95　统计与成对数据的统计分析

专题九计数原理、概率与统计9.5统计与成对数据的统计分析目录五年高考三年模拟天津专练全真全练练基础五年高考天津专练1.(2021天津,4,5分,易)从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部,统计其评分数据,将

所得400个评分数据分为8组:[66,70),[70,74),…,[94,98],并整理得到如下的频率分布直

方图,则评分在区间[82,86)内的影视作品数量是

(

)

D

A.20

B.40

C.64

D.80解析根据题意得,评分在区间[82,86)内的影视作品数量是0.05×4×400=80.故选D.2.(2022天津,4,5分,易)将1916年到2015年的全球年平均气温(单位:℃),共100个数据,分

成6组:[13.55,13.75),[13.75,13.95),[13.95,14.15),[14.15,14.35),[14.35,14.55),[14.55,14.75],

并整理得到如下的频率分布直方图,则全球年平均气间[14.35,14.75]内的有

(

)

B

A.22年

B.23年

C.25年

D.35年解析依题意,全球年平均气间[14.35,14.75]内的频率是0.2×0.5+0.2×0.65=0.23,

故全球年平均气间[14.35,14.75]内的有100×0.23=23年.3.(2020天津,4,5分,易)从一批零件中抽取80个,测量其直径(单位:mm),将所得数据分为9

组:[5.31,5.33),[5.33,5.35),…,[5.45,5.47),[5.47,5.49],并整理得到如图所示的频率分布直

方图,则在被抽取的零件中,直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为

(

)

B

A.10

B.18

C.20

D.36解析由题中频率分布直方图可知,在被抽取的零件中,直径落在[5.43,5.47)内的频率

为(6.25+5.00)×0.02=0.225,频数为80×0.225=18,即直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为18.故选B.4.(2024天津,3,5分,易)下列散点图中,样本相关性系数最大的是

(

)

A

解析观察各选项可知,A图中散点分布比较集中,且大体接近一条直线,呈现明显的正

相关,线性回归模型的拟合效果比较好,|r|相比于其他三个图更接近1.故选A.5.(2023天津,7,5分,易)鸢是鹰科的一种鸟,《诗经·大雅·旱麓》曰“鸢飞戾天,鱼跃于

渊”.鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名(图1),寓意鹏程万里、前途无量.通过随机抽样,收

集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度(单位:cm),绘制对应散点图(图2).

计算得样本相关系数为0.8642,利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为

=0.7501x+

0.6105.根据以上信息,如下判断正确的为(

)A.花萼长度与花瓣长度不存在相关关系B.花萼长度与花瓣长度负相关C.花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值约为5.8612cmD.若选取其他品种鸢尾花进行抽样,所得花萼长度与花瓣长度的样本相关系数一定为

0.8642

C

解析题图2中的散点大致落在一条从左下角到右上角的直线附近,这说明成对样本数

据之间存在正相关关系,故A、B错误;把x=7代入经验回归方程

=0.7501x+0.6105,得

=5.8612,故C正确;由于样本发生变化,所以样本相关系数不一定相同,故D错误.考点一随机抽样(2017江苏,3,5分,易)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,

400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件

进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取__________件.

18

全真全练解析从丙种型号的产品中抽取60×

=18(件).考点二用样本估计总体1.(2025全国二卷,1,5分,易)样本数据2,8,14,16,20的平均数为(

)A.8

B.9

C.12

D.18

C

解析由题意知平均数=

=12.故选C.2.(2024新课标Ⅱ,4,5分,易)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水

稻,得到各块稻田的亩产量(单位:kg)并整理得下表:亩产量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1050,1100)[1100,1150)[1150,1200)频数61218302410根据表中数据,下列结论中正确的是

(

)A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB.100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%C.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间

C

解析列出频率分布表如下:亩产量频数频率[900,950)60.06[950,1000)120.12[1000,1050)180.18[1050,1100)300.30[1100,1150)240.24[1150,1200)100.10合计1001.00对于A,由频率分布表,知前三组的频率之和为0.06+0.12+0.18=0.36<0.5,前四组的频率

之和为0.06+0.12+0.18+0.30=0.66>0.5,因此中位数在[1050,1100)内.因此中位数大于或

等于1050kg，故A错误.对于B,由频率分布表,知亩产量在[900,1100)内的频率为0.06+0.12+0.18+0.30=0.66<0.80,故B错误.对于C,由题意知1200-900=300,1150-950=200,所以这100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间,故C正确;对于D,设这100块稻田亩产量的平均值为

(单位:kg),则

=925×0.06+975×0.12+1025×0.18+1075×0.30+1125×0.24+1175×0.10=1067>1000,因此D错误.故选C.3.(2023全国乙,文17,理17,12分,中)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处

