自动控制原理(胡寿松版)课件第四章培训资料

第四章根轨迹分析法第四章根轨迹分析法第一节根轨迹的基本概念第二节绘制根轨迹的基本方法第三节广义根轨迹第四节系统性能的分析第四章根轨迹分析法根轨迹法概述控制系统设计的主要方法之一；确定闭环系统的零点、极点的分布与开环传递函数零点、极点的关系；研究分析系统参数的变化对系统特征根的影响；根轨迹是一种图解法，它是根据系统开环传递函数的零点、极点分布情况，用作图法简便的求得闭环系统的特征根与系统参数值（如开环增益）间的关系。第一节根轨迹的基本概念

当系统的某个参数变化时，特征方程的根随之在S平面上移动，系统的性能也跟着变化。研究S平面上根的位置随参数变化的规律及其与系统性能的关系是根轨迹分析法的主要内容。第四章根轨迹分析法一、根轨迹设系统的结构如图闭环特征方程式特征方程的根得相应的闭环特征根值:s2+2s+Kr

C(s)R(s)=Kr

s2+2s+Kr=0-Krs(s+2)R(s)C(s)s1.2

1-Kr=-1±

Kr

s1s200-2-11-12-1+j-1-j∞-1+j∞-1-j∞

Kr变化时,闭环特征根在s平面上的轨迹:-1-21-1s1s2σj0ω

Kr=01↑

Kr

∞↑

Kr

∞↑从根轨迹可知:(1)左半平面为稳定极点；右半平面为不稳定极点；虚轴上为临界极点。(2)0<Kr<1时，系统有呈过阻尼状态。(3)当Kr=1时，系统呈临界阻尼状态。(4)1<Kr<∞时，系统呈欠阻尼状态。第一节根轨迹的基本概念

闭环特征方程的根的位置与系统的性能是密切相关的，当系统的某个参数发生变化时，特征方程的根在平面上的位置以及系统的性能将随之而变.*根轨迹法的基本思路:*根轨迹的定义:

系统的一个或多个参数由零变到无穷大时，闭环特征方程的根在S平面上移动的轨迹。*根轨迹法的分析手段:

利用根轨迹法来分析和设计系统，首先必须绘制出系统的根轨迹图，而采用求解方程根的方法来绘制高阶系统的根轨迹图显然是难以实现的，必须找到一种方便、有效的作图方法。作图方法的依据就是根轨迹方程。第一节根轨迹的基本概念

二、根轨迹与系统性能第一节根轨迹的基本概念

根轨迹图可以分析系统的各种性能：稳定性:根轨迹均在s的左半平面，则系统对所有k>0的值是稳定的。稳态性能：如图有一个开环极点s=0，说明属于I型系统，阶跃作用下的稳态误差为0。动态性能：过阻尼临界阻尼欠阻尼。K越大，阻尼比越小，超调量σ%越大。-1-21-1s1s2σj0ω

Kr=01↑

Kr

∞↑

Kr

∞↑第一节根轨迹的基本概念

三、闭环零、极点与开环零、极点的关系G(S)H(S)-R(s)C(s)系统传递函数为前向通路传递函数其中：前向通路增益前向通路根轨迹增益第一节根轨迹的基本概念

反馈通路传递函数G(S)H(S)-R(s)C(s)开环传递函数闭环传递函数『结论』闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通路根轨迹增益。对于单位反馈系统，闭环系统根轨迹增益等于开环系统根轨迹益。闭环零点有前向通道零点和反馈通道极点构成，对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。闭环极点与开环零点，开环极点及开环根轨迹增益有关。第一节根轨迹的基本概念

四、根轨迹方程设系统的结构如图系统闭环传递函数为开环传递函数的一般表达式为C(s)R(s)=G(s)1+G(s)H(s)Krj=1n(s-zi)(s-pj)G(s)H(s)=i=1m根轨迹增益开环传递函数零点开环传递函数极点-R(s)G(s)H(s)C(s)闭环特征方程式为即1+G(s)H(s)=0G(s)H(s)=-1根轨迹方程为

