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大学高数下二重积分的计算

先将二重积分化为二次积分，然后先后计算两次定积分求得二重积分的值.2如果积分区域D

可表示为：其中函数、在区间上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分

1、x－型区域则D

称为x－型区域.3应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得4如果积分区域D

可表示为：其中函数、在区间上连续.2、y－型区域则D

称为y－型区域.5

x－型区域的特点：

穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.

y－型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.61)如果积分区域D

可表示为x－型区域又可表示为y－型区域，且f(x,y)在D

上连续，则有：3、其他情形采用哪一种次序积分就取决于被积函数的结构.72)如果积分区域D

不是x－型区域也不是y－型区域，可用平行坐标轴的直线段分割，把D

分割为若干个两类标准区域，在每个标准区域上计算二重积分，再根据重积分对区域可加性，在各个标准区域上的积分之和就是D

上的二重积分.若区域如图，在分割后的三个区域上分别使用积分公式则必须分割.8大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点9例1解①求曲线的交点：②画出草图并将区域写成不等式形式：③计算：10计算二重积分的几点说明：1)化二重积分为二次积分的关键是：确定二次积分的上、下限，而二次积分中的上、下限又是由区域D

的几何形状确定的，因此计算二重积分应先画出积分区域D的图形.2)第一次积分的上、下限是函数或常数，而第二次积分中的上、下限一定是常数，且下限要小于上限.3)积分次序选择的原则是两次积分都能够积出来，且区域的划分要尽量地简单.11解①②如图③12解积分区域如图13解积分区域如图14解15解161718例11解先去掉绝对值符号，如图19二、利用积分域和被积函数的对称性计算二重积分20212223A242526三、利用极坐标系计算二重积分27二重积分化为二次积分的公式（１）1、极点O在D的外部区域特征如图28区域特征如图29二重积分化为二次积分的公式（２）区域特征如图2、极点O在D的边界上30极坐标系下区域的面积二重积分化为二次积分的公式（３）区域特征如图3、极点O在D的内部313233法二:积分区域关于x轴对称,34解35解36解373839解40解41解424344二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）四、小结［y－型］［x－型］（在积分中注意使用对称性）45二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用对称性）46思考题47思考题解答4849思考题

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