理效应,进行10次配对试验,每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品,随机地选其中

一个用甲工艺处理,另一个用乙工艺处理,测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲、乙两种

工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi,yi(i=1,2,…,10),试验结果如下:试验序号i12345678910伸缩率xi545533551522575544541568596548伸缩率yi536527543530560533522550576536记zi=xi-yi(i=1,2,…,10),记z1,z2,…,z10的样本平均数为

,样本方差为s2.(1)求

,s2;(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否

有显著提高

如果

≥2

,则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高,否则不认为有显著提高

.解析

(1)zi=xi-yi(i=1,2,…,10)依次为9,6,8,-8,15,11,19,18,20,12,则

=

×(9+6+8-8+15+11+19+18+20+12)=11,s2=

×[(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+(11-11)2+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2]=61.(2)由(1)知

=11,s2=61,则

-2

=11-2

>0,∴

≥2

,即甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.考点三变量间的相关关系1.(2025全国一卷,15,13分,易)为研究某疾病与超声波检查结果的关系,从做过超声波检

查的人群中随机调查了1000人,得到如下列联表:超声波检查

结果组别

正常不正常合计患该疾病20180200未患该疾病78020800合计8002001000(1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p,求p的估计值;(2)根据小概率值α=0.001的独立性检验,分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.附:χ2=

,

.解析

(1)由题意知超声波检查结果不正常的人数为200,患该疾病的人数为180,所以超

声波检查结果不正常者患该疾病的概率的估计值p=

=0.9.(2)零假设为H0:超声波检查结果与患该疾病无关.χ2=

=765.625>10.828=x0.001,根据小概率值α=0.001的独立性检验,我们推断H0不成立,即超声波检查结果与患该疾病

有关.2.(2024全国甲理,17,12分,易)某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后,从该工厂

甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验,数据如下:

优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150(1)填写如下列联表:

优级品非优级品甲车间

乙车间

能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?能否有99%的把握认

为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p=0.5.设

为升级改造后抽取的n件产品的优级品率,如果

>p+1.65

,则认为该工厂产品的优级品率提高了.根据抽取的150件产品的数据,能否认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了?

(

≈12.247)附:K2=

,.解析

(1)列联表如下:

优级品非优级品甲车间2624乙车间7030K2=

=4.6875,∵3.841<4.6875<6.635,∴有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异,没有99%的把握认为

甲、乙两车间产品的优级品率存在差异.(2)由题知

=

=0.64,∵p=0.5,∴p+1.65

=0.5+1.65×

=0.5+

≈0.5+

≈0.567,∵

>p+1.65

,∴可以认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了.三年模拟练基础1.(2025河西一模,3)对变量x,y有观测数据(xi,yi)(i=1,2,3,…,10),得散点图1;对变量u,v有观

测数据(ui,vi)(i=1,2,3,…,10),得散点图2.由这两个散点图可以判断

(

)

B

A.变量x与y正相关,u与v正相关B.变量x与y正相关,u与v负相关C.变量x与y负相关,u与v正相关D.变量x与y负相关,u与v负相关解析由变量x,y的散点图,知随x增大,y也增大,则变量x与y正相关;由变量u,v的散点图,知随u增大,v减小,则变量u与v负相关.故选B.2.题型三(2024河北一模,3)已知甲、乙两组数据分别为20,21,22,23,24,25和23,24,25,26,

27,28,则下列说法中不正确的是

(

)A.甲组数据中第70百分位数为23B.甲、乙两组数据的极差相同C.乙组数据的中位数为25.5D.甲、乙两组数据的方差相同

A

解析对于A,6×70%=4.2,则甲组数据的第70百分位数为24,A中说法错误;对于B,甲组数据的极差为25-20=5,乙组数据的极差为28-23=5,B中说法正确;对于C,乙组数据从小到大排序为23,24,25,26,27,28,则其中位数为

×(25+26)=25.5,C中说法正确;对于D,甲组数据的平均数

=

×(20+21+22+23+24+25)=22.5,其方差

=

×[(20-22.5)2+(21-22.5)2+…+(25-22.5)2]=

,乙组数据的平均数

=

×(23+24+25+26+27+28)=25.5,其方差

=

×[(23-25.5)2+(24-25.5)2+…+(28-25.5)2]=

,D正确.故选A.3.题型四(2025天津十二校二模,4)小明研究x(单位:℃)与本单位当天新增感冒人数

y(单位:人)的关系,他记录了5天的数据:x34567y1620252836由表中数据求得x与新增感冒人数y满足经验回归方程

=

x+1,则下列结论不正确的是

(

)A.x与y正相关B.经验回归直线经过点(5,25)C.当x=6时,残差为1.8D.