满足开环传递函数等于-1的s即为闭环特征方程式的根。

根轨迹方程又可分解为幅值方程和相角方程。即幅值方程Krj=1

n(s-zi)(s-pj)=1i=1m或相角方程K=(0,±1,±2…)m∑nj=1(s-zi)∑i=1(s-pj)=

(2k+1)πKr1j=1

n(s-zi)(s-pj)=i=1m=-1Kri=1m(s-zi)j=1n(s-pj)

当s满足相角方程时，必然能找到一个Kr值，使得该s满足幅值方程。

所有满足相角方程的s构成了闭环特征方程式根的轨迹。第一节根轨迹的基本概念

『注』相角条件是确定S平面上根轨迹的充要条件，即绘制根轨迹时，只需使用相角条件；当需要确定根轨迹上各点的 时，才使用模植条件。第一节根轨迹的基本概念

『结论』相角方程：所有开环零点指向任一闭环极点（根轨迹上任一点）的向量与正实轴的夹角之和减去所有开环极点指向同一闭环极点的向量与正实轴的夹角之和满足(2k+1)π相角方程的物理意义模值方程的物理意义『结论』模值方程：所有开环零点指向任一闭环极点的向量的长度之积与所有开环极点指向同一闭环极点的向量的长度之积的比等于开环根轨迹增益倒数。第一节根轨迹的基本概念

根据相角条件判断某点是否在根轨迹上！s1z1

z2p3p2p1

×××『问题』判断s1是否根轨迹上的点?第一节根轨迹的基本概念

例已知系统的开环传递函数，根据相角方程确定系统的根轨迹图。

Krs(s+2)G(s)=解：开环零、极点分布为：

σj0ω-2

p1

p2该系统的相角方程为：

-∑2j=1(s–pj)=±(2k+1)πs1

设实轴上任意点s1s1与开环零、极点之间的矢量：θ1θ2s1的相角方程为：-∑2j=1(s1–pj)=-180ºs1为根轨迹上的点。p1~p2

为根轨迹段。=-θ1-θ2第一节根轨迹的基本概念

σj0ω-2

p1

p2s2

设复平面开环极点中线上任意点s2s2与开环零、极点之间的矢量：θ1θ2s2的相角方程为：-∑2j=1(s2–pj)=-180º=-θ1-(180o-θ1)=-θ1-θ2

中线上的点都是根轨迹上的点。

设任意点s3s3s3的相角方程为：θ1θ2-∑2j=1(s3–pj)=-θ1-θ2>-180º

s3

不是根轨迹上的点。

根据相角方程得系

统的根轨迹为：第一节根轨迹的基本概念

第二节根轨迹绘制的基本法则

第四章线性系统的根轨迹法

根据根轨迹的基本特征和关键点，就能比较方便地近似绘制出根轨迹曲线。

根据根轨迹方程，无需对闭环特征方程式求解，只需寻找所有满足相角方程的s，便可得到闭环特征方程式根的轨迹。同时，可由幅值方程来确定根轨迹所对应的Kr值。根轨迹基本特征为以下八条：σj0ω1.起点根轨迹方程：则一、根轨迹的起点和终点Kr=0s=pj

根轨迹起始于开环传递函数的极点

即Krs(s+2)G(s)=例：-2

p1

p2=Kr1-i=1m(s-zi)j=1n(s-pj)=∞i=1m(s-zi)j=1n(s-pj)=0j=1n(s-pj)第二节根轨迹绘制的基本法则2.终点s=ziKr8=0i=1m(s-zi)m条根轨迹终止于开环传递函数的零点s8n-m条根轨迹终止于无穷远根轨迹方程：=Kr1-i=1m(s-zi)j=1n(s-pj)则即另：=0i=1m(s-zi)j=1n(s-pj)=0sn-m1≈i=1m(s-zi)j=1n(s-pj)第二节根轨迹绘制的基本法则p3=-2p2=-1例已知系统的开环传递函数，试确定系统的根轨迹图。

