5专题五　万有引力与宇宙航行训练册

专题五万有引力与宇宙航行目录题型方法培优提升题型15万有引力定律的应用五年高考三年模拟题型16天体(卫星)环绕模型五年高考三年模拟题型17双星模型及多星模型五年高考三年模拟题型15万有引力定律的应用题型方法五年高考1.

(2025湖南,4,4分)我国研制的“天问二号”探测器,任务是对伴地小行星及彗星交会等进行多目标探测。某同学提出探究方案,通过释放卫星绕小行星进行圆,可

测得小行星半径R和质量M。为探测某自转T0的小行星,卫星先在其同步轨道上

运行,测得距离小行星表面高度为h,接下来变轨到小行星表面附近绕其做匀速圆

动,测得T1。已知引力常量为G,不考虑其他天体对卫星的引力,可根据以上物理

量得到R=

h,M=

。下列选项正确的是

()A.a为T1,b为T0,c为T1B.a为T1,b为T0,c为T0C.a为T0,b为T1,c为T1

A

D.a为T0,b为T1,c为T0

解析由开普勒第三定律有

=

,得R=

h,所以a=T1,b=T0。C、D错误。该卫星在该小行星表面附近做匀速圆时,有

=m

R,得M=

,故c为T1,A正确,B错误。

总结归纳求绕同一中心天体运动的T、R关系,首先联想到开普勒第三定律。求中心

天体的质量,要想到万有引力定律和牛顿第二定律。2.

(2023湖南,4,4分)根据宇宙大爆炸理论,密度较大区域的物质在万有引力作用下,不断聚集可能形成恒星。恒星最终的归宿与其质量有关,如果质量为太阳质量的1~8倍

将坍缩成白矮星,质量为太阳质量的10~20倍将坍缩成中子星,质量更大的恒星将坍缩

成黑洞。设恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体,质量不变,体积缩小,自转变快。

不考虑恒星与其他物体的相互作用。已知逃逸速度为第一宇宙速度的

倍,中子星密度大于白矮星。根据万有引力理论,下列说法正确的是

()A.同一恒星表面任意位置的重力加速度相同B.恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前的大C.恒星坍缩前后的第一宇宙速度不变

B

D.中子星的逃逸速度小于白矮星的逃逸速度

解析恒星两极处有mg极=G

,则g极=

,其他位置由于物体需要跟随恒星自转而做圆,导致万有引力的一个分力用于提供物体跟随恒星自转所需向心力,另一分力

为重力,故两极重力加速度大于恒星表面其他位置的重力加速度,A错误。恒星坍缩后

质量不变,体积缩小,即恒星半径R减小,所以坍缩后表面两极处的重力加速度g极=

和第一宇宙速度v1=

都随着R的减小而增大,B正确,C错误。由ρ=

、V=

πR3、v2=

v1、v1=

可得,v2=

,由题知中子星密度大于白矮星密度,中子星质量大于白矮星质量,故中子星的逃逸速度大于白矮星的逃逸速度,D错误。3.

(2024黑吉辽,7,4分)如图(a),将一弹簧振子竖直悬挂,以小球的平衡位置为坐标原点O,竖直向上为正方向建立x轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放,其在地球与某球

状天体表面做简谐运动的图像如图(b)所示(不考虑自转影响)。设地球、该天体的平

均密度分别为ρ1和ρ2,地球半径是该天体半径的n倍。

的值为

()

C

A.2n

B.

C.

D.

解析设地球表面的重力加速度为g,该球状天体表面的重力加速度为g',由题图(b)可

知k×2A=mg,k×A=mg',可得g'=

,设地球半径为R,则该球状天体半径为

,对地球表面质量为m的物体,有

=mg,M=ρ1×

πR3,解得地球的平均密度ρ1=

,同理可得该球状天体的平均密度ρ2=

,解得

=

=

,C正确。4.

