31　导数的概念及运算

目录五年高考三年模拟53精选练综合五年高考53精选1.(2023全国甲文,8,5分,中)曲线y=

在点

处的切线方程为

()A.y=

x

B.y=

xC.y=

x+

D.y=

x+

C

解析由y=

,可得y'=

,则y'|x=1=

,∴曲线在点

处的切线方程为y-

=

(x-1),即y=

x+

,故选C.2.(2024全国甲文,7,5分,中)设函数f(x)=

,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为

()A.

B.

C.

D.

A

解析

f'(x)=

,∴曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线的斜率k=f'(0)=3,∴切线的方程为y=3x+1,令x=0,得y=1;令y=0,得x=-

,∴曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为S=

×1×

=

.故选A.3.(2021新高考Ⅰ,7,5分,中)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则

()A.eb<a

B.ea<b

C.0<a<eb

D.0<b<ea

D

解析设切点坐标为(x0,y0),则y0=

.对y=ex求导得y'=ex,则切线斜率k=

,切线方程为y-

=

(x-x0),因为切线过点(a,b),所以b-

=

(a-x0),即

(a-x0+1)-b=0(*).由题意知方程(*)有两个解.(不能直接求方程(*)的解,考虑其对应函数有两个零点,利用

导数法求解)设g(x)=ex(a-x+1)-b,则g'(x)=ex(a-x),令g'(x)>0,得x<a,令g'(x)<0,得x>a,故函数g(x)在x=a处取得极大值,也是最大值.要使g(x)有两个零点,必有g(a)>0,即ea(a-a+1)-b>0,即b<ea.结合选项可知,D正确.小题巧解当x→-∞时,曲线y=ex的切线的斜率k>0且k趋向于0,当x→+∞时,曲线y=ex的

切线的斜率k>0且k趋向于+∞,结合图象可知,两切线的交点应该在x轴上方,且在曲线y=

ex的下方,∴0<b<ea,故选D.4.(2021全国甲理,13,5分,易)曲线y=

在点(-1,-3)处的切线方程为______________.

y=5x+2

解析

y=

=2-

,所以y'=

,所以k=y'|x=-1=5,从而切线方程为y+3=5(x+1),即y=5x+2.5.(2024新课标Ⅰ,13,5分,中)若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切

线,则a=____________.

ln2

解析因为y=ex+x,所以y'=ex+1,所以曲线y=ex+x在点(0,1)处切线的斜率k=2,又切线过点(0,1),所以曲线y=ex+x在点(0,1)处切线的方程为y=2x+1,对y=ln(x+1)+a求导得y'=

,由直线y=2x+1也是曲线y=ln(x+1)+a的切线,得

=2,解得x=-

,将x=-

代入y=ln(x+1)+a得y=a-ln2,所以曲线y=ln(x+1)+a与直线y=2x+1相切的切点坐标为

,代入y=2x+1,解得a=ln2.6.(2022新高考Ⅰ,15,5分,中)若曲线y=(x+a)·ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围

是______________________.

(-∞,-4)∪(0,+∞)

解析设f(x)=(x+a)ex,则f'(x)=(x+a+1)ex,设切点为(x0,(x0+a)

),因此切线方程为y-(x0+a)

=(x0+a+1)·

(x-x0),又∵切线过原点(0,0),∴-(x0+a)

=(x0+a+1)·

(-x0),整理得

+ax0-a=0,又切线有两条,∴关于x0的方程

+ax0-a=0有两不等实根,故Δ=a2+4a>0,解得a>0或a<-4.思路导引设切点坐标为(x0,(x0+a)

),利用导数的几何意义求出切线的斜率,进而得到切线方程,再把原点代入可得

+ax0-a=0,因为有两条切线,所以关于x0的方程有两个不等实根,由Δ>0即可求出a的取值范围.7.(2021新高考Ⅱ,16,5分,难)已知函数f(x)=|ex-1|,x1<0,x2>0,函数f(x)的图象在点A(x1,f(x1))

和点B(x2,f(x2))处的两条切线互相垂直,且分别交y轴于M,N两点,则

的取值范围是_____________.