解：

系统的三条根轨迹起始于三个开环传递函数的极点。开环零、极点分布：p1=0z1=-1+jz2=-1-js(s+1)(s+2)Kr(s2+2s+2)G(s)H(s)=σjω1-1-1-20p1

p2

p3z1

两条根轨迹终止于开环传递函数的两个零点，另一条趋于无穷远。z2

第二节根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹的对称性和分布性1．根轨迹对称于实轴

闭环特征方程实数根分布在S平面的实轴上。

复数根则成对出现，实部相等，虚部大小相等符号相反。根轨迹必定对称于实轴。σjω0s1

s2

s3

s4

s5

s6

2.n阶系统有n条根轨迹

Kr取某一数值时,n阶特征方程有n个确定的根。Kr=0→∞每一个根由始点连续地向其终点移动，形成一条根轨迹，n个根形成n条根轨迹。第二节根轨迹绘制的基本法则三、根轨迹的渐近线当开环极点数n大于开环零点数m，有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交角为和交点为的一组渐进线趋向无穷远处。渐近线与实轴的夹角：渐近线与实轴的交点：第二节根轨迹绘制的基本法则例已知系统的开环传递函数，试确定系统的根轨迹图。解：s(s+1)(s+2)KrG(s)H(s)=6001）开环零、极点：2）实轴上的根轨迹段：σjω0p1

p3p2-1-2p1=0p2=-1p3=-2p1~p2p3~-83）根轨迹的渐近线：与实轴的夹角:n-m=3

3(2k+1)+θ=

πK=0+60oθ=+180oθ=K=14）系统的根轨迹

与实轴的交点:3σ=-1-2=-1第二节根轨迹绘制的基本法则σjω0p1p2p3p4z2

z1

s1

φ1φ2θ1θ2θ3θ4s1的相角方程为：设实轴上任意点s1四、实轴上的根轨迹段系统开环零、极点分布为：s1与开环零、极点之间的矢量：φ1=-φ2(s1-zi)-∑2i=1∑4j=1(s1–pj)θ1-θ2-θ3-θ4=φ1+φ2-=-θ1-θ2=-180ºθ3=-θ4共轭开环零、极点构成的相角正负抵消

实轴上根轨迹段右侧的开环零、极点个数之和为奇数。第二节根轨迹绘制的基本法则例已知系统的开环传递函数，试确定系统的根轨迹图。

解：1）τ>T(1)开环零、极点分布

p1~z1段:σjω0p1

右侧一个开环极点

右侧三个开环零极点z1p2p1=0(2)实轴上根轨迹段

(3)系统的根轨迹KrG(s)H(s)=1ב(s+1Ts(s+

))1z1=-τ1p2=-T1-Tτ1-p2

∞段：~-

第二节根轨迹绘制的基本法则(1)开环零、极点分布σjω0p1

z1p2(2)实轴上根轨迹段

p1和p2为根轨迹的起点z1和-∞为根轨迹的终点(3)系统的根轨迹p1=0p1~p2

2）τ<T1z1=-τ1p2=-T1-Tτ1-z1~-∞第二节根轨迹绘制的基本法则

五、根轨迹的分离点和分离角第二节根轨迹绘制的基本法则

根轨迹分离点两条或两条以上的根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点称为分离点（会合点）。

分离点的坐标d由下列方程所决定：注：（1）根轨迹出现分离点说明对应是特征根出现了重根。（2）若实轴上的根轨迹的左右两侧均为开环零点（包括无限零点）或开环极点（包括无限极点），则在此段根轨迹上必有分离点。（3）分离点若在复平面上，则一定是成对出现的。第二节根轨迹绘制的基本法则『例』开环传递函数解n=2，没有零点，由可知亦可直接用特征方程求取得K=1，s=-1『注』由分离点公式求出d后，一定要进行检查，应舍弃不在根轨迹上的点d。第二节根轨迹绘制的基本法则例开环传递函数解-1+j-1-j-1-2-3-4j显然d2不在根轨迹上，应舍弃。『注』仅由两个极点(实数或复数)和一个有限零点组成的开环系统。只要有限零点没有位于两个实数极点之间。当k*

