是一个与温度无关的常数。由正电子湮没谱可以求出，和，就可以作出关系（直线）曲线，直线的斜率就给出了空位生成焓。特点分析：优点是精确度高，且可探测原子量级尺度的微缺陷和低浓度的缺陷；缺点是数据处理和解释往往比较困难。图5寿命谱曲线第5次课过饱和点缺陷的形成5．3概念平衡缺陷—在点缺陷的平衡浓度下晶体的吉氏自由能最低，因而最稳定，在这种条件下具有平衡浓度的缺陷。过饱和点缺陷—在某些情况下晶体的点缺陷浓度可能高于平衡浓度的缺陷。获得过饱和点缺陷的三种方式：（1）淬火由于晶体中空位的浓度随温度升高而急剧增加，如果将晶体加热到高温，保温足够的时间，然后急冷到低温（淬火），那么空位就来不及通过向位错、晶界等“漏洞”处扩散而消失，因而晶体在低温下仍保留了高温时的空位浓度，即晶体在低温下含有过饱和的空位。（2）冷加工金属在室温下进行压力加工（冷加工）时会产生空位，其微观机制是由于位错交割所形成的割阶发生攀移。（3）辐照当金属受到高能粒子（中子、质子、氘核、α粒子、电子等）照射时，金属点阵上的原子将被击出，而进入点阵间隙中。由于被击出的原子具有很高的能量，它在进入稳定的间隙位置之前还会将点阵上的其它原子击出，后者又可能再击出另外的原子，依次继续下去，这样就形成大量的、等量的空位和间隙原子。5．3点缺陷对晶体性质的影响主要影响晶体的物理性质，如比容、比热容、电阻率等。比容：为了再晶体内部产生一个空位，需要将该处的原子移到晶体表面上的新原子位置，就导致晶体体积增加。比热容：由于形成点缺陷需要向晶体提供附加的能量（空位生成焓），因而引起附加比热容。电阻率：金属的电阻来源于离子对传导电子的散射。在完整晶体中，电子基本在均匀电场中运动，而在有缺陷的晶体中，在缺陷区点阵的周期性被破坏，电场急剧变化，因而对电子产生强烈散射，导致晶体的电阻率增大。在离子晶体中则又为另一种情况：3.2.5热缺陷与晶体的离子导电性3.2.5.1导电现象材料的导电性用材料的电阻率或其倒数电导率来表示。假设单位体积中带电粒子的数目为n，每个粒子所带电荷q是电价z和电荷e的乘积（q=ze），带电粒子的漂移（运动）速度为V，则单位时间内通过单位截面的电荷量（即电流密度）j=nzeV。如果材料被置于电场强度为的电场中，根据欧姆定律其电导率为（3.31）式中=V/是带电粒子的迁移率，即单位电场作用下带电粒子的漂移速度。由于材料中的带电粒子可以是电子、孔穴或各种离子，因此总的电导率是各种带电粒子的电导率之总和，即（3.32）3.2.5.2纯净晶体的离子导电性纯净晶体中的缺陷只有本征缺陷（即热缺陷），缺陷在外加电场作用下携带其有效电荷在特定方向上漂移，总电导率为（3.33）式中c和a分别是与阳离子和阴离子漂移有关的电导率。当材料在外电场作用下，晶体中的缺陷（带电粒子）所受的外力为电场力，此时F=ze，由式（3.30）可知，阳离子和阴离子通过其空位漂移的速度分别为（3.34）（3.35）在一般电场作用下，aze2kT。当x值很小时，sinhxx，于是，把此式代入式（3-34）和式（3-35）得（3.36）（3.37）把式（3.36）和式（3.37）代入式（3.33）得（3.38）对于纯净的MX型晶体，单位体积中的阳离子空位数nc和阴离子空位数na相等，即nc=na=n，于是式（3.38）可写为（3.39）式中是带电粒子在晶体中的扩散系数；n为单位体积的电荷载流子数，即单位体积的缺陷数；式（3.39）即能斯特—爱因斯坦（Nernst-Einstein）方程，它反映了晶体离子电导率与热缺陷浓度及扩散系数之间的关系。综上所述，晶体的离子电导率取决于晶体中热缺陷的多少以及缺陷在电场作用下的漂移速度的高低或扩散系数的大小。通过控制缺陷的多少可以改变材料的导电性能。其它物理性质的影响，如：扩散系数、内耗、介电常数等。在碱金属卤族化合物晶体中，由于杂质或过多的金属离子等点缺陷对可见光的选择性吸收，会使晶体呈现色彩，即色心。点缺陷除了与材料的电导率有关以外，还与材料的介电性能等电学性质、材料的光学性质（光吸收与发射等）、材料的力学性质等有关。例如，金属或合金材料，在淬火、范性变形或辐照之后，会存在大量过饱和的点缺陷，容易导致更大的缺陷聚集体，形成位错环等。软钢中屈服点很高的现象和碳原子在位错线周围的成团聚集有关。

第6次课位错理论的提出当作用在完整晶体某晶面、某晶向的外切应力τ达到某临界分切应力时，晶体滑移面上/下的两层原子面便开始滑动。假设下层原子面不动，上层原子面沿着切应力方向平移。这个平移通过1、2、3、4…各列原子，依次滑移一个平衡位置完成的（经过2-1b到2-1c状态）。图2-1b是滑移过程中的一个状态。这时，1、2两列原子已经完成滑移，3、4、5各列原子虽开始滑移，但还未达到平衡位置，6、7、8各列尚未滑移。这样，滑移面便分为已滑移区和未滑移区。已滑移区和未滑移区的界限（3、4、5列原子），即定义为位错。位错是晶体中的一维缺陷。就是说，缺陷区是细长的管状区域，管内的原子排列是混乱的，破坏了点阵的周期性。位错的概念是1934年（泰勒Taylor，奥罗万Orowan和波浪依Polanyi三人在同年提出）提出的。当时只是一种设想，直到50年代从实验中观察到位错。诱发原因：由于有许多试验现象很难用完整晶体的模型来解释。其中最大一个矛盾就是晶体的实际强度远远低于其理论强度。6.1局部滑移概念：如果晶体的一部分区域发生了一个原子间距的滑移，另一部分区域不滑移，已经滑移区和未滑移区的边界不可能是一条几何上的“线”，而是一个过渡区。在此区域内，原子的相对位移从1个原子间距逐渐减至0。这样，在过渡区内原子排列就不规则（非周期性排列），因而滑移面两边的就不可能“对齐”，必然出现严重的“错配”。