(2024广东,9,6分)(多选)如图所示,探测器及其保护背罩通过弹性轻绳连接降落伞,在接近某行星表面时以60m/s的速度竖直匀速下落,此时启动“背罩分离”,探测器

与背罩断开连接,背罩与降落伞保持连接。已知探测器质量为1000kg,背罩质量为50

kg,该行星的质量和半径分别为地球的

和

,地球表面重力加速度大小取g=10m/s2。忽略大气对探测器和背罩的阻力。下列说法正确的有

()

AC

A.该行星表面的重力加速度大小为4m/s2B.该行星的第一宇宙速度为7.9km/sC.“背罩分离”后瞬间,背罩的加速度大小为80m/s2D.“背罩分离”后瞬间,探测器所受重力对其做功的功率为30kW

解析设地球质量为M,半径为R,表面重力加速度为g,则在地球表面的物体满足

=m'g,解得g=

;同理,该行星表面重力加速度g'=

,解得g'=

g=4m/s2,A正确。地球的第一宇宙速度满足

=m″

,则v1=

=7.9km/s,该行星的第一宇宙速度v1'=

=

v1≠7.9km/s,B错误。“背罩分离”前弹性轻绳拉力大小T=(m+m0)g'=4200N,“背罩分离”后瞬间,弹性轻绳拉力大小不发生突变,设背罩的加速度大小为a,对背罩受力分析有T-m0g'=m0a,解得a=80m/s2,C正确。“背罩分离”后瞬间探测器所受重力

对其做功的功率P=mg'v=240kW,D错误。1.

(2025三湘名校联盟联考二)2024年10月30日,搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭点火发射。11时,飞船与空间站组合体完成自主快速交会对接,两

个航天员乘组完成中国航天史上第5次“太空会师”,如图所示。飞船关闭发动机,在

“奔向”空间站的过程中,用h表示飞船与地球表面的距离,a表示它的加速度。忽略空

气阻力,能够描述a随h变化关系的图像是

()

B

三年模拟

解析根据万有引力定律和牛顿第二定律得G

=ma,解得a=

,可知h越大,a越小,且a与h不是线性关系,B正确。2.

(2025河南信阳质检二)2024年10月30日,神舟十九号载人飞船成功实现了与天和核心舱前向端口的对接,标志着我国航天事业又取得进一步突破。对接后的飞船与天

和核心舱形成一个新的组合体,将该组合体绕地球的运动视为匀速圆。已知引

力常量G,根据下列物理量能计算出地球质量的是

()A.组合体的质量和运动半径B.组合体的质量和运动

C

C.组合体的线速度和运动半径D.组合体的角速度和运动

解析根据

=m

=mω2r=mr

可得M=

=

=

,已知G、m和r无法计算地球质量M,A错误;已知G、m和T无法计算M,B错误;已知v、r、G可计算M,C正确;已知

ω、T,但该组合体绕地球运动的轨道半径r未知,所以无法计算地球质量,D错误。3.

(2025长郡中学月考四)电影中的太空电梯非常吸引人。现假设已经建成了如图所示的太空电梯,其通过超级缆绳将地球赤道上的固定基地、同步空间站和配重空间

站连接在一起,它们随地球同步运动。图中配重空间站比同步空间站更高,P是缆绳上

的一个平台。下列说法正确的是

()

D

A.太空电梯上各点加速度与该点到地心的距离的二次方成反比B.超级缆绳对平台P的作用力方向指向地心C.若从配重空间站向外自由释放一个小物块,则小物块会一边朝配重空间站运动的方

向向前运动,一边落向地球D.若两空间站之间缆绳断裂,配重空间站将绕地球做椭圆运动,且断裂处为椭圆的近地点

解析太空电梯上各点的角速度相等,由a=ω2r可得太空电梯上各点加速度与该点到地

心的距离成正比,A错误。对平台P,由牛顿第二定律得G

+F=m

,由于v小于P只受万有引力时的线速度,故F为负值,即超级缆绳对平台P的作用力方向背离地心,B错误。

从配重空间站向外自由释放的小物块由于受到的万有引力小于其做圆需要的

向心力,做离心运动,C错误。两空间站之间的缆绳断裂,配重空间站将做离心运动,但仍

受地球的万有引力,故配重空间站将绕地球做椭圆运动,且断裂处为椭圆的近地点,D正

确。

示太空电梯上的各点(除同步空间站所在位置)不满足万有引力提供向心力,

故不能利用a=

判断a与r2的关系。4.