从0变到无穷大时,闭环根轨迹的复数部分是以有限零点为圆心,以有限零点到分离点的距离为半径的圆或圆的一部分。第二节根轨迹绘制的基本法则『问题』如何判断实轴上的分离点?若实轴上两个相邻开环极点之间是根轨迹，则这两极点之间至少存在一个分离点。若实轴上两个相邻开环零点之间是根轨迹，则这两零点之间至少存在一个分离点（其中一个零点可以是无限大零点）。第二节根轨迹绘制的基本法则分离点处根轨迹分支间的夹角如果有l条根轨迹进入分离点,必然有l条根轨迹分支离开分离点。根轨迹分支进入分离点的切线与离开分离点的切线方向夹角称为分离角,则第二节根轨迹绘制的基本法则『例』设系统结构图与开环零、极点分布如图所示，试绘制其概略根轨迹。解由法则3，实轴上区域[0,-1]和[-2,-3]是根轨迹。由法则1，该系统有三条根轨迹分支，且对称于实轴。由法则2，一条根轨迹分支起于开环极点(0)，终于开环有限零点(-1)，另两条根轨迹起于开环极点(-2)和(-3)，终于无穷远处（无限零点）。由法则4，两条终于无穷的根轨迹的渐近线与实轴交角为90°和270°交点坐标为第二节根轨迹绘制的基本法则

闭环特征方程的根在S平面上的重合点称为根轨迹的分离点或会合点。一般将根轨迹离开复平面进入实轴的点称为会合点离开实轴进入复平面的点称为分离点设系统的开环传递函数为A(s)KrB(s)G(s)H(s)=闭环特征方程式：KrB(s)+A(s)=0KrB(s)+A(s)=0+KrdB(s)dsdA(s)ds=0重根必须同时满足以下两式KrB'(s)+A'(s)=0Kr=A'(s)B'(s)-即解上式得A(s)B'(s)=A'(s)B(s)注意：只有位于根轨迹上的重根才是分离点或会合点。例已知系统的开环传递函数，试确定系统的根轨迹图。解：(s+1)(s+2)Kr(s+3)G(s)H(s)=1）开环零、极点2）实轴上的根轨迹段p1~p2z1~-8p2=-2p1=-1z1=-3σjω0p1

z1p2-1-2-33）根轨迹的渐近线n-m=15)

根轨迹=+180o1+θ=(2k+1)π4）分离点和会合点A(s)=s2+3s+2B(s)=s+3B'(s)=1A'(s)=2s+3A(s)B'(s)=A'(s)B(s)整理得(s2+3s+2)=(2s+3)(s+3)s2+6s+7=0s2=-4.4根轨迹的会合点

解方程得s1=-1.6根轨迹的分离点第二节绘制根轨迹的基本方法

例试确定系统分离点。s(s+1)(s+2)KrG(s)H(s)=解：前例已求得根轨迹的渐近线和实轴上的根轨迹段600σjω0p1

p3p2-1-2根轨迹的分离点：A(s)B'(s)=A'(s)B(s)3s2+6s+2=0s1=-0.43s2=-1.57s2没有位于根轨迹上，舍去。第二节绘制根轨迹的基本方法

六、根轨迹的起始角和终止角起始角：设开环零、极点分布：

根轨迹在复数起点处的切线与正实轴的夹角。σjω0p1p2p3p4z1

φ1θ1θ2θ3θ4s1

s1为根轨迹上的点则(s1-z1)-(s1-p1)-(s1-p2)-(s1-p3)-(s1-p4)θ3-(s1-zi)-∑1i=1∑4j=1(s1–pj)(2k+1)+=π=±(2k+1)π

s1→p3

(p3-z1)(p3-p1)-(p3-p2)-(p3-p4)