(0,1)

解析当x>0时,f(x)=ex-1,f'(x)=ex,则kBN=

.当x<0时,f(x)=1-ex,f'(x)=-ex,kAM=-

,由切线垂直可知kAM·kBN=-

·

=-1,得x1+x2=0,设kBN=k,则kAM=-

,则

=

=

=

,∵x2>0,∴

∈(0,1).故

的取值范围是(0,1).8.(2024新课标Ⅱ,16,15分,中)已知函数f(x)=ex-ax-a3.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若f(x)有极小值,且极小值小于0,求a的取值范围.解析

(1)当a=1时,f(x)=ex-x-1,f'(x)=ex-1,则切线斜率为k=f'(1)=e-1,又∵f(1)=e-1-1=e-2,∴切线方程为y-(e-2)=(e-1)(x-1),整理得y=(e-1)x-1.(2)∵f(x)=ex-ax-a3,∴f'(x)=ex-a.①当a≤0时,f'(x)>0恒成立,f(x)单调递增,无极值,不符合题意,故a≤0时不成立.②当a>0时,令f'(x)=0,得x=lna,当x∈(-∞,lna)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(lna,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.∴x=lna时f(x)有极小值,极小值为f(lna)=elna-alna-a3=a-alna-a3.又∵极小值小于0,∴a-alna-a3<0,又∵a>0,∴1-lna-a2<0,设g(a)=1-lna-a2,a∈(0,+∞),∵g'(a)=-

-2a<0,∴g(a)单调递减,又∵g(1)=0,∴a∈(1,+∞)时,g(a)<0,即极小值f(lna)<0,∴a>1.综上所述,a的取值范围为(1,+∞).三年模拟练综合1.(2024北师大附中开学考试,10)函数f(x)及其导数f'(x)的定义域均为R,记g(x)=f'(x),若f

(1-x)和g(x+2)都是偶函数,则

()A.f(x)是奇函数

B.f(x)是偶函数C.g(x)是奇函数

D.g(x)是偶函数

D

解析由f(1-x)是偶函数,得f(1-x)=f(1+x),由g(x+2)是偶函数,得g(x+2)=g(-x+2),又g(x)=f'(x),由f(1-x)=f(1+x),得-f'(1-x)=f'(1+x),即-g(1-x)=g(1+x),得g(1+x)+g(1-x)=0,所以函数g(x)的图象关于点(1,0)对称,故不是奇函数;由-g(1-x)=g(1+x),得-g(-x)=g(2+x),即-g(-x)=g(2-x),所以-g(x)=g(2+x),即g(4+x)=-g(2+x)=g(x),所以函数g(x)的4,所以g(x)=g(4+x)=g(-x),所以函数g(x)为偶函数,故选D.2.题型(2024海淀一模,7)已知f(x)=

函数f(x)的零点个数为m,过点(0,2)与曲线y=f(x)相切的直线的条数为n,则m,n的值分别为

()A.1,1

B.1,2

C.2,1

D.2,2

B

解析当x≤0时,由f(x)=x3=0,得x=0,当x>0时,方程f(x)=lg(x+1)=0无解,所以函数f(x)的零

点是0,m=1.当x≤0时,设切点为(x0,

).由f'(x)=3x2,得切线斜率为f'(x0)=3

,切线方程为y=3

·x+2,又切点(x0,

)在切线上,所以

=3

·x0+2,得x0=-1,此时切线方程为y=3x+2.当x>0时,设切点为(x1,lg(x1+1)).f'(x)=

,则切线斜率为f'(x1)=

,切线方程为y=

x+2,又切点(x1,lg(x1+1))在切线上,所以lg(x1+1)=

x1+2,令g(x)=lgx-

-2(x>1),即g(x)=lgx-

+

-2(x>1),则g'(x)=

-

=

,x>1时,g'(x)>0,所以g(x)在区间(1,+∞)上单调递增,又因为g(100)=

-

<0,g(1000)=1+

-

>0,所以g(x)在区间(100,1000)内有唯一零点,即方程lg(x1+1)=

x1+2有唯一实根,故x>0时有一条切线y=

x+2.综上,过点(0,2)与曲线y=f(x)相切的直线的条数n=2,故选B.小题巧解在求n时,如果用导数计算,步骤较为烦琐,可考虑作出f(x)的图象,结合图象

判断切线条数.由图线有2条.