(202某省市一中月考四)2024年9月20日,我国在西昌卫星发射中心使用快舟一号甲运载火箭,成功将天启星座29~32星发射升空,卫星顺利进入预定轨道,发射任务获得圆

满成功。已知卫星的运行速度的三次方v3与其倒数

的关系图像如图所示,地球半径为R,引力常量为G,卫星绕地球的运动可看作匀速圆,下列说法正确的是

()

C

A.地球的质量为

B.地球的平均密度为

C.地球表面的重力加速度为

D.卫星在近地轨道运行的线速度大小为

解析由万有引力提供向心力有G

=mr

,可得r3=

,根据v=

,联立可得v3=2πGM·

,由题图知k=2πGM=

,地球的质量为M=

,A错误;地球的体积V=

πR3,则地球的平均密度为ρ=

=

×

=

,B错误;卫星在地球表面有G

=mg,可得地球表面的重力加速度为g=

=

,C正确;卫星在近地轨道运行,由万有引力提供向心力得G

=m

,可得其线速度大小v=

=

,D错误。题型16天体(卫星)环绕模型五年高考1.

(2025河南,3,4分)2024年天文学家报道了他们新发现的一颗类地行星Gliese12b,它绕其母恒星的运动可视为匀速圆。已知Gliese12b轨道半径约为日地距离的

,其母恒星质量约为太阳质量的

,则Gliese12b绕其母恒星的运动为

()A.13天

B.27天C.64天

D.128天

A

解析由万有引力提供向心力及牛顿第二定律得G

=m

r,所以T=2π

,故有T∝

,设该类地行星和地球的公转别为T1,T2,则

=

=

,又T2=365天,故T1≈13天,A正确。2.

(2024安徽,5,4分)2024年3月20日,我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时,鹊桥二号开始进行近月制动,并顺利进入捕获轨道

运行,如图所示,轨道的半长轴约为51900km。后经多次轨道调整,进入冻结轨道运行,

轨道的半长轴约为9900km,为24h。则鹊桥二号在捕获轨道运行时

(

)A.为144h

BB.近月点的速度大于远月点的速度C.近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度D.近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度

解析根据开普勒第三定律得

=

,可得T2=T1

≈288h,A错误;根据开普勒第二定律可知,鹊桥二号在近月点的速度大于在远月点的速度,B正确;从捕获轨道到冻结轨道,

鹊桥二号需要减速做近心运动,故鹊桥二号在捕获轨道运行时近月点的速度大于在冻

结轨道运行时近月点的速度,C错误;根据

=ma可得a=

,可知在捕获轨道运行时近月点的加速度等于在冻结轨道运行时近月点的加速度,D错误。

示根据牛顿第二定律,一定质量的物体加速度取决于物体的受力,即无论物体

是否做圆,径向的加速度都由实际受力决定,an=

是计算圆向心加速度的数学表达式,并不能由此公式判断决定加速度大小的因素。3.

(2021湖南,7,5分)(多选)2021年4月29日,中国空间站天和核心舱发射升空,准确进入预定轨道。根据任务安排,后续将发射问天实验舱和梦天实验舱,计划2022年完成空

间站在轨建造。核心舱绕地球飞行的轨道可视为圆轨道,轨道离地面的高度约为地球

半径的

。下列说法正确的是

()A.核心舱进入轨道后所受地球的万有引力大小约为它在地面时的

倍B.核心舱在轨道上飞行的速度大于7.9km/sC.核心舱在轨道上飞行的于24hD.后续加挂实验舱后,空间站由于质量增大,轨道半径将变小

AC

解析核心舱在地面上所受万有引力F0=G

,入轨后,所受万有引力F=G

=

F0,A正确。核心舱绕地球运行的速度小于最大环绕速度7.9km/s,B错误。核心舱轨道半径小于地球同步卫星的轨道半径,其于24h,C正确。根据G

=

可知r=

,空间站的轨道半径与其质量无关,D错误。4.