=4.8

C

解析选项A,观察数据,x增大时,y也增大,说明正相关,故A正确;选项B,

=5,

=25,样本点中心为(5,25),经验回归直线经过样本点中心,故B正确;将样本点中心坐标代入经验回归方程得25=

×5+1,

=4.8,

=4.8x+1,故D正确;计算预测值

=4.8×6+1=29.8,实际值y=28,残差e=y-

=28-29.8=-1.8,题目中残差为1.8(未考虑符号),故C错误.4.(2025南开二模,5)某中学三个不同选课组合的学生在一次高三质量监测的数学平均

分分别为a,b,c,若按不同选课组合采用分层抽样的方法抽取了一个120人的样本,抽到

三个不同选课组合的学生人数分别为20,40,60,则估计这三个不同选课组合学生的数学

平均分为(

)A.

B.

C.

a+

b+

c

D.

a+

b+

c

C

解析因为三个不同选课组合的学生人数分别为20,40,60,所以三个不同选课组合的学生人数占比为

,

,

,所以估计这三个不同选课组合学生的数学平均分为

a+

b+

c.故选C.5.题型四(2025河东一模,5)下列说法中,正确的有

(

)①回归直线

=

x+

恒过点(

,

),且至少过一个样本点;②根据2×2列联表中的数据计算得出χ2≥6.635,而P(χ2≥6.635)≈0.01,则有99%的把握认

为两个分类变量有关系,即有1%的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错

误;③χ2是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量,当χ2的值很小时可以推断两个变量

不相关;④某项测量结果ξ服从正态分布N(1,a2),且P(ξ<5)=0.81,则P(ξ<-3)=0.19.A.1个

B.2个

B

C.3个

D.4个解析①经验回归直线

=

x+

恒过点(

,

),不一定过样本点,故①错误;②独立性检验是选取一个假设H0条件下的小概率事件,故②正确;③当χ2的值很小时推断两个变量相关的把握小,但不能说无关,故③错误;④因为ξ服从正态分布N(1,a2),且

=1,所以ξ>5与ξ<-3关于直线x=1对称,故④正确.故选B.6.(2025河北二模,5)下列结论中,错误的是

(

)A.数据4,1,6,2,9,5,8的第60百分位数为6B.若随机变量X~N(1,σ2),P(X≤-2)=0.21,则P(X≤4)=0.79C.已知经验回归方程为

=

x+1.8,且

=2,

=20,则

=9.1D.根据分类变量X与Y成对样本数据,计算得χ2=9.632,依据小概率值α=0.001的χ2独立性

检验(x0.001=10.828),可判断X与Y有关联,此推断犯错误的概率不大于0.001

D

解析

A选项,数据4,1,6,2,9,5,8从小到大排序后为1,2,4,5,6,8,9,7×60%=4.2,故选取第5个

数据作为第60百分位数,即为6,A正确;B选项,X~N(1,σ2),根据对称性可知P(X≥4)=P(X≤-2)=0.21,故P(X≤4)=1-0.21=0.79,B正确;C选项,已知经验回归方程为

=

x+1.8,且

=2,

=20,则2

+1.8=20,解得

=9.1,C正确;D选项,χ2=9.632<10.828,故不能得到此结论,D错误.7.(2025河西二模,4)某企业开发了一款新产品某省市场后供不应求,为了达到产量最大

化,决定增加生产线.经过一段时间的生产,统计得该款新产品的生产线条数x与月产量y

(千件)之间的统计数据如下表所示:生产线条数x46810月产量y/千件30406070由数据可知y与x满足一元线性回归模型,且经验回归方程为

=

x+1,则当该款新产品的生产线为12条时,预计月产量为

(

)A.73千件

B.79千件C.85千件

D.90千件

C

解析依题意可得

=

×(4+6+8+10)=7,

=

×(30+40+60+70)=50,因为经验回归直线

=

x+1必过点(

,

),所以50=7

+1,解得

=7,所以

=7x+1,当x=12时,

=7×12+1=85,故当该款新产品的生产线为12条时,预计月产量为85千件.故选C.8.(2025和平二模,5)某人工智能公司为优化新开发的语言模型,在其模型试用人群中开

展满意度问卷调查,满意度采用计分制(满分100分),统计满意度并绘制成如下频率分布

直方图,图中m=2n,则下列结论不正确的是

(

)

C

A.n=0.015B.满意度计分的众数约为75分C.满意度计分的平均分约为79分(同一组中数据用该组区间中间值作代表值)D.满意度计分的第一四分位数约为70分解析对于A,由频率分布直方图可得(0.01+n+0.035+m+0.01)×10=1,又m=2n,解得n=0.015,故A正确;对于B,由频率分布直方图可得,满意度计分的众数为最高矩形底边中点的横坐标,即为

75分,故B正确;对于C,满意度计分的平均分约为(55×0.01+65×0.015+75×0.035+85×0.03+95×0.01)×10=76.5(分),故C错误;对于D,前两组的频率之和为0.25,所以满意度计分的第一四分位数约为70分,故D正确.

