第4章多自由度系统振动c

2026年5月22日《振动力学》1教学内容多自由度系统的动力学方程多自由度系统的自由振动频率方程的零根和重根情形多自由度系统的受迫振动有阻尼的多自由度系统多自由度系统振动2026年5月22日《振动力学》2小结：作用力方程、位移方程和矩阵多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程位移方程柔度矩阵：F中的元素fij是使系统仅在第j个坐标受到单位力作用时相应于第i

个坐标上产生的位移.

柔度矩阵与刚度矩阵的关系：位移方程不适用于具有刚体自由度的系统。作用力方程刚度矩阵：

K中的元素kij

是使系统仅在第j个坐标上产生单位位移而相应于第

i个坐标上所需施加的力。质量矩阵

：M中的元素mij

是使系统仅在第j个坐标上产生单位加速度而相应于第i

个坐标上所需施加的力。2026年5月22日《振动力学》3小结：耦合与坐标变换多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程质量矩阵中出现耦合项称为惯性耦合。刚度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称为弹性耦合。不出现惯性耦合时，一个坐标上产生的加速度只在该坐标上引起惯性力.耦合的表现形式取决于坐标的选择同一个系统选择两种不同的坐标X

和Y

有变换关系：坐标X下系统：坐标Y

下系统：其中T

是非奇异矩阵如果恰巧Y

是主坐标：对角阵这样的T

是否存在？如何寻找？不出现弹性耦合时，一个坐标上产生的位移只在该坐标上引起弹性恢复力.2026年5月22日《振动力学》4当T

矩阵非奇异时，称矩阵A

与矩阵（TTAT）合同。对于质量矩阵也如此。线性代数知:合同矩阵具有相同的对称性质与相同的正定性质。对称性质：若矩阵A

对称，则（TTAT）对称。证明：矩阵A

对称，A＝AT则有：(TTAT)T＝TTAT(TT)T＝TTAT正定性质：若原来的刚度矩阵K

正定，则（TTKT）仍正定。因此坐标变换X

＝TY不改变系统的正定性质。多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程2026年5月22日《振动力学》5小结：回顾：单自由度系统自由振动－无阻尼自由振动单自由度系统自由振动分析的一般过程：1、由工程装置建立自由振动的一般方程，并写出振动的标准方程；2、根据标准方程，建立本征方程并计算得到本征值；3、根据本征值，写出标准方程的通解；4、根据初始条件，计算标准方程的特解。单自由度系统自由振动分析的一般目标：1、求系统的固有角频率，即固有频率；2、求解标准方程。2026年5月22日《振动力学》6多自由度系统的自由振动固有频率模态模态的正交性主质量和主刚度模态叠加法模态截断法多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动2026年5月22日《振动力学》7多自由度系统的固有频率作用力方程：自由振动方程：在考虑系统的固有振动时，最感兴趣的是系统的同步振动，即系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时间变化的规律都相同的运动。多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动和单自由度系统一样，自由振动时系统将以固有频率为振动频率。2026年5月22日《振动力学》8多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动同步振动：系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时间变化的规律都相同的运动。振动形式1振动形式2振动形式3三自由度系统思考：同步振动是不是解耦振动？2026年5月22日《振动力学》9多自由度系统的固有频率作用力方程：自由振动方程：代表着振动的形状常数列向量多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动和单自由度系统一样，自由振动时系统将以固有频率为振动频率。同步振动：系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时间变化的规律都相同的运动。运动规律的时间函数2026年5月22日《振动力学》10代入，并左乘：：常数M正定，K

正定或半正定对于非零列向量：令：对于半正定系统，有对于正定系统必有多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动/固有频率2026年5月22日《振动力学》11a、b、为常数（1）正定系统只可能出现形如的同步运动。系统在各个坐标上都是按相同频率及初相位作简谐振动。（2）半正定系统

可能出现形如的同步运动。也可能出现形如的同步运动（不发生弹性变形）。主振动多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动/固有频率2026年5月22日《振动力学》12首先讨论正定系统的主振动：M正定，K

正定主振动：正定系统：将常数a

并入中代入振动方程：有非零解的充分必要条件：特征方程

多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动/固有频率2026年5月22日《振动力学》13解出n个值，按升序排列为：：第i

阶固有频率频率方程或特征多项式仅取决于系统本身的刚度、质量等物理参数。：基频。多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动/固有频率2026年5月22日《振动力学》14采用位移方程求解固有频率：位移方程：柔度矩阵自由振动的位移方程：主振动：代入，得：特征值多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动/固有频率2026年5月22日《振动力学》15采用位移方程求解固有频率：位移方程：柔度矩阵自由振动的位移方程：主振动：代入，得：特征值特征方程：特征根按降序排列：多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动/固有频率2026年5月22日《振动力学》16例：三自由度系统m2kmmk2kkx1x2x3多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动/固有频率2026年5月22日《振动力学》17小结：固有频率多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动/固有频率主振动：正定系统：代入振动方程：有非零解的充分必要条件：特征方程

