角平分线性质和判定专题练习

角平分线性质和判定专题练习角平分线，作为平面几何中的一个基本概念，其性质与判定在解决几何问题时扮演着至关重要的角色。掌握好这部分内容，不仅能帮助我们快速找到解题思路，更能加深对几何图形对称性的理解。下面，我们将通过知识梳理与专题练习相结合的方式，系统地回顾和应用角平分线的性质与判定。一、知识梳理1.角平分线的性质定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。理解要点：*“距离”指的是点到直线的垂线段的长度。*该性质建立了角平分线上的点与角两边的位置关系（等距）。*几何语言表述：如图1，若OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，且PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，则PD=PE。2.角平分线的判定定理到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。理解要点：*这是性质定理的逆定理。*它为我们提供了判断一条射线是否为角平分线的方法。*几何语言表述：如图1，若点P在∠AOB的内部，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE，则点P在∠AOB的平分线上（或射线OP平分∠AOB）。核心思想：性质定理是“由平分线得等距”，判定定理是“由等距得平分线”，二者相辅相成，是解决与角平分线相关问题的两把钥匙。二、专题练习（一）判断题（对的打“√”，错的打“×”）1.角平分线上的点到角的顶点的距离相等。（）2.到角两边距离相等的点，一定在这个角的平分线上。（）3.三角形的三条角平分线交于一点，这点到三角形三边的距离相等。（）4.一个角的平分线是这个角的对称轴。（）（二）填空题5.如图2，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若AB=8，AC=6，△ABC的面积是21，则DE的长为______。6.如图3，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A、B。若PA=3，则PB=______，∠OAP=______度。7.已知点P在∠AOB的平分线上，点P到OA的距离为5，则点P到OB的距离为______。（三）解答题8.已知：如图4，在△ABC中，∠B=∠C，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F。求证：AD平分∠BAC。9.已知：如图5，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，且BD=CD。求证：AD平分∠BAC。10.如图6，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC。求证：BE∥DF。三、参考答案与解析（一）判断题1.×（角平分线上的点到角两边的距离相等，而非到顶点的距离。）2.×（必须强调“在角的内部”到角两边距离相等的点，才在这个角的平分线上。）3.√（三角形的内心即为三条角平分线的交点，它到三边距离相等。）4.√（角平分线所在的直线是角的对称轴，说“平分线是对称轴”在初中阶段通常也理解为正确，更准确的是“角平分线所在的直线”。）（二）填空题5.3解析：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF。S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD=1/2AB·DE+1/2AC·DF=1/2DE(AB+AC)=1/2DE(8+6)=7DE。已知S_△ABC=21，∴7DE=21，解得DE=3。6.3，90解析：∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，∴PB=PA=3。PA⊥OA，故∠OAP=90度。7.5解析：直接应用角平分线的性质定理。（三）解答题8.证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°。∵∠B=∠C，BD=CD（D是BC中点），∴△BDE≌△CDF（AAS）。∴DE=DF。又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC。9.证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD=∠CED=90°。在△BFD和△CED中，∠BFD=∠CED，∠BDF=∠CDE（对顶角相等），BD=CD，∴△BFD≌△CED（AAS）。∴DF=DE。又∵DF⊥AB，DE⊥AC，∴点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC。10.证明：在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∴∠ABC+∠ADC=360°-∠A-∠C=180°。∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠ABE=∠EBC=1/2∠ABC，∠ADF=∠FDC=1/2∠ADC。∴∠EBC+∠FDC=1/2(∠ABC+∠ADC)=1/2×180°=90°。在Rt△DFC中，∠C=90°，∴∠DFC+∠FDC=90°。∴∠EBC=∠DFC（同角的余角相等）。∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行）。---希