-(s1-p3)=θ3=±(2k+1)π即有(p3-z1)θ3=+π+(p3-p1)-(p3-p2)-(p3-p4)-起始角的一般表达式：θ∑mi=1(pl-zi)-(pl-pj)∑nj=l

l=±π+同理，可得终止角的一般表达式：∑nj=1(zl-pj)(zl-zi)+∑mi=l

φ

l=±π-第二节绘制根轨迹的基本方法

例已知系统的开环传递函数，试确定系统的根轨迹图。解：s(s+2.5)(s2+s+1.5)G(s)H(s)=Kr(s+1.5)(s2+4s+5)1）开环零、极点为p2=-2.5p1=0z1=-1.5P3.4=-0.5±j1.5z2.3=-2±jσjω01087956.537195990p1

p2

p3

p4

z1

z2

z3

2）实轴上的根轨迹段p1~z1p2~-83）根轨迹的渐近线n-m=1+180o=4）根轨迹的起始角-791+θ=(2k+1)π+π+∑3i=1φi∑4j=3-θθ=3j=+π+56.5º+19º+59º-108º-90º-37º=79º同时可得θ4=-79º第二节绘制根轨迹的基本方法

开环零、极点分布:σjω015319963.590p1

p2

p3

p4

z1

z2

z3

5）根轨迹的终止角121117149.5=2π+149.5º=+π-117º-90º+153o

+63.5º+199º+121º6）系统根轨迹+π+∑4j=1φ∑3i=2-θ=jiφ2第二节绘制根轨迹的基本方法

七、根轨迹与虚轴的交点设与虚轴相交的闭环极点为解方程即可求得代入闭环特征方程ω

Krs=jω1+G(s)H(s)=0s=jω第二节绘制根轨迹的基本方法

第三章方法：如果根轨迹与虚轴有交点，则劳斯计算表中必出现全为零行，由辅助方程确定交点，进而求得开环增益K。例已知系统的开环传递函数，试确定系统的根轨迹图。解：s(s+3)(s2+2s+2)G(s)H(s)=Kr(s+2)σjω0-11）开环零、极点2）实轴根轨迹段3）根轨迹的渐近线p3.4=-1±jz1=-2p2=-3p1=0p1

p2

p3p4

z1

p1~z1p2~-8n-m=33σ=-3-1-1+2=-1θ=+180o+60o,13526.69045-26.61.6-1.64）根轨迹的出射角θ3=+π+θ1-θ2-θ4φ1-=+π+45º-135º-90º-26.6º=-26.6º5）与虚轴的交点s(s+3)(s2+2s+2)+Kr(s+2)=0s4+5s3+8s2+6s+Krs+2Kr=0(jωω)4+5(jω)3+8(jω)2+j6+jKrω+2Kr=0ω4-8ω2+2Kr=0-5ω3+6ω+Krω=0Kr=0Kr=7

ω2,3=±1.6ω1=0解得6）系统根轨迹第二节绘制根轨迹的基本方法

八、根之和

在一定条件下，开环极点与闭环极点间有着固定的关系，根据这种关系可判别闭环特征根的走向。n阶系统闭环特征方程为i=1m(s-zi)j=1n(s-pj)+Kr=sn+a1sn-1+a2sn-2+······+an-1s+an=(s-s1)(s-s2)

······(s-sn-1)(s-sn)j=1n(s-sj)=0=开环零极点闭环极点

根据代数方程的根与系数间的关系,如果满足条件则n-m≥2∑nj=1sj=a1=-∑nj=1pj-开环极点之和等于闭环极点（闭环特征方程）之和，为常数。

如果一些闭环极点往s平面左边移动，则必有另一些闭环极点往s平面的右边移动。第二节绘制根轨迹的基本方法

例试确定系统的根轨迹图。解：1）开环零、极点σjω0p2.3=-4±j2p1=0p1

s(s2+8s+20)G(s)H(s)=Krp2p3

2）实轴上的根轨迹段p1~-8n-m=33）根轨迹的渐近线θ=

+180o+60o,-2.73σ=-4-4=-2.67153.490-63.44.5-2-3.34）根轨迹的出射角=π-153.4º-90º=-63.4º5）与虚轴的交点θ2=±π-θ1-θ3系统闭环特征方程为s3+8s2+20s+Kr=0代入s=jω-4.5+Kr=0-82ωω-33+20ω=0-j3ω3-8ω2+j20ω+Kr=0Kr=160