这个原子错配的过渡区便称为位错。特点：过渡区只有几个或十几个原子间距的宽度，而长度却达到晶体的宏观尺寸。6．2分类（1）刃型位错—位错线垂直于滑移方向。示意图：特点：存在一个对称的半原子面。也可以看成是通过在完整晶体中插入半个原子面而形成的。正刃型位错—附加原子面位于滑移面上方；负刃型位错—附加原子面位于滑移面下方。（2）螺型位错—位错线平行于滑移方向示意图左旋螺位错：符合左手螺旋规则右旋螺位错：符合右手螺旋规则无论将晶体如何放置也不可能使左旋变成右旋。（3）混合位错—位错线和滑移方向成任意角度α。当位错线即不平行、又不垂直于滑移方向时，可以将晶体的滑移（滑移面两边的相对位移α）分解为平行于边界的位移分量acosα和垂直于边界线的分量asinα，也就是将位错看成由螺型位错和刃型位错混合而成的，故称为混合位错。纯刃型和螺型位错中位错线是直线形状，混合位错却可能是直线、曲线和封闭曲线。位错的起源：材料在凝固、固态冷却、外延生长等都可能形成位错凝固过程形成位错的原因：（1）“仔晶”或其他外来晶核表面（包括容器壁）上的位错或其他缺陷直接“长入”正在凝固的晶体中（2）在不同部位成核和长大的晶体（如树枝晶）由于位向不同在相遇时界面原子必然“错配”形成位错急冷过程中形成位错的原因：（1）当固体从接近熔点的温度急冷时得到大量（过饱和）的空位，这些空位可以通过扩散聚集成大的空位团，空位团又进一步坍塌成空位片——位错环。（2）由于温度梯度、杂质等以因素引起内应力，导致各部分晶体收缩不均匀而形成位错。（3）由于冷却过程中发生再结晶或固态相变，使晶界或相界上原子错排而形成界面位错。（4）在非常高的外加应力作用下无缺陷的均匀晶体也可能形成位错。

第6次课位错的普遍定义与柏格斯矢量1柏格斯回路定义—Burgerscircuit是在有缺陷的晶体中围绕缺陷区将原子逐个连接而成的封闭回路。（图）2滑移矢量：晶体在滑移时过程中，在滑移面的滑移方向上，任一原子从一个位置移向另一位置所引起的矢量。31939年，柏格斯提出用晶体的滑移矢量表示位错引起的晶体畸变的方法，把形成一个位错滑移矢量定义为这个位错的矢量，叫柏格斯矢量。图14博格斯回路和博格斯矢量（a包含位错的柏氏回路，b完整晶体中柏氏回路，不封闭段为MQ，柏氏矢量为b＝QM。4为了判断柏格斯回路中包含的缺陷是点缺陷还是位错，只需要在无缺陷的完整晶体中按同样的顺序将原子逐个连接。如果能得到一个封闭的回路，那么原来的柏氏回路中包含的缺陷是点缺陷。如果在完整晶体中的对应回路不封闭（即起点和终点不重合），则原柏氏回路中包含的缺陷是位错。这时为了使回路封闭还需要增加一个向量b，如图所示，b便称为位错的柏格斯矢量或简称柏氏矢量。（终点到起点方向）5柏氏矢量的表示方法：一定的柏氏矢量或滑移矢量，可用一个固定的符号b=ka[uvw]表示。如对于面心立方晶体而言，从晶胞原点[000]向（001）晶面的鲸胞面心[1/2，1/2，0]所引出的矢量，在X，Y，Z三轴上的分量依次为a/2、a/2/、0，由它所表示的柏氏矢量的符号为：B=[a/2、a/2/、0]=a/2[110]其中[uvw]表示滑移方向，模的大小为b=5晶体中位错的柏氏矢量的变化规律：变化不连续，不能任意取向和取值。原因：对一定晶体而言，滑移方向是一定的，滑移矢量的取向也就只能在有限的滑移方向间变动，滑移方向上的晶体周期也是一定的，而晶体滑移的量只能是晶体周期的整数倍，所以滑移矢量的大小也不能任意取值。6柏氏矢量的物理意义1柏氏矢量是位错区别其他晶体缺陷（点缺陷，面缺陷）的特征，其他缺陷没有柏氏矢量。2柏氏矢量与位错的组态和弹性性质直接相关，b越大，由于位错引起的晶体弹性能越高。位错的弹性能正比于b2。3b是在有缺陷的晶体中沿着柏氏回路晶体的弹性变形（弹性位移）的迭加。4柏氏矢量与位错线的关系，标志着位错的性质：a柏氏矢量与位错线垂直时，是刃型位错，平行时是螺型位错，既不垂直又不平行则为混合位错。6.5柏氏矢量和位错的表征当b垂直于位错线时，位错是刃型的，当b平行于位错线时，位错是螺型的，当b和位错线成任意角度时，位错是混合的。为了进一步表示刃型位错的正负或螺型位错的左旋还是右旋，需要将位错线l看成矢量l，并作以下规定：l×b指向附加的半原子面。l//b表示右旋螺位错，l//（－b）表示左旋螺位错。图15位错的表示a正刃型b负刃型c右旋d左旋e混合型注意：位错线和柏氏矢量的正向并无特殊意义，可以任意选定。对于给定的位错，l和b的正向不能同时任意选定，只能任意选择其中一个，然后决定另一个。例题3.5面心立方晶体在（11）[110]滑移系统滑移时，试确定其伯氏矢量。解答：晶体在（11）[110]滑移系统滑移时，其滑移矢量在[110]晶向上。从任一原子位置向前方另一原子位置引出的矢量，也就是从晶胞坐标原点[0,0,0]向（001）晶面的晶胞面心[1/2,1/2,0]所引出的矢量。该矢量在晶胞坐标轴X、Y、Z三轴上的分量依次为a/2、a/2、0，因此，用它表示的伯氏矢量的符号为：b，此即位错的单位滑移矢量。点评：对于面心立方晶体而言，其密排面的密排方向在面对角线方向，因此，晶体滑移时，每次滑移的距离即为面对角线的一半，即。这与滑移矢量b的模的大小是一致的。7柏氏矢量的守恒性如果若干条位错线交于一点（此点称为节点），那么“流入”节点的位错线的柏氏矢量之和必等于“流出”节点的位错线的柏氏矢量之和，即：上述性质就称为柏氏矢量的守恒性。所谓“流入”和“流出”节点的位错线分别是指正向指向节点和背离节点的位错线。