(2022辽宁,9,6分)(多选)如图所示,行星绕太阳的公转可以看作匀速圆,在地面上容地球-水星连线与地球-太阳连线夹角α,地球-金星连线与地球-太阳连

线夹角β。两角最大值分别为αm、βm,则

()

BC

A.水星的公转金星的大B.水星的公转向心加速度比金星的大C.水星与金星的公转轨道半径之比为sinαm∶sinβmD.水星与金星的公转线速度之比为

∶

解析金星绕太阳运动的公转轨道半径比水星的大,由“高轨低速大”可知,金星

的公转水星的大,A错误;由牛顿第二定律有G

=ma,解得a=G

,水星的公转轨道半径更小,则水星的向心加速度更大,B正确;当地球与行星的连线与行星运行轨迹相

切时,夹角最大,设地球的公转轨道半径为R,则水星公转轨道半径为Rsinαm,金星公转轨

道半径为Rsinβm,水星与金星的公转轨道半径之比为sinαm∶sinβm,C正确;由万有引力

充当向心力有G

=m

,解得v=

,水星与金星的公转线速度之比为

∶

,D错误。5.

(2023广东,7,4分)如图(a)所示,太阳系外的一颗行星P绕恒星Q做匀速圆动。由于P的遮挡,探测器探测到Q的亮度随时间做如图(b)所示的变化,该

与P的公转同。已知Q的质量为M,引力常量为G。关于P的公转,下列说法正确

的是

()

B

A.2t1-t0B.半径为

C.角速度的大小为

D.加速度的大小为

解析由图(b)可知探测器探测到Q的亮度随时间变化的T=t1-t0,则P的公转

为t1-t0,A错误;P绕恒星Q做匀速圆,由万有引力提供向心力有

=m

r,解得P的公转半径为r=

=

,B正确;P的角速度大小为ω=

=

,C错误;P的加速度大小a=ω2r=

·

=

·

,D错误。6.

(2024湖南,7,5分)(多选)2024年5月3日,“嫦娥六号”探测器顺利进入地月转移轨道,正式开启月球之旅。相较于“嫦娥四号”和“嫦娥五号”,本次的主要任务是登

陆月球背面进行月壤采集,并通过升空器将月壤转移至绕月运行的返回舱,返回舱再通

过返回轨道返回地球。设返回舱绕月运行的轨道为圆轨道,半径近似为月球半径。已

知月球表面重力加速度约为地球表面的

,月球半径约为地球半径的

。关于返回舱在该绕月轨道上的运动,下列说法正确的是

()A.其相对于月球的速度大于地球第一宇宙速度B.其相对于月球的速度小于地球第一宇宙速度C.其绕月飞行为地球上近地圆轨道卫星

倍

BD

D.其绕月飞行为地球上近地圆轨道卫星

倍

解析某天体的第一宇宙速度是物体在该天体表面附近绕该天体做匀速圆的

速度,根据万有引力提供向心力得G

=m

,结合黄金代换式GM=gR2可得v=

,则月球的第一宇宙速度v1与地球的第一宇宙速度v2之比

=

=

,返回舱在绕月轨道上相对月球的速度大小近似等于月球的第一宇宙速度,A错误,B正确;返回舱绕月飞

行T1=

,地球上近地圆轨道卫星的运行T2=

,则

=

·

=

,C错误,D正确。1.