频率方程或特征多项式固有频率仅取决于系统本身的刚度、质量等物理参数。自由振动的位移方程：主振动：代入，得：特征方程：2026年5月22日《振动力学》18多自由度系统的模态（主振型）正定系统：主振动：特征值问题：特征值特征向量

n

自由度系统：（固有频率）（模态）一一对应代入，有：多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动/模态第i阶模态特征值问题。振动的形状2026年5月22日《振动力学》19多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动n

个方程奇次方程组当不是特征多项式重根时，上式n个方程只有一个不独立.设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有的某个元素（例如）的项全部移到等号右端.2026年5月22日《振动力学》20当不是特征多项式的重根时，上式n个方程中有且只有一个是不独立的。设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有的某个元素（例如）的项全部移到等号右端。若这个方程组左端的系数行列式不为零，则可解出用表示的否则应把含的另一个元素的项移到等号右端，再解方程组。多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动/模态n-1个方程非奇次方程组2026年5月22日《振动力学》21为使计算简单，令：则有：当不是特征多项式的重根时，上式的n个方程中有且只有一个不独立。设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有的某个元素（例如）的项全部移到等号右端。多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动/模态2026年5月22日《振动力学》22例：三自由度系统2kmmmk2kkx1x2x3多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动/模态2026年5月22日《振动力学》23以为例进行说明：将代入，有：由第三个方程，得：代入第二个方程：与第一个方程相同方程组中有一式不独立。例如，将第三个方程去掉因此若令可解出整理多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动/模态2026年5月22日《振动力学》24令：解得：的值也可以取任意非零常数将解得

特征向量在特征向量中规定某个元素的值以确定其他各元素的值的过程称为归一化。多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动/模态2026年5月22日《振动力学》25正定系统：主振动：将，代入主振动方程,并将改为第

i阶主振动：多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动/模态系统在各个坐标上都将以第i

阶固有频率wi做简谐振动，并且同时通过静平衡位置。2026年5月22日《振动力学》26多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动第一阶主振动第二阶主振动第三阶主振动三自由度系统系统在各个坐标上都将以第i

阶固有频率wi做简谐振动，并且同时通过静平衡位置w1w2w32026年5月22日《振动力学》27第

i阶主振动：多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动2026年5月22日《振动力学》28第

i阶主振动：比值：虽然各坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统振动形态已确定。描述了系统做第i

阶主振动时具有的振动形态，称为第i

阶主振型，或第

i

阶模态。主振型仅取决于系统的M

阵、K阵等物理参数。多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动/模态第i

阶特征向量，就是系统做第i

阶主振动时各个坐标上位移（或振幅）的相对比值。2026年5月22日《振动力学》29正定系统：第

i阶主振动：系统的自由振动：n个主振动的叠加模态叠加法由于各个主振动的固有频率不相同，多自由度系统的固有振动一般不是简谐振动，甚至不是周期振动。初始条件决定多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动/模态2026年5月22日《振动力学》30例：两自由度弹簧－质量系统m2m2kkkx1x2求：固有频率和主振型。多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动/模态2026年5月22日《振动力学》31解：动力学方程：令主振动：或直接用得：m2m2kkkx1x2多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动/模态2026年5月22日《振动力学》32令特征方程：为求主振型，先将代入：一个独立令则第一阶主振型：令则代入第二阶主振型：多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动/模态同理：2026年5月22日《振动力学》33第一阶主振型：第二阶主振型：画图：横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值。第一阶主振动:11多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动m2m2kkkx1x2两个质量以w1为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相同，而且每一时刻的位移量都相同。aa同向运动2026年5月22日《振动力学》34第一阶主振型：第二阶主振型：画图：横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值-21多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动m2m2kkkx1x2第二阶主振动:

两个质量以w2为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相反，每一时刻第一个质量的位移都第二个质量的位移的两倍。

异向运动2aa2026年5月22日《振动力学》35第一阶主振型：第二阶主振型：第一阶主振动:同向运动始终不振动点11-21多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动无节点一个节点m2m2kkkx1x2第二阶主振动:异向运动节点

如果传感器放在节点位置，则测量的信号中将不包含有第二阶模态的信息。2026年5月22日《振动力学》36正定系统：特征值问题：特征矩阵记为B或当不是重特征根时，可以通过B

的伴随矩阵求得相应的主振型。根据逆矩阵定义：两边左乘：当时：或的任一非零列都是第i

阶主振动多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动/模态主振动的伴随矩阵求法：伴随矩阵：矩阵A中的元素都用它们在行列式A中的代数余子式替换后得到的矩阵再转置，这个矩阵叫A的伴随矩阵。

A与A的伴随矩阵左乘、右乘结果都是主对角线上的元素全为A的行列式的对角阵。2026年5月22日《振动力学》37例：三自由度弹簧－质量系统2kmmmk2kkx1x2x3求：固有频率和主振型。多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动/模态2026年5月22日《振动力学》38解：动力学方程：主振动：或2kmmmk2kkx1x2x3多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动/模态2026年5月22日《振动力学》39令行列式＝0单根

可用伴随矩阵求振型特征矩阵多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动/模态2026年5月22日《振动力学》40分别代入第二阶模态有1个节点，第三阶模态有2个节点，这由主振型内元素符号变号的次数可以判断出。多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动/模态2026年5月22日《振动力学》41模态图形：1121-11-11第一阶