图：证明过程图16交于节点O的三条位错线另外一种表达：如果所有位错线都“流入”同一节点，或从同一节点“流出”，则这些位错线的柏氏矢量之和必为0。；或推论1：一条位错线只能有一个柏氏矢量。推论2：位错线不可能中断于晶体内部。在晶体内，他或者自成环状回路，或者穿过晶体终止于晶体表面。例题3.6试证明一条位错线只能有一个伯氏矢量。证明：用反证法来证明。假设有一条位错线PQRSP组成一位错环，环内没有其他位错线，见图3.17。如果各处伯氏矢量不相同，设PQR段的伯氏矢量为b1，其圈内为已滑移区I；RSP段的伯氏矢量为b2，其圈内为已滑移区II。则区I和区II为不同程度的滑移区，两区的边界PR必为一条位错线。这与原假设相矛盾，故b1和b2不应有差别，即b1=b2。于是得证。例题3.7试证明位错线不可能中断于晶体内部。证明：设伯氏矢量为的位错AB中断于晶体内的B点，如图3.19所示。AB线两侧的I区是已滑移区，II区是未滑移区，则AB线未涉及的III区只能为如下两种情况之一：如果为已滑移区，则II-III区的界线BC必定是一段位错线；如果为未滑移区，则I-III区界线BC，必定是一段位错线。以上两种情况都说明，无论是BC或者BC，，也不管它们是什么形状，都是位错线，并且是AB伸向晶体表面的延续线，伯氏矢量也为，即与AB为同一条位错线。这就证明了位错线不能中断于晶体内部。图3-19位错线连续性的证明第6次课位错的运动1刃型位错的运动两种运动方式：滑移和攀移滑移位错的滑移就是它在滑移面上的运动，也就是局部滑移区的扩大和缩小。位错的运动面就是滑移面a位错的运动并不代表原子的运动，它只代表缺陷区或已滑移区—未滑移区边界（在刃型位错的情形下就是附加半原子面的边缘）的移动。b位错的滑移和原子的运动（或晶体的滑移）之间的定量关系是，当位错扫过整个滑移面时（也就是当位错从晶体的一端运动到另一端时）滑移面两边的原子（或两半晶体）相对位移一个柏氏矢量lbl的距离。图位错运动与原子位移的关系图18位错运动的过程位错滑移位错的滑移只有在该位错线与他的柏氏矢量b构成的晶面上才可能进行，位错线与他的柏氏矢量构成的晶面，称为该位错的滑移面，又叫可滑移面。可滑移面与晶体的滑移面的区别：一定晶体的滑移面，指该晶体中的原子密排面。因为在这种晶面上，滑移才能容易进行。相对于位错的可滑移面，晶体的滑移面又叫可滑移面，位错线不一定都恰好在晶体的滑移面上，所以，他的可滑移面不一定是易滑移面，只有在可滑移面上的位错才可能进行滑移，只有当可滑移面同时又是易滑移面时，滑移才容易进行。由于刃型位错线垂直于它的柏氏矢量，它们只能构成一个晶面，所以一定的刃型位错，只有一个确定的可滑移面，如果这个滑移面正好在晶体的滑移面，滑移容易进行，反则反之。螺型位错位错线平行于其柏氏矢量，因为位错线（恒为直线）和位错的柏氏矢量平行的晶面是无限的，而这些晶面都是他的可滑移面，因而螺型位错应该有无限多的可滑移面，对于一定的晶体，这些可滑移晶面中的易滑移面仍是有限的，因而螺型位错也只有可能在有限的晶面上滑移。l×v规则：当柏氏矢量为b的位错线沿v方向运动时，以位错运动面为分界面，l×v所指向的那部分晶体必沿着b的运动方向运动。

位错的滑移方向图3－4（a）所示是一位错环，A，B两点分别为左，右旋位错，在外力τ作用下，分别向左、右滑移；而C、D两点的位错，分别为正、负刃型位错，在同一外力τ作用下，分别向上、下运动；其他各点是柏氏矢量的刃型和螺型分量不同的混合位错，均沿着法线方向向外运动。图（b）(c)(e)分别表示正刃型位错、左旋螺型位错和混合位错的运动方向；图（d）则为一正刃型位错（AB）和一左螺型位错（BC）相继而成的一折线，按上述法则，各种位错以图示的方向滑移，想外扩张，直至位错线扫过整个晶面，到达晶体表面为止。位错滑移的方向、晶体滑移的方向与外力方向和柏氏矢量的关系概括如下：刃型位错滑移方向：与外力τ及柏氏矢量b一致，正、负位错滑移方向相反；螺型位错滑移方向：与外力τ及柏氏矢量b垂直，左、右位错滑移方向相反；混合位错滑移方向：与外力τ及柏氏矢量b成一定角度；晶体滑移的滑移方向：与外力τ及柏氏矢量b一致。位错滑移与晶体滑移当一个柏氏矢量为b的位错线扫过整个滑移面之后，晶体即发生一个矢量为b的滑移，其滑移量的大小和方向，均与b相同，而与位错线的距离、方向无关。必须注意，不可把位错线滑移矢量与晶体滑移矢量混为一谈。例如，图3－5，表示的位错环，在同一外力作用下，虽然其各点位错线滑移方向不同，均按法线方向向外扩展，但是当它扩散到整个滑移面而扫出晶体后，滑移面以上的晶体相对于滑移面一下的晶体，滑移了一个柏氏矢量b，由此可以看出，位错线的滑移方向与晶体的滑移方向并不都是一致，因为晶体滑移的方向，总是与外力的方向及柏氏矢量的方西一致，而位错滑移的方向总是位错线的法线，不一定与外力及柏氏矢量一致。攀移所谓攀移就是位错线上的原子扩散到晶体中其它缺陷区（如空位、晶界），从而导致半原子面缩小，位错线沿滑移面法线方向上升；或者反过来，晶体点阵上的原子扩散到位错线下方，从而导致半原子面扩大，位错线沿滑移面法线方向下降。这种位错线沿滑移面法线方向的运动称为攀移。伴随着半原子面缩小的攀移为正攀移；半原子面扩大的攀移称为负攀移。由于攀移伴随着半原子面的缩小或扩大，即半原子面上原子不守恒，故攀移也称为非守恒运动，而滑移则称为守恒运动。（1）位错攀移是靠原子或空位的转移来实现的（2）由于攀移需要物质扩散，因此不可能整条位错线同时攀移，只能一段一段的逐段进行。这样位错线在攀移过程中就会变成折线。（3）原子扩散需要提供较大热激活能，所以使位错攀移，比之使它滑移需要更大的能量。只有在高温下，位错的攀移才容易实现。（4）作用在半原子面上的正应力和晶体中过饱和空位，有助于位错进行攀移（5）螺型位错没有多余半原子面，不发生攀移。9.2螺型位错的运动螺型位错只能滑移不能攀移，因为它没有附加的半原子面，不存在半原子面扩大或缩小的问题。当然这并不是说螺型位错的原子不向晶体中其它缺陷区扩散，也不是说晶体中的原子不向螺型位错扩散。问题在于，扩散的结果并不能改变螺型位错的位置。