(202某省市一中月考一)(多选)我国北斗卫星导航系统定位精度可达米级,如图P点是北纬37°(即θ=37°)地球表面上一颗等待发射的卫星,质量相同的北斗导航卫星A、

B均绕地心O做匀速圆,卫星B是地球同步卫星。某时刻P、A、B、O在同一平面

内,其中O、P、A在一条直线上,且OA垂直于AB,则

()

AC

三年模拟A.三颗卫星中角速度最大的是A卫星B.三颗卫星中线速度最大的是B卫星C.卫星A、B的加速度之比为25∶16D.卫星A、B的动能之比为25∶16

解析

P点卫星和卫星B的角速度大小相等,卫星A、B均绕地心O做匀速圆,都由

万有引力提供向心力,有

=ma=m

=mω2r,rA=rBcos37°,比较卫星的运动参量可知ωP=ωB<ωA,vP<vB<vA,A正确,B错误。由a=

可知卫星A、B的加速度之比aA∶aB=

∶

=25∶16,C正确。由v=

,可得vA∶vB=

∶

=

∶

,A、B质量相同,则卫星A、B的动能之比EkA∶EkB=5∶4,D错误。

方法总结近地卫星、同步卫星、赤道上随地球自转的物体的比较2.

(2025湖北武汉2月调研)2024年6月25日,嫦娥六号返回器携带月背样品重返地球,中国成为第一个从月球背面带回月壤的国家。图(a)为嫦娥六号奔月的示意图,图(b)为

嫦娥六号在地球轨道和月球轨道上运行二次方(T2)与轨道半长轴的三次方(a3)

的关系图,图线Ⅰ和图线Ⅱ的斜率分别为k1和k2。若地球质量为M,则月球的质量为

()

A

A.

M

B.

MC.

M

D.

M

解析设中心天体质量为m,嫦娥六号绕中心天体运行的轨迹为椭圆,轨道半长轴为a,

运行T,根据开普勒第三定律结合万有引力定律得

=

,整理可得T2=

a3,可知T2-a3图线的斜率k=

,则中心天体的质量越大,斜率k越小,则图线Ⅰ对应的中心天体是地球,已知地球质量为M,有k1=

,对于图线Ⅱ,其对应的中心天体是月球,设月球质量为M月,有k2=

,联立解得M月=

M,A正确。3.

(202某省市一中月考六)“天问一号”从地球发射后,在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点,再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道,则“天问一号”

()A.发射速度介于7.9km/s与11.2km/s之间

D

B.从P点转移到Q点的时间小于6个月C.在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度D.在停泊轨道的机械能比在调相轨道的机械能小

解析“天问一号”脱离地球束缚但仍在太阳系运行,则发射速度要大于第二宇宙速

度,即发射速度介于11.2km/s与16.7km/s之间,A错误。地球公转12个月,根据开

普勒第三定律

=k,可知“天问一号”在地火转移轨道的轨道半长轴大于地球的公转半径,则运行于12个月,从P点运动到Q点的时间大于6个月,B错误。“天问一

号”在Q点点火加速进入火星轨道,在地火转移轨道运动经Q点的速度小于在火星轨道

的速度,根据万有引力提供向心力有G

=m

,可得v=

,地球公转半径小于火星公转半径,则地球绕太阳的速度大于火星绕太阳的速度,则在地火转移轨道运动经Q点

的速度小于地球绕太阳的速度,C错误。因从调相轨道变轨到停泊轨道,降轨要点火减速,则在停泊轨道的机械能较小,D正确。4.

(2025河某省市级联考)2024年6月2日至3日,嫦娥六号顺利完成了在月球背面南极—艾特肯盆地的智能快速采样,6月4日7时38分,嫦娥六号上升器携带月球样品自

月球背面发射起飞,随后成功进入预定环月轨道,完成世界首次月球背面采样和起飞。

已知嫦娥六号质量为m,月球半径为R,以无穷远处为零势能点,嫦娥六号在距月球表面

高度为h时的引力势能可表示为Ep=-

(其中G为引力常量,M为月球质量)。若忽略月球的自转,嫦娥六号自月球表面开始发射到进入距离月球表面高度为h0的预定环月

轨道,至少需要对嫦娥六号做的功为

()A.