ω2,3≈±4.5Kr=0ω1=06）分离点和会合点3s2+16s+20=0s1=-2s2=-3.33A(s)B'(s)=A'(s)B(s)7）系统根轨迹解得第二节绘制根轨迹的基本方法

例s(s+4)(s2+4s+20)G(s)H(s)=Kr试确定系统的根轨迹图。解：1）开环零、极点σjω0p1

p3.4=-2±j4p1=0p2=-4p2p3

p42）实轴上根轨迹段p1~p23）根轨迹的渐近线n-m=44σ=-4-2-2=-2-24）根轨迹的出射角=π-180º-90o=-90ºπ-θ2θ290-90θπ+θ1-θ23-θ4=-θ=90º43.16-3.16θ=

+135o+45o,5）根轨迹与虚轴的交点闭环特征方程为s4+8s3+36s2+80s+Kr=0-8ω3+80ω=0ω4-36ω2+Kr=0Kr=0Kr=260

ω2,3=±3.16ω1=0ω+j804-j8ω3-36ω2ω+Kr=06）分离点和会合点4s3+24s2+72s+80=0A(s)B'(s)=A'(s)B(s)解得s1=-2s2.3=-2±j2.45s1在根轨迹段上为分离点,s2.3必须判断才能确定.s2点的相角为:(s2-p3)-(s2-p4)-=-180º+90º-90º=-180º为根轨迹上的点

7）系统根轨迹(s2-p1)-(s2-p2)-第二节绘制根轨迹的基本方法

第二节绘制根轨迹的基本方法

闭环极点的确定

每条根轨迹上的任何一点，都是对应于某一K*值的闭环极点，应在根轨迹上按模值方程确定。

较简便的方法：对于特定的K*值的闭环极点，使用试验法确定实轴上的闭环极点的数值，然后用综合除法或根之和根之积的代数方法确定其余的闭环极点。『例』系统结构如图所示（1）绘制系统的根轨迹；（2）确定无超调响应的K值范围。第二节绘制根轨迹的基本方法

-『解』（1）开环传递函数为（2）n＝2，m＝1有两个根轨迹分支。渐近线有n－m＝1条-4-20××（3）求分离点-4-2××求系统无超调对应的K*范围（即闭环特征根位于负实轴上）『分析』

（1）根轨迹在离开分离点d2之前（2）根轨迹在进入分离点d1之后系统的两个极点都位于负实轴上。故应求两点处的K*的值。第二节绘制根轨迹的基本方法

第二节绘制根轨迹的基本方法

（4）由模值方程所以系统无超调对应的K范围为第二节绘制根轨迹的基本方法

小结1、根轨迹的起点和终点，起于开环极点，终于开环零点2、分支数、对称性和连续性3、渐近线、交角和交点4、实轴上的分布5、分离点和分离角6、起始角和终止角7、与虚轴的交点8、根之和第三节广义根轨迹

第四章线性系统根轨迹法三、零度根轨迹二、附加开环零点的作用一、参数根轨迹

本节将讨论两种特殊情况。一种是不以开环增益K为参量的根轨迹图，另一种是闭环系统为正反馈系统（零度根轨迹）。

一、参数根轨迹

有时也需要了解反馈系数、时间常数等其它参量对系统性能的影响，这时就使开环增益K为确定数，绘制出系统的其它某个参量K变化时的根轨迹，称为参数根轨迹。

第三节广义根轨迹

第三节广义根轨迹

设系统开环传递函数为闭环特征方程为等效变换成第三节广义根轨迹

令4-29显然，利用式4－29就可以画出关于零点变化的根轨迹，它就是广义根轨迹。第三节广义根轨迹

例如：开环极点变化时的根轨迹设一负反馈系统的开环传递函数为现在研究变化的根轨迹。等效开环传递函数为

根据上式可画出变化时的广义根轨迹。第三节广义根轨迹

已知系统的开环传递函数为试绘制当开环增益K为时，时间常数变化时的根轨迹。解：

题目显然是求广义根轨迹问题。系统特征方程为等效开环传递函数为等效开环传递函数有3个零点，即0，0，-1；2个极点，不同K值可计算出不同极点。第三节广义根轨迹

按照常规根轨迹的绘制法则可绘制出广义根轨迹如图4-20。二附加开环零点的作用第三节广义根轨迹

在控制系统设计中，常用附加位置适当的开环零点的方法来改善系统性能。因此，研究开环零点变化时的根轨迹变化，有很大的实际意义。对系统稳定性的改善设系统开环传递函数为:式中为附加的开环实数零点。取为不同值时，根轨迹如下：第三节广义根轨迹