第7次课位错的运动9.2混合位错的运动两种运动方式，守恒运动和非守恒运动。前者是位错在滑移面（l×b）上滑移。后者是位错线脱离滑移面的运动。定理：不论混合位错是什么形状，也不论它的运动是守恒的还是非守恒的，位错线运动的方向总是和位错线垂直。位错扫过整个运动面时，运动面两边的晶体的相对位移总是b。

例题：已知位错环ABCDEA的柏氏矢量为b，外应力为τ和σ，如图所示，求（1）位错环的各边分别是什么位错？（2）如何局部滑移才能得到位错环？（3）在足够大的剪应力τ作用下，位错环将如何运动？晶体如何变形？（4）在足够大的拉应力σ的作用下，位错环将如何运动？它将变成什么形状？晶体将如何变形？解：（1）根据柏格斯矢量与位错线的关系，可以判断AB是右旋螺位错，CD是左旋螺位错；BC是正刃型位错，DA是负刃型位错。设想在完整晶体中有一个贯穿晶体的上、下表面的正四棱柱，它和滑移面MNPQ交于ABCDA，现让ABCDA上部的柱体相对下部的柱体滑移b，柱体外的各部分晶体均不滑移。这样ABCDA就是在滑移面上已滑移区（环内）和未滑移区（环外）的边界，因而是一个位错环。在剪应力τ作用下位错环上部的晶体将不断沿x方向（即b的方向）运动，下部晶体则反向（沿－x轴或－b方向）运动。按照l×v规则，这种运动必然伴随着位错环的各边向环外侧运动（即AB，BC，CD，DA四段位错分别沿－z轴、＋x轴、＋z轴和－x轴方向运动），从而导致位错环扩大，如图所示。在拉应力σ作用下，在滑移面上方的BC位错的半原子面和滑移面下方的DA位错的半原子面都将扩大，因而BC位错将沿－y轴方向运动，DA位错则沿y轴运动，但AB和CD两条螺型位错是不动的，因为螺型位错只能在剪应力作用下滑移，这样位错环就会变成途中所示的ABB’C’CDD’A’A第7次课位错的总结位错的基本几何性质归纳：位错是晶体中的线缺陷，它实际上是一条细长的管状缺陷区，区内的原子严重地错排或“错配”位错可以看成是局部滑移或局部位移区的边界。柏氏矢量b是表征位错的最重要参量。根据b和位错线l的相对位向，可将位错分为三类：刃型位错（b和l垂直），螺型位错（b和l平行）和混合位错（b和l成任意角）。b的大小决定了位错中心区的原子“错配度”和周围晶体的弹性变形，从而决定了能量的大小。位错线必须是连续的。它或者起止于晶体表面（或晶界），或形成封闭回路（位错环），或者在节点处和其它位错连接。单独讨论位错线的正向或柏氏矢量的正向是没有意义的。但是，为了表示位错的性质，需要按下述规则认为地规定位错和柏氏矢量的正向，该规则是：对于刃型位错，l×b指向附加的半原子面；对于螺位错，l//b为右旋，l//（－b）为左旋。b最重要性质是它的守恒性，即流向某一结点的位错线的柏氏矢量之和等于流出该结点的位错线的柏氏矢量之和。由此又可推出，一条位错线只能有一个b。关于位错的运动运动方式：刃型位错可以滑移，也可以攀移。螺型位错只能滑移，不能攀移。混合位错可以滑移，也可以一面滑移（螺型分量滑移），一面攀移（刃型分量攀移）。运动面：滑移面是由l和b决定的面，即l×b。对刃位错和混合位错，它是唯一的，对于螺型位错则不唯一，包含位错线的任意平面都可以是滑移面。刃型位错攀移时运动面就是垂直于滑移面的半原子面，或者说，垂直于b的晶面。运动方向：不论滑移、攀移或者即滑移又攀移，位错线的运动方向v是垂直于位错线。运动量：不论位错作何种运动，当位错扫过单位面积的运动面时，运动面两边的晶体的平均相对位移量b/A，这里A是整个运动面的面积。位错的运动方向v、晶体各部分的位移方向V和外应力σij的关系：V和σij的关系不言自喻。v和V的关系由l×v规则确定。位错的交割和割阶一交割、割阶与扭折一概念穿过某一晶面的若干位错，称为这个晶面的“林位错”，一个位错，在某个晶面上运动时，与林位错相遇，就要受到它的应力场的阻碍，不同滑移面上的任意两个位错相遇，都会这样。当外力足够大时，两个相遇的位错便交叉通过，继续向前运动。两个位错交叉通过的行为，叫位错交割或交截。位错被另一位错交割后，往往产生扭折。此扭折线段，如果在位错运动中消失不了，就叫位错的割阶。割阶又按它是否可以随着原位错一起移动，分为可动割阶和不动割阶。当割阶的滑移方向与原位错滑移方向一致时，可以随着原位错一起滑移，称之为可动割阶或随动割阶。有的割阶，它的滑移方向与原位错滑移方向不一致，便不可能随着原位错一起滑移，只能在很大的应力推动下，被原位错拖着攀移，称之为不动割阶或拖动割阶。二分析交割和割阶的步骤和方法1一个位错被另一位错交割后是否发生扭折，只要看这一位错的滑移面在另一位错通过后，是否形成台阶就可以断定。当交割位错的柏氏矢量（如b1）和滑移面（如S1）的法线向（如n1）同时垂直于被交割位错的柏氏矢量（如b2）时，交割后，被交割的位错滑移面（如S2）就不会被扭成台阶，这一位错就不会发生扭折；否则发生扭折。2一个位错被另一位错交割后如果发生扭折，它能否形成割阶，只要看扭折线在不在原位错滑移面上就可以断定。不在原位错滑移面上的扭折就是割阶。凡是交割位错的柏氏矢量在被交割位错的滑移面法向上的矢量分量不为零时，均可形成割阶。否则，只能是扭折，不能形成割阶。3断定了可以形成割阶之后，在进一步分析割阶的大小，性质等。首先需要确定割阶的可滑移面。