B.

B

C.

D.

解析根据万有引力提供向心力,可得

=m

,嫦娥六号在环月轨道绕月球做圆的动能Ek=

mv2,联立可得Ek=

;嫦娥六号在距离月球表面h0高度处的引力势能Ep=-

,在月球表面的引力势能Ep0=-

;根据功能关系可得从开始发射到进入预定环月轨道需要对嫦娥六号做的功W=Ep+Ek-Ep0=

,B正确。5.

(2025雅礼中学月考六)2024年6月25日“嫦娥六号”实现世界首次月球背面采样返回,先期进入环月椭圆使命轨道的“鹊桥二号”中继星功不可没。而2018年发射的

“鹊桥一号”运行在地月延长线上的拉格朗日L2点附近并以该点为圆心做圆,

同时与月球保持相对静止一起绕地球运动,目前正在超期服役中。“鹊桥一号”和

“鹊桥二号”轨道位置示意图如图所示。已知地球球心与月球球心间距离为L,L2点

到月球球心距离为d(远大于“鹊桥一号”到L2点的距离),“鹊桥一号”绕地球运动的

“鹊桥二号”在使命轨道n倍,若忽略地球和月球外其他天体对“鹊桥一

号”的影响、忽略月球外其他天体对“鹊桥二号”的影响、忽略地球外其他天体对

月球的影响,则“鹊桥二号”环月椭圆使命轨道的半长轴为

()

D

A.a=

B.a=

C.a=

D.a=

解析设地球质量为M,月球质量为m,“鹊桥一号”质量为m1,“鹊桥二号”质量为m2,

“鹊桥一号”绕地球运行T1,“鹊桥二号”在使命轨道的运行T2,“鹊桥

二号”环月椭圆使命轨道的半长轴为a。依题意L2点到月球球心的距离远大于“鹊桥

一号”到L2点的距离,则“鹊桥一号”可近似视为在L2位置绕地球运动,对“鹊桥一

号”有G

+G

=m1(d+L)

,对月球有G

=mL

,对“鹊桥二号”有

=

,又T1=nT2,联立解得a=

,D正确。题型17双星模型及多星模型五年高考1.

(2024重庆,7,4分)在万有引力作用下,太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆,假设a、b两个天体的质量均为M,间距为2r,其连线的中点为O,另一天体c

(图中未画出)质量为m(m≪M),若c处于a、b连线的垂直平分线上某特殊位置,a、b、c

可视为绕O点做角速度相同的匀速圆,且相对位置不变,忽略其他天体的影响,引

力常量为G。则

()A.c的线速度大小为a的

倍B.c的向心加速度大小为b的一半C.c在一个的路程为2πr

A

D.c的角速度大小为

解析

a、b、c三个天体角速度相同,由于m≪M,则对天体a有G

=Mω2r,解得ω=

,D错误;设c与a、b的连线与a、b连线的中垂线的夹角为α,对天体c有2G

cosα=mω2

,解得α=30°,则c的轨道半径为rc=

=

r,由公式v=ωr,可知c的线速度大小为a的

倍,A正确;由公式a=ω2r,可知c的向心加速度大小是b的

倍,B错误;c在一个运动的路程为s=2πrc=2

πr,C错误。2.

(2023福建,8,6分)(多选)人类为探索宇宙起源发射的韦伯太空望远镜运行在日地延长线上的拉格朗日L2点附近,L2点的位置如图所示。在L2点的航天器受太阳和地

球引力共同作用,始终与太阳、地球保持相对静止。考虑到太阳系内其他天体的影响

很小,太阳和地球可视为以相同角速度围绕日心和地心连线中的一点O(图中未标出)转

动的双星系统。若太阳和地球的质量分别为M和m,航天器的质量远小于太阳、地球的

质量,日心与地心的距离为R,引力常量为G,L2点到地心的距离记为r(r≪R),在L2点的航

天器绕O点转动的角速度大小记为ω。下列关系式正确的是

可能用到的近似

≈

()