当时第三节广义根轨迹

当时当时第三节广义根轨迹

当时第三节广义根轨迹

分析：

由图可见，当开环极点位置不变，而在系统中附加开环负实数零点时，将使系统的根轨迹图发生趋向附加零点方向的变形，而且这种影响将随开环零点接近坐标原点的程度而加强。如果附加的开环零点不是负实数零点，而是具有负实部的共轭零点，那么它们的作用与负实数零点的作用完全相同。

第三节广义根轨迹

三、零点根轨迹第三节广义根轨迹

+R(S)G(S)H(S)C(S)正反馈的特征方程为即模值方程为相角方程为『注』

负反馈系统的根轨迹为180°根轨迹

正反馈的根轨迹称为零度根轨迹第三节广义根轨迹

修改绘制根轨迹的法则（只要修改与相角方程有关的部分）实轴上的根轨迹1、在实轴上自右向左数,凡偶数零极点左边的一段实轴是根轨迹，第一个零极点右边的实轴也是根轨迹。2、根轨迹渐近线与实轴正方向的夹角应改为第三节广义根轨迹

3、计算根轨迹起始角与终止角的公式应改为:（只有复数极点与复数零点才有起始角与终止角）θ∑mi=1(pl-zi)-(pl-pj)∑nj=l

l=2kπ+∑nj=1(zl-pj)(zl-zi)+∑mi=l

φ

l=2kπ-4、根轨迹与虚轴的交点其它法则与180°根轨迹法则完全相同第三节广义根轨迹

『例』设正反馈系统的开环传递函数为，绘制根轨迹。『解』

开环极点S1=-3，S2=-1+j，S3=-1-j。开环零点数Z1=-2。（1）有三条根轨迹，2条渐近线

（2）实轴上的根轨迹[-2,+∞),(-∞,-3]。(实轴上从右向左数,凡偶数零极点左边的一段是根轨迹,第一个零极点右边的实轴也是根轨迹.）第三节广义根轨迹

（3）根轨迹的起始角（4）根轨迹的分离点坐标

（5）坐标原点对应的根轨迹增益为临界值，可由模值方程求出第三节广义根轨迹

j-1+j-1-j-2-3K=1-0.80(K=0)×××『说明』

当0<K<1时，即使是正反馈系统，仍然能稳定工作。当开环增益K>1时，将有一个闭环极点分布在s平面的右半平面，系统不稳定。当0<K<0.63时，阶跃响应为衰减振荡曲线，为欠阻尼系统。第四节系统性能的分析第四章根轨迹分析法

根轨迹反映了闭环特征根随Kr变化的规律，而闭环特征方程的根与系统的性能关系密切。通过根轨迹来分析系统的性能具有直观、方便的特点。一、闭环零、极点位置与系统性能的关系n阶系统单位阶跃响应的一般表达式为C(s)=

sn+a1sn-1+···+an-1s+anb0sm+b1sm-1+···+bm-1s+bmR(s)

sA0s-sjAj∑nj=1=+待定系数:i=1m(s-zi)j=1n(s-sj)KrAj=s=sj(s-sj)A0=ss-s1+A1Ans-sn+…+系统的输出响应：c(t)=A0+∑nj=1Ajesjt负实数极点离虚轴越远,对应的分量

esjt衰减越快系统的调节时间就越短

,响应越快.