交割位错的柏氏矢量在被交割位错的滑移面法线上的矢量分量，与原位错的柏氏矢量构成的晶面，即割阶的可滑移面，进而分析割阶与原位错的滑移发现方向是否一致，以判断它是不是可动割阶。几种典型位错的交割：柏氏矢量相互平行的两各刃型位错交割，只能形成扭折，不能形成割阶。柏氏矢量互相垂直的两刃型位错的交割，只能是可动割阶，因此只增加位错运动的阻力，并不妨碍位错的滑移柏氏矢量垂直的刃型位错与螺型位错交割后，刃型位错形成可动割阶，在运动中，螺型位错将被拉直，不能成为割阶，只能是扭折。例题：设在简单立方晶体（100）面上，有一柏氏矢量为b1＝【0－11】的刃型位错，它分别被（001）面上的柏氏矢量为b2＝【0－10】与b3＝【100】的两刃型位错交割，试分析它们交割的情况？解：（1）位错b1被位错b2交割位错b1的滑移面（100）法向n1＝【100】虽然垂直b2，但b1和b2不垂直，所以位错b1和被位错b2交割后，会发生扭折，而且，扭折线的滑移面，即b1【0－11】与b2【0－10】构成的晶面（100），正好是原位错b1的滑移面，因此，在原位错运动时，扭折将被拉直，不能形成割阶。（2）同理分析，位错b1被b3交割后则形成割阶。

第7次课位错密度和晶体的变形速率7．1位错密度的定义及其实验测定定义：单位体积的晶体中位错线的总长度。为了便于实验测量，人们假定晶体中的位错线都是彼此平行的直线形状，每条位错线长度都是l，如果晶体中共有N条位错线，那么位错密度为：ρ＝Nl/V＝Nl/hdl＝N/hd＝N/A┴式中l，d，h是晶体的尺寸，A┴＝hd是垂直于位错线表面的面积。讨论：位错密度等于在垂直于位错线的平面上单位面积位错露头（位错露头是指位错线和观察表面的交点）。由于位错露头处的原子处于亚稳状态，只要选择适当的腐蚀剂，此处就会被优先腐蚀而形成蚀坑。因此只要测定单位观察表面内的蚀坑数既可得到位错密度。

位错密度的单位是（mm－2）。在充分退火的金属中ρ约等于104～106mm－2图22假想的位错形状和分布7．2位错密度和晶体的变形速率固体受外力作用而使各点间相对位置的改变,当外力撤消后,固体又恢复原状谓之“弹性形变”。若撤去外力后

,不能恢复原状,则称为“范性形变”。位错密度直接关系到晶体的变形量和变形速率。推导切变速率公式：假定在体积为l×d×h的晶体中含有N条彼此平行的刃型位错（见图23）。在外加剪应力τ的作用下，各刃型位错分别在各自的滑移面上滑移。如果第i位错滑移的距离为△xi，那么它引起的晶体位移将是。因此N条位错滑移所引起的晶体总位移就是：（43）晶体的宏观剪切变形γ应为：（44）（45）引入位错的平均滑移距离△x，（46）将上式及（43）代入（45）得到：由此得到晶体的切变速率为：式中ρ是滑移位错的密度，是位错的平均滑移速率。7．3位错密度和晶体的强度实际晶体中位错密度越低，晶体的强度越高。另一方面，从冷加工金属的强度比退火金属高的多这一事实又可推出，位错密度越高，晶体的强度就越高。综合以上两种情形可得出：位错密度和晶体强度的关系曲线必然是一条U形曲线（图24）。该图表明：在位错密度较低时，晶体的强度随着位错密度的增加而减少，在位错密度较高时则相反，曲线的极小值对应于退火金属的晶体强度和位错密度值。讨论：在工程实际中如果想得到最高的强度，可以采取两条相反的途径：1尽量减少位错密度，如C钠米管；2尽量增大位错密度，如非晶态材料。位错密度是单位体积晶体中的位错线的总长度，但为了便于实验测定，将单位面积的观察表面上位错的露头数（或蚀坑数）近似地当作位错密度。位错密度是决定晶体的塑性和强度的最重要的参量之一。

第8次课固体弹性理论介绍8．1应力及其表示当固体受外力作用时，外力将传递到固体的各部分，因而固体的一部分对相邻的另一部分就会产生作用力，这种力是内力。作用在单位面积上的力就称应力。如果某部分物体受到的作用力是沿物体表面的外法线方向，它所产生的应力就是拉应力。反之称作压应力。拉应力和压应力都和作用面垂直，统称正应力。如果作用力平行于作用面，则为剪力，单位面积上的剪力就称为剪应力。8.2材料力学和弹性力学表示方法材料力学：正应力—σ，拉应力为正，压应力为负；剪应力—τ，使单元体顺时针旋转为正，逆时针为负。剪应力互等定理—由于单元体是处于平衡状态的，故它的相互垂直表面上的剪应力必然大小相等，符号相反。弹性力学：1工程标注法：仍用σ表示正应力，τ表示剪应力。其中有两个下标，第一个下标代表应力的作用面，第二个下标代表应力方向。τxy—代表作用在x面上沿y轴方向的应力。Aσxx，σyyσzz通常简写为σx，σyσzB如果改变两个下标的符号，应力符号仍不变。τxy＝－τx（－y）＝－τ（－x）y＝－τ（－x）（－y）2张量标注法：用x1，x2，x3表示三个坐标轴，正应力和剪应力都用σ表示，但下标不同。第一个下标仍代表应力的作用面，第二个下标仍代表应力方向。当两个下标相同时，该应力是正应力，下标不同时则为剪应力。如σ12，是作用在x1面上沿着x2轴方向的剪应力。和工程标注法一样，也有τij＝－τi（－j）＝－τ（－i）j＝－τ（－i）（－j）讨论：要确定一点的应力状态，需要给出通过该点的3个正交平面上的应力，因而需要给出9个应力分量，即：σx，σyσz和τxy,τxz,τyz,τzx,τzy;用张量表示法：σ11，σ12σ13σ21，σ22σ23σ31，σ32σ33，由于剪应力互等，故9个分量中只有6个是独立的。图25一点的应力状态表示及标注法a工程标注法b张量标注法补充知识：应力张量及其变换物理量从数学上讲大体可分为三类：a标量：只用一个数描述，与坐标系的选择无关。