BD

A.ω=

B.ω=

C.r=

R

D.r=

R

解析设日心到O点的距离为r1,地心到O点的距离为r2,在“日-地”双星系统中,根据牛

顿第二定律,对太阳有G

=Mω2r1,对地球有G

=mω2r2,其中r1+r2=R,联立解得ω=

,r1=

R、r2=

R,A错误,B正确。对于在拉格朗日L2点的航天器有G

+G

=m'ω2(r2+r),其中该航天器质量为m',根据题目提供的近似式,解得r=

R,C错误,D正确。1.

(2025长郡中学月考七)科学家们通过观测,发现在宇宙中存在一些离其他恒星较远的双星系统,双星系统由两颗距离较近的恒星组成。如图所示,某双星系统中a、b

两星绕连线上一点O各自做圆,已知a、b两星中心间距离为L,运行T,a星

的线速度大小为v,引力常量为G,则b星的质量为

()A.

B.

C

三年模拟C.

D.

解析在双星系统中,两星的相对位置不变,运动同,两颗星之间的万有引力提供

各自做圆的向心力,有

=ma

=mb

,又有L=ra+rb,ra=

,rb=

,联立解得b星的质量mb=

,C正确。2.

(2024长郡中学适应性考试二)两种可能的四星系统构成如图所示,第一种如图甲所示,四颗星稳定地分布在正方形上,均绕正方形中心做匀速圆,第二种如图乙

所示,三颗星位于等边三角形的三个顶点上,第四颗星相对其他三星位于三角形中心,位

于顶点的三颗星绕三角形中心运动。若两系统中所有星的质量都相等,AB=CD=a,则两

种四星系统比值为

()A.

B.

B

C.

D.

解析根据题意,由几何关系可知,图甲中对角线上两颗星的距离为r1=

a,图甲中每颗星受力情况如图1所示,

由万有引力公式F=

可得F1=

,F2=

,则每颗星所受合力为F合1=

+F2=

,由合力提供向心力有F合1=m

·

a,解得T1=2πa

,根据题意,由几何关系可知,图乙中,两个三角形顶点上的星间的距离为r2=

a,图乙中三角形顶点上的星受力情况如图2所示,由万有引力公式F=

可得F3=

=

,F4=

,则三角形顶点上的星所受合力为F合2=2F3cos30°+F4=

,由合力提供向心力有F合2=m

·

a,解得T2=

πa·

,故

=

,B正确。培优提升提分策略本专题在近几年的高考试题情境常涉及中国航天航空科技进展以及国际上重大航天

发现。备考中需多关注万有引力与重力的关系,万有引力在卫星(天体)模型中的应用,

由万有引力提供向心力来求得天体做圆的线速度、角速度和运动参量,

求星球的质量和密度,卫星变轨问题与追及问题等。双星和多星问题考查相对较少,本

质上是万有引力的合力提供卫星(天体)做圆的向心力问题。1.(模块融合·天体运动+反冲模型)(2025山东,6,3分)轨道舱与返回舱的组合体,绕质量为

M的行星做半径为r的圆,轨道舱与返回舱的质量比为5∶1。如图所示,轨道舱在

P点沿运动方向向前弹射返回舱,分开瞬间返回舱相对行星的速度大小为2

,G为引力常量,此时轨道舱相对行星的速度大小为

()

C

A.

B.

C.

D.

解析组合体绕行星运动,设速度大小为v,返回舱的质量为m1,轨道舱的质量为m2,万有

引力提供向心力,有G

=(m1+m2)

,解得v=

。设返回舱和轨道舱分离后的速度分别为v1、v2,由于分离前后动量守恒,有(m1+m2)v=m1v1+m2v2,根据题意可知

=

且v1=2

,联立解得v2=

,C正确。2.(模块融合·天体运动+追及运动)(2025湖南师大附中月考一)(多选)某卫星绕地心