3.(2024丰台二模,7)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)

的导函数是f'(x),如果函数y=f(x)-f'(x)的图象如图所示,那么ω,φ的值分别为

()

A.1,0

B.1,-

C.1,

D.2,-

A

解析对f(x)=sin(ωx+φ)

求导可得f'(x)=ωcos(ωx+φ),则y=f(x)-f'(x)=sin(ωx+φ)-ωcos(ωx+φ)=

sin[(ωx+φ)-θ],其中tanθ=

=ω,0<θ<

,由题图可知,此函数的最大值为

,所以

=

,又ω>0,所以ω=1,则θ=

,所以y=

sin

,因为函数y=f(x)-f'(x)的图象过点(0,-1),所以-1=

sin

,即φ-

=

+2kπ,k∈Z(注意图象在此处上升),则φ=2π+2kπ,k∈Z,因为-

<φ<

,所以φ=0.综上,ω=1,φ=0.4.题型(2024东城一模,10)已知f(x)是定义在R上的函数,其图象是一条连续不断的曲线,

设函数ga(x)=

(a∈R),下列说法正确的是

()A.若f(x)在R上单调递增,则存在实数a,使得ga(x)在(a,+∞)上单调递增B.对于任意实数a,若ga(x)在(a,+∞)上单调递增,则f(x)在R上单调递增C.对于任意实数a,若存在实数M1>0,使得|f(x)|<M1,则存在实数M2>0,使得|ga(x)|<M2D.若函数ga(x)满足:当x∈(a,+∞)时,ga(x)≥0,当x∈(-∞,a)时,ga(x)≤0,则f(a)为f(x)的最小

值

D

解析函数ga(x)=

(a∈R)表示的是函数f(x)图象上两点割线的斜率,当x→a时,表示的为切线斜率.对于A,因为f(x)是定义在R上的函数,其图象是一条连续不断的曲线,且f(x)在R上单调递

增,所以设f(x)=x,则f(a)=a,此时ga(x)=

=

=1(a∈R)为常数,即任意两点的割线的斜率为常数,故A错误;对于B,设f(x)=x2,由图象知,

当x∈R时,随x增大,点(x,f(x))与点(a,f(a))连线的割线斜率越来越大,即单调递增,但f(x)

在R上不是单调函数,故B错误;对于C,因为对于任意实数a存在实数M1>0,使得|f(x)|<M1,说明f(x)是有界函数,所以设f(x)

=

,但割线的斜率不一定有界,如图,

当x→0+时,割线的斜率趋于正无穷,故C错误;对于D,因为函数ga(x)满足:当x∈(a,+∞)时,ga(x)≥0,即ga(x)=

≥0⇒[f(x)-f(a)]·(x-a)≥0,因为x>a,x-a>0,所以f(x)≥f(a);同理,当x∈(-∞,a)时,ga(x)≤0,即ga(x)=

≤0⇒[f(x)-f(a)]·(x-a)≤0,因为x<a,x-a<0,所以f(x)≥f(a);所以f(a)为f(x)的最小值,故D正确.故选D.5.题型(2024延庆一模,20)已知函数f(x)=-lnx+(2+a)x-2.(1)若曲线y=f(x)的一条切线方程为y=x-1,求a的值;(2)若函数f(x)在区间(1,2)上为增函数,求a的取值范围;(3)若∀x∈

,f(x)无零点,求a的取值范围.解析

(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),设切点为(x0,y0),因为f'(x)=-

+2+a,所以-

+2+a=1,即x0=

,因为y0=x0-1,y0=-lnx0+(2+a)x0-2,所以lnx0=(1+a)x0-1,即ln

=1-1=0,所以

=1,即a=0.(2)因为f'(x)=-

+2+a,f(x)在区间(1,2)上为增函数,所以f'(x)≥0在区间(1,2)上恒成立,因为x∈(1,2),所以f'(x)∈

,所以a+1≥0,即a∈[-1,+∞).(3)因为f'(x)=-

+2+a=

,x∈(0,+∞),①当2+a≤0,即a≤-2时,f'(x)<0,所以f(x)在

上单调递减,因为f

=2+(2+a)

-2≤0,所以f(x)在

上无零点,符合题意.②当a>-2时,令f'(x)=0,则x=

>0,当x∈

时,f'(x)<0;当x∈

时,f'(x)>0,所以f(x)的单调递减区间是

,单调递增区间是

,f(x)的最小值为f

=-ln

-1,当-ln

-1>0,即a>e-2时,f(x)无零点,符合题意;当a=e-2时,f(x)有一个零点

=

>

,不符合题意;当-2<a<e-2时,f(x)的最小值f

=-ln

-1<0,因为f

=(2+a)