如，温度、密度、强度：B向量：既有大小、又有方向的物理量，如，速度、加速度、力等。C：张量：用3n个分量表示的无理量，n对应于几阶张量。如，应力或应变为2阶张量，压电系数为3阶张量，弹性系数为4阶张量。张量和矩阵的区别：尽管张量和矩阵形式上类似，但矩阵的元素只是一些没有物理意义的数，而张量的元素则有明确的物理意义。此外，前者可进行加减乘除等各种运算，而张量不能运算。8．3应变分析：位移和应变张量固体受外力作用时，不仅有可能发生整体位移，而且固体内部的质点间必然发生相对位移，前者和固体的变形无关，后者则决定了固体的应变。应变分为正应变和负应变。两个相距为单位距离的平行平面沿法线方向的相对位移就是正应变ε（ε大于0时伸长，反之缩短），沿切线方向（即平行于平面）的相对位移就是剪应变γ。正应变引起固体长度变化，剪应力引起角度变化。应变是由应力引起的。表示一点应力状态的单元在各个应力分量的作用下将发生体积和形状的变化，对应于9个应力分量，应该有9个应变分量，构成应变张量。将相对位移分解为沿着坐标轴x1，x2，x3方向的三个分量u1，u2，u3。应变和位移关系的一般表达式：，，,，其中γij指在ij面上的角变形。根据正应变可以求出固体体积膨胀率：，所以膨胀率是一个与坐标系的选择无关的量。对于柱坐标下的应变量公式为：，，8．4虎克定律实验发现，应力和应变成线性关系，这即为虎克定律。考虑到一个方向的伸长辉伴随着与它正交的方向收缩υ倍（υ称为泊松比），虎克定律应写为：，，式中，E称作杨氏模量，G为剪切模量。E，G和ν都是材料常数。三者关系E＝2G（1＋ν）此外，等静压力p和体积变化率也成线性关系：p＝K（ΔV/V）式中，K为体弹性模量，也是一个材料常数，有：K＝E/3（1－2ν）第8次课位错的应力场8．5螺型位错的应力场（1）螺位错的力学模型将一个很长的厚壁圆筒沿径向平面切开一半，并让切面两边沿轴向相对滑移一段距离b，然后将切面两边胶合，见图33。这就相当形成了一个螺位错，位错线即为圆筒的中心轴线，位错的中心就相当于圆筒的空心部分，而圆筒的实心部分的应力分布就反映了螺型位错周围的应力分布。图33螺位错的力学模型位移、应变和应力首先建立右手正交坐标系，使z轴沿位错线，y面为划移面，如图示。由模型可知，形成螺位错只有轴向位移没有径向和切向位移。由于θ角由0增至2π时，位移由0增至b，故：用圆柱坐标表示时：ur＝uθ＝0，uz＝（b/2π）θ（75a）用笛卡儿坐标表示：ux＝uy＝0，uz＝（b/2π）tg－1（y/x）（75b）将式75b代入上次课介绍的64：，,则得到：（用柱坐标表示：）将式75a代入72得到：最后根据虎克定律得到应力分布如下：，或其中讨论：螺位错的应力场有以下特点：没有正应力分量。剪应力对称分布：在包含位错线的任何径向平面上剪应力都是，与θ角无关，这显然是由螺位错的对称结构决定的。

第10次课位错的应力场10．1刃型位错的应力场（1）刃型位错的力学模型（图34刃位错的力学模型）将一个很长的厚壁圆筒沿径向平面切开一半，并让切面两边沿径向相对滑移一段距离b，然后将切面两边胶合，如图所示（34）。这就相当于形成了一个刃位错，位错线即为圆筒的轴线，位错的中心区相当于圆筒的空心部分，而圆筒的实心部分的应力分布就反映了刃位错周围的应力分布。（2）应力场形成刃位错时没有轴向位移，只有径向位移，因而位移是二维的（平面应变）。其应力场：式中讨论图35刃型位错的应力场根据上式可将刃型位错的应力场表示在图35中，从图中可以看出：在刃型位错的应力场中，同时存在着正应力和切应力；刃型位错的应力场，对称于多余半原子面；当y＝0时，σx＝σy＝σz＝0，σxy、σyx取最大值，即在滑移面上无正应力，只有切应力，且其切应力最大；σx与y的符号相反。在y>0处σx<0，这表明，在附加半原子面的区域，沿x方向的应力是压应力，而在不含半原子面的区域则为拉应力。在x=0或x＝y时，即在半原子面上或与滑移面成45的晶面上，无切应力。在y＝0处，。将该式和螺位错的79式比较，发现：无论是螺型还是刃型位错，作用在滑移面上沿这滑移方向的剪应力τs都可写成：式中r是所讨论点距位错线的距离，τ0是常数。对螺型位错；对刃型位错，应该指出：上述应力场公式是基于无限大的固体。对于有限固体，表面上的应力是不能按上述公式计算的。

第10次课位错的弹性能和线张力10．2概论由于位错附近的原子离开了正常的平衡位置，使点阵发生了畸变，因而晶体的能量增加了。增加的能量就称为畸变能或应变能。总应变能Etot包括两部分：Etot＝Ecore＋Eel.Ecore是位错中心区由于原子严重错排所引起的畸变能；Eel是中心区以外的区域由于原子的微小位移引起的弹性能。由于位错在运动或与其它缺陷交互作用时，只有Eel发生变化，故本节只计算Eel。16．2计算方法a弹性能密度积分法根据材料力学，单位体积固体的弹性能（弹性能密度）为（张量标记），因此总弹性能为，V是固体的体积。这就是弹性能密度积分法。这种方法仅对应力场比较简单的螺位错才比较方便，对其它位错，计算过程复杂。B做功法计算在按一定模型形成位错的过程中所做的功，此功便作为位错的弹性能而储藏在固体中。例子：用做功法计算刃型位错的弹性能刃位错的形成模型见图36所示，假定在位错形成过程中的某一时刻滑移面（切面）两边的相对位移已经达到b’，（b>b’>0）。此时在圆筒中心就形成了一个柏氏矢量为b’的刃型位错，此位错在滑移面上x处产生的剪切力为。现在让滑移面两边晶体的相对位移由b’增加至b’+db’，那么在位移db’的过程中外力需要反抗τxy做功dW。