由上式可见性能主要由系统闭环传递函数的极点决定。

第四节系统性能的分析

=

ζωnωncosβ=ζs1s2σβ01-ωζ2nω-ζn1-ωζ2n-ωnjωs1.2

ωnωζ

=-±n1-

ζ2一对共轭复数极点在s平面上的分布:ωn=-+ωdjζ|s1|=|s2|=ωnζωd()2+2ωn=-1=

ζcosβ复数极点的参数与系统性能的关系为

c(t)=1-t+)eζωnt-21-

ζdωsin(βe-ζζπ1-2100%σ%=

ζ3ωn=ts第四节系统性能的分析

复数极点的位置与性能的关系：（1）闭环复数极点的实部ζω反映了系统的调整时间；

（2）闭环极点的虚部ωd表征了系统输出响应的振荡频率；

（3）闭环极点与坐标原点的距离ωn表征了系统的无阻尼自然振荡频率；

（4）闭环极点与负实轴的夹角β反映了系统的超调量；

（5）闭环极点在s左、右平面的分布反映了系统的稳定性。

当系统具有多个闭环极点时，可借助于主导极点的概念，将系统简化成低阶系统来处理。第四节系统性能的分析

例已知系统的传递函数:Φ(s)=(s+1)(0.01s2+0.08s+1)1试估算系统的性能指标。解：闭环有三个极点σjω0s1

s1=-1s2,3=-4±

j9.2s2s3

-19.2-9.2-4s1为主导极点

s2.3可以忽略不计。Φ(s)=s+11ts=3T=3(s)闭环传递函数简化为第四节系统性能的分析

（1）二阶系统s(s+1)G(s)H(s)=Kr1.增加开环零点系统的根轨迹图如图:σjω0p1p2-1

不管怎么选择Kr闭环极点离虚轴的距离都太近,影响系统的快速性。

s1增加零点后:系统的根轨迹图为:s(s+1)G(s)H(s)=Kr(s+2)z1

-2

零点使根轨迹向左弯曲，选择适当Kr值，既可使闭环极点离虚轴有一定的距离。s2β又可使β角较小，降低超调量。ω-ζn第四节系统性能的分析

零点选择不合适，效果就完全不一样。s(s+1)G(s)H(s)=Kr(s+0.5)系统的根轨迹图如图:σjω0p1z1

-0.5p2-1

不管怎么选择Kr值，闭环极点总为两个实数极点。主导极点离虚轴的距离在0~0.5之间，系统的调节时间不可能缩短。s(s+1)G(s)H(s)=Kr增加零点后:第四节系统性能的分析

（2）三阶系统s2(s+5)G(s)H(s)=Kr(s+2)系统的根轨迹图如图:σjω0p1p2p3-5增加零点后:s2(s+5)G(s)H(s)=Krz1

-2系统的根轨迹图:

加了零点后根轨迹的渐近线位于s左半平面，系统由不稳定变成稳定。

第四节系统性能的分析

如果增加零点:s2(s+5)G(s)H(s)=Kr(s+10)系统的根轨迹图:

根轨迹的渐近线位于s右半平面，系统仍然不稳定。p1p2p3-50σjωz1

-102σ=-5+10=2.5第四节系统性能的分析

s(s+1)(s+4)G(s)H(s)=Krζ=0.5例已知系统的开环传递函数，要求：试确定开环零点的位置。ts≤3s(1)系统根轨迹图:解：(2)

验证性能指标作射线β=cos-1ζ=60ºs1,2=-0.4±j0.7

不满足要求,加入开环零点来改善系统的性能=7.5sts=3ωζnσjω0p1p2p3s1z1

s2(3)确定开环零点的位置1）选择零点z=-2Kr=6s1,2=-1±j1.732满足要求s(s+1)(s+4)G(s)H(s)=Kr(s+2)系统的根轨迹图:=3sts=3ωζn第四节系统性能的分析

z1

2）选择零点z=-0.5σjω0p1p2p3s1s(s+1)(s+4)G(s)H(s)=Kr(s+0.5)系统的根轨迹图:

由于闭环实数极点靠近虚轴，故系统响应速度较低。一般不希望系统出现这种情况.第四节系统性能的分析

3）选择零点z=-7s(s+1)(s+4)G(s)H(s)=Kr(s+7)系统的根轨迹图:σjω0p1p2p3s1z1

系统的性能没有大的改善2σ=-1-4+7=1第四节系统性能的分析