>0,所以∃x0∈

,使得f(x0)=0,不符合题意.综上,当a∈(-∞,-2]∪(e-2,+∞)时,∀x∈

,f(x)无零点.6.题型(2025清华大学附中开学测试,19)已知函数f(x)=(1-ax)ex-a(1-x).(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)当a=1时,求不等式f(x)>0的解集;(3)若不等式f(x)>0无整数解,求实数a的取值范围.解析

(1)由题意得f(0)=1-a,f'(x)=(1-ax-a)ex+a,f'(0)=1.则切线方程为y-(1-a)=1×(x-0),即y=x+1-a.(2)当a=1时,f(x)=(1-x)ex-(1-x)=(1-x)(ex-1)>0.即

解得0<x<1;或

无解.综上,不等式f(x)>0的解集为(0,1).(3)由f(x)=(1-ax)ex-a(1-x)>0,得(1-ax)ex>a(1-x),即a

<1,设m(x)=x-

,则m'(x)=1-

=

,设h(x)=ex+x-2,h'(x)=ex+1>0,所以h(x)单调递增,且h(0)=-1,h(1)=e-1>0,所以存在x0∈(0,1),使得h(x0)=0,即m'(x0)=0,当x∈(-∞,x0)时,m'(x)<0,m(x)单调递减,当x∈(x0,+∞)时,m'(x)>0,m(x)单调递增,所以m(x)≥m(x0)=

,因为ex≥x+1,(熟记常用不等式放缩)所以m(x)≥m(x0)=

≥

=

>0,当x≤0时,m(x)≥m(0)=1,当x≥1时,m(x)≥m(1)=1,不等式(1-ax)ex>a(1-x)无整数解,即a

<1无整数解,当a≤0时,有无穷多个整数解,不符合题意,当a≥1,即

≤1时,因为函数m(x)在(-∞,0]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,所以x∈Z时,m(x)≥min{m(0),m(1)}=1≥

,所以m(x)<

无整数解,符合题意,当0<a<1时,因为m(0)=m(1)=1<

,显然0,1是a·m(x)<1的两个整数解,不符合题意.综上,a≥1,实数a的取值范围是(1,+∞).7.题型(2025平谷一模,20)已知函数f(x)=

.(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)若a=-1,求f(x)的单调区间;(3)当a变化时,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率能否为1?若能,求a的值,若不能,说明

理由.解析

(1)当a=1时,f(x)=

,因为f(2)=0,f'(x)=

,f'(2)=

,所以在点(2,f(2))处的切线方程为y=

x-1.(2)当a=-1时,函数f(x)的定义域是(-1,0)∪(0,+∞),所以f'(x)=

,令g(x)=

-ln(x+1),所以g'(x)=

-

=-

,当-1<x<0时,g'(x)>0,当x>0时,g'(x)<0,所以g(x)在(-1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,g(x)在x=0处取得最大值,又g(0)=0,故f'(x)<0恒成立,所以f(x)的单调递减区间是(-1,0),(0,+∞),无单调递增区间.(3)因为f'(x)=

,所以f'(1)=

-ln(1-a)=1,即有

-ln(1-a)=0,令m(a)=

-ln(1-a),a<1,则m'(a)=

+

>0,故m(a)在(-∞,1)上单调递增,又m(0)=0,因此0是m(a)的唯一零点,即方程

-ln(1-a)=0有唯一实根0,所以a=0.所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率能为1,此时a=0.思路点拨

(1)先求f(2)=0,再利用导数求得f'(2)=

,最后利用点斜式求切线方程;(2)先求f'(x)=

,再令g(x)=

-ln(x+1),进而运用导数判断g(x)单调性并求得最值,即得g(x)≤g(0)=0,最后得f(x)的单调区间;(3)由f'(1)=1,转化为判断方程

-ln(1-a)=0的解的情况,令m(a)=

-ln(1-a),a<1,最后运用导数判断单调性求得零点即可得结论.8.(2025东城二模,20)设函数f(x)=(x2+ax)·lnx,其中a∈R.(1)当a>0时,求f(x)的零点;(2)当a=-1时,证明:(i)1为f(x)的极小值点;(ii)对于任意m∈

,存在n∈(1,2),使得曲线y=f(x)在点A(m,f(m))处的切线斜率与在点B(n,f(n))处的