使位于x到x＋dx之间的滑移面面元ldx（图中阴影部分）两边的晶体相对位移db’所需要做的功为。对整个滑移区积分就可得到。式中r0和R分别是圆筒的内径和外径。再将dW对位移b’积分（0－b）就得到在形成柏氏矢量为b的刃型位错过程中外力做的总功W：此功就是位错的弹性能：采用相同的方法可以算出螺位错的弹性能：由以上的公式可见，位错的弹性能正比于它的长度，因此晶体中的位错力图缩短其长度，以达到最低的能量状态。为了描述位错线缩短的趋势，人们引进位错线张力的概念。位错的线张力定义为位错线增加单位长度时引起的弹性能增加，即：对螺型位错；对刃型位错，，在实际晶体中，r0是位错中心区的半径，2R是晶体中相邻位错间的平均距离。由于τ0r0和R都为常数，故线张力T可写为：由于线张力的作用，弯曲的位错力图伸直（缩短长度）。第10次课作用于位错上的力10．3概论晶体中的位错在外加应力或其它缺陷产生的内应力的作用下将会发生运动或有运动的趋势。为了便于描述位错的运动或运动趋势，假定在位错上作用了一个力F，此力驱使位错运动。按照这个假设，F必然和位错线的运动方向v一致，即F必垂直于位错线。需要注意的三点：1F是一个虚构的力，并不是作用在位错中心区各原子上的实际力。2F来源于晶体中的内、外应力场。若无内外应力场则F＝0。3只要存在内、外应力场，即使静止的位错也受到F的作用—它使位错有运动的趋势。此时v的方向是指如果点阵阻力消失位错将会运动的方向。确定F的依据：令（微观功）dWmic＝dWmac（宏观功），这里所谓的微观功指力F对位错做的功，）dWmic＝FdS（ds是位错线的位移）。宏观功是晶体发生塑性变形时内、外应力对晶体做的功。讨论：1若位错运动，晶体必然变形，则两个功都是实功；2若位错仅有运动的趋势，晶体也仅有变形的趋势，则两个功都是虚功（ds为虚位移）。10．4引起位错滑移的力（1）刃型位错图37给出了正刃型位错线EF，柏氏矢量b和外加剪应力τxy，求引起位错滑移的力Fx。首先假定Fx沿x轴方向，在Fx作用下位错线沿x方向滑移一段距离dx。那么dWmic＝Fxdx。另一方面，由于位错运动方向v沿x轴，按l×v规则，滑移面上方的晶体将沿b的方向（即x轴方向）运动，故τxy做正功。因局部滑移区仅限于l×（dx）的面积元（图中的阴影区），故dWmac＝τxy（ldx）b。由dWmic＝dWmac得到：Fxdx＝τxylbdx，所以Fx＝τxylb，单位长度的位错受力fx＝τxyb图37引起刃位错滑移的力如果所给位错是负刃型位错，则fx＝－τxyb。螺型位错分析螺型位错受力的方法和分析刃型位错完全一样。假设z轴沿位错正向，y面是滑移面，那么很容易得到Fx＝τxylb或fx＝τxyb式中＋号用于右螺型位错，－用于左螺型位错。17．3引起刃位错攀移的力分析图48所示的正刃型位错在拉应力σx的作用下所受的攀移力Fy。首先任意假定一个Fy方向，例如假定它沿y轴方向，因而v也沿y轴。其次，按l×v规则判知，运动面（即l×v面）左边的晶体将沿x轴正向（b的方向）运动，右边的晶体则反向运动。在位错扫过的区域，两边晶体将收缩b，因而σx做负功。若位错线攀移的距离为dy，则dWmic＝Fydy，dWmac＝－（σxldy）b。于是由dWmic＝dWmac得到：Fy＝－σxlb，单位长度位错线受力为fy＝－σxb。如果所给位错是负刃型位错，则得到：：Fy＝σxlb，fy＝σxb综合以上的讨论，我们可以将位错受力F写成：F＝σijb式中，F的方向可以预先任意假定（但必须垂直于位错线），σij是当位错在设定的F作用下运动而导致晶体变形时对晶体做功的应力。若该应力做正功则取＋号，做负功则取－号。图38引起刃型位错攀移的力

第11次课位错与位错间的交互作用18．1同号刃型位错间的交互作用图4－41（a）给出了两个位于相距为d的平行滑移面上的同号刃型位错1和2，其柏氏矢量分别为b1和b2，求位错1对位错2的作用力f12。选坐标系如图4－41。用上节讨论的物理论证法可得到位错2受到的滑移力fx，12和攀移力fy，12：（89）（90）讨论：按照公式89可作出fx，12和x的关系曲线，如图4－42的实线所示。从图看出，当位错2处于x＝y及x＝0的位置时fx，12＝0，但x＝y是亚稳平衡位置，因为2位错无论是沿x轴还是－x轴方向偏离平衡位置时，fx，12的作用都是使它进一步远离平衡位置。X＝0则是稳定平衡位置，无论2位错沿x或－x轴方向偏离一点平衡位置时，fx，12的作用都是使它回到x＝0的位置。由此可见，在晶体范性形变过程中同号刃型位错总是力图排成一列（x＝0的一列位错），形成所谓位错墙，它实际上就是所谓对称倾侧的小角度晶粒边界。按照公式90，f12，y和y同号，这表明同号刃型位错是相斥的，因而排成一列位错墙的各同号位错力图远离。用同样的方法计算位错2对位错1的交互作用力f12，x及f21，y后将会发现，f21，x＝－f12，x，f21，y＝－f12，y。表明一对位错的交互作用力符合牛顿第三定律。18．2异号刃型位错间的交互作用只要将89和90中的b2反号（用－b2代替公式中b2）就得到一对位于相距为d的平行滑移面上的异号位错1和2之间的交互作用力f12，x’和f12，y’。图42的虚线画出了f12，x’与x的关系曲线。从公式和曲线可以看出：当位错2位于x＝y及x＝0的位置时，f12，x’＝0，但x＝y是稳定平衡位置，x＝0是亚稳平衡位置。因此，异号位错力图排在和滑移面成45°的平面上。当位错2沿其滑移面向－x滑移时，将受到位错1的排斥力f12，x’。当d很小时，f12，x’的最大值变得非常大，使位错很难继续滑移，这就是应变硬化的可能原因之一。处于稳定平衡位置的位错2在较小的剪应力τxy作用下发生的位移近似地正比于应力，而在卸载后位错将回到平衡位置，可见位错2的位移所对应的宏观变形也是可逆的。因此，和无位错的晶体相比，在同样应力下有位错的晶体的可逆变形更大了，因而弹性模量减小了。处于稳定平衡位置的位错2在较小的交变应力作用下将围绕平衡位置往复运动，使晶体以热和声波的形式耗散能量，就是说，位错的振动会引起内耗。从f12，y’的公式可知，异号位错相互吸引。异号刃型位错间的作用力也服从牛顿第三定律。图41两个同号刃型位错间的交互作用图4218．3平行螺型位错间的作用力图43画出了一对位于面上、相距为r的平行螺型位错。现求位错1对2的作用力。假定位错1是右旋螺位错，柏氏矢量为b1，那么它在位错2处产生的应力是，因而它对位错2的作用力是。当位错2是右旋时取“＋”号，左旋时取“－”号。这表明，一对同号的平行螺位错相互排斥，异号螺位错则相互吸引。它们的作用力也服从牛顿第三定律。图43一对平行螺位错间的交互作用18．4螺型位错和刃型位错间的交互作用如果将图41中的位错1改为螺型位错，那么它对刃型位错2的作用力必为0，这是因为fx，12＝τxyb2，fy，12＝－σxb2，而螺型位错的应力场中τxy＝σx＝0

第12次课位错观测技术50年代前，人们只能用间接的方法证实位错的存在。A测量冷加工金属晶体的“储能”，将它和理论计算的位错能进行比较。B观察自由长大的晶体表面。如银晶体的螺旋形长大表面。50年代后，研究工作者把光学、电子、X射线、场离子等方面的晶体结构检验技术应用于位错观察。12－1浸蚀坑法原理：通过化学浸蚀或电解浸蚀显示晶体表面的位错“露头”的方法。由于位错中心和附近的晶体点阵发生畸变，而且杂质等溶质原子偏聚在这里，使得这里的化学性能与正常点阵不同，在一定浸蚀条件下，其浸蚀速率不同。测量范围：用于观测金属、合金和化合物晶体中的位错，通过浸蚀坑，不仅可以测定位错密度、显示塞积群和小角度晶界，还可以通过位错浸蚀坑，分辨位错类型；判断晶体位向，研究位错运动。局限性：因为浸蚀坑有一定尺寸，位错密度大时，便会互相重叠，不易区分。这种方法只适用于位错密度很小（ρ<106cm-2）的晶体。12－2缀饰法原理：选择具有一定光学特性的沉淀粒子做溶质，以它缀饰位错，使位错线在光学显微镜下被显示出来的方法。例子：在900摄氏度下，把Cu扩散进Si晶体，再将晶体冷却到室温，Cu即沉淀在位错线及其附近。Si晶体可以透射红外线，而Cu粒子不能透射红外线，用红外线照射时，被Cu缀饰的位错线就呈现为暗影。特点：只限于在透明晶体得到实际应用，在金属晶体中应用有困难。12－3电子显微分析12－3－1透射法电子显微镜的分辨率一般在几个纳米～几十个纳米，可以探测到点阵常数较大的晶体中的位错。12－3－2水纹法原理：为了用透射法观察点阵常数较小的晶体中的位错，可以将两片晶体薄膜，以适当的晶体位向角度重叠起来，使之成为点阵常数较大的重叠点阵，这样的重叠点阵的图像，叫水纹图。特点：12－3－3电子衍射法原理：一定强度的电子束穿过一晶体薄膜（一般厚度为1000A）之后，分成透射波和衍射波两不分，这两部分电子波的强度总和等于入射波的强度。在入射波一定的情况下，其中一个波增强必然伴随另一个波减弱。由于位错及其附近属于畸变区，与正常点阵的晶体相比，对同样入射波会发生不同程度的衍射，位错线的衍射波强度较大。通过光阑控制明场像（透射波成像），或暗场像（衍射波成像），位错区呈现明场像暗，暗场像亮的特点。12－4其他方法X射线衍射衬像法与电子衍射类似，差别在于X射线波长更长，且不带电，其分辨率较低。场离子显微镜观察计算机模拟第12次课几个概念：林位错—穿过某一晶面的若干位错，称为这个晶面的“林位错”。一个位错，在某个晶面上运动时，与林位错相遇，就要受到它的应力场的阻碍。交割—不同滑移面上任意两个位错相遇，都会收到应力场阻碍，当外力足够大时，两个相遇的位错便交叉通过，继续向前运动，这两个位错交叉通过的行为，叫位错交割。割阶—位错被另一位错交割后，往往产生扭折，此扭折的线段，如果在位错运动中消失不了，就叫位错的割阶。派－纳力—是使位错起动（即开始滑移）所需要的剪切力。它是晶体点阵对位错运动的阻力。这种阻力来源于滑移面上、下两层原子原子间的引力。金属强化的位错机制1加工硬化机制金属在冷却变形时得到强化，屈服强度、硬度、矫顽力、电阻系数都随着变形度的增加而提高。例子：在面心立方金属的单晶体通过拉身试验而测出的应力—应变曲线，如图所示。应力随着切应变的加大而加大的速率，在三个不同的变形阶段是不相同的。以表示硬化率。在塑性变形开始后，第I阶段θ很小，硬化率很低，在变形的第II阶段，硬化率很高，而且基本上是个恒定值，当变形量很大时，即变形的第III阶段，θ角变小，硬化率降低，变形又容易进行了。解释：在变形开始时，即第I阶段，外力以任一取向作用于晶体，往往只在晶体中某一个有利取向的滑移系引起滑移，位错在单一的滑移，所需要克服的阻力较为简单，只包括派－纳力，同号位错间的阻力以及与晶体中固有滑移面上的林位错发生交割后产生弯曲和割阶所引起的阻力等。上述阻力，固然随着应变的增加而增加，有一定的硬化率，但是没有更复杂的位错间的交互作用产生的阻力，所以需要的切变应力较小，而且随着应变增加，应力增加很慢，硬化率很低。在第II阶段，当变形量达到一定程度后，由于晶体的转动，力轴的相对取向发生变化，原来处于有利取向的滑移系变化到不利于取向上去，其他原来处于不利取向的滑移系，在更大应力作用下，开始双滑移、以致多系滑移。在不同滑移系上滑移的位错相遇后，会发生交割，产生割阶或发生反应，形成不动割阶，L－C位错等。有的不动位错