故选C.9.(2025河东二模,5)2024年12月26日,DeepSeek-V3首个版本正式上线,截至2025年2月9

日,DeepSeekApp的累计下载量已超1.1亿次,AI成为当下的热门话题.立德中学高中数

学社团以16至40岁人群使用DeepSeek频率为课题,分小组自主选题进行调查研究,下列

说法正确的是

(

)A.甲小组开展了DeepSeek每频次与年龄的相关性研究,经计算,样本相关系数r

≈0.97,可以推断两个变量正线性相关,但相关程度很弱B.乙小组利用最小二乘法得到DeepSeek每频次y关于年龄x的经验回归方程为

=0.3x+8,可以推断年龄为30岁的群体每频次一定为17次C.丙小组用决定系数R2来比较模型的拟合效果,经验回归方程①和②的R2分别约为0.733和0.998,因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①的好很多

C

D.丁小组研究性别因素是否影响DeepSeek使用频次,根据小概率值α=0.1的χ2独立性检

验,计算得到χ2=3.837>2.706=x0.1,可以认为不同性别人的DeepSeek使用频次没有差异解析对于A,由r的绝对值越接近1,相关性越强可得A错误;对于B,经验回归方程

=0.3x+8给出的是预测值,实际值会有随机误差,所以年龄为30岁的群体每频次不一定为17次,故B错误;对于C,R2越大,模型的拟合效果越好,因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程

①的好很多,故C正确;对于D,χ2=3.837>2.706=x0.1,可以认为不同性别人的DeepSeek使用频次有差异,故D错误.故选C.10.(2025天津部分区一模,3)下列说法中,不正确的是

(

)A.在1,3,6,7,9,10,12,15这组数据中,第50百分位数为8B.分类变量A与B的统计量χ2越大,说明“A与B有关系”的可信度越大C.根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的经验回归方程为

=

x+

,若

=2,

=1,

=3,则

=1D.两个模型中,残差平方和越大的模型拟合的效果越好

D

解析对于A,1,3,6,7,9,10,12,15,由8×50%=4,得这组数据的第50百分位数为

=8,故A正确;对于B,根据统计量χ2的意义知B正确;对于C,根据经验回归直线必过(

,

)得3=2×1+

,解得

=1,故C正确;对于D,因为残差平方和越小,模型拟合的效果越好,故D错误.故选D.11.题型三(2024和平期末,4)为深入学习宣传党的二十大精神,某校开展了“奋进新征

程,强国伴我行”二十大主题知识竞赛,某班选派了10名同学参赛,且该10名同学的成绩

依次是70,85,86,88,90,90,92,94,95,100.针对这一组数据,以下说法正确的个数为

()①这组数据的中位数为90;②这组数据的平均数为89;③这组数据的众数为90;④这组数据的第75百分位数为93;⑤这组数据的每个数都减5后,新数据的平均数与方差均无变化.

BA.2

B.3

C.4

D.5解析这组数据的中位数为

=90,故①中说法正确;(数据个数为奇数时,中位数是排序后最中间的数;数据个数为偶数时,中位数是排序后中间两个数的平均值)这组数据的平均数为

×(70+85+86+88+90+90+92+94+95+100)=89,故②中说法正确;这组数据的众数为90,故③中说法正确;10×75%=7.5,第75百分位数为第8个数,即94,故④中说法错误;这组数据的每个数都减5后,平均数减少5,方差不变,故⑤中说法错误.综上,说法正确的个数为3,故选B.12.题型三(2024河东二模,7)下列说法中正确的是

(

)A.具有线性相关关系的变量x,y,其经验回归方程为y=0.2x-m,若样本点的中心为(m,3.2),

则m=4B.数据3,4,2,8,1,5,8,6的中位数为5C.将一组数据中的每一个数据加上同一个正数后,方差变大D.若甲、乙两组数据的相关系数分别为-0.91和0.89,则甲组数据的线性相关性更强

D

解析把(m,3.2)代入y=0.2x-m,可得3.2=0.2m-m,解得m=-4,故A中说法错误;数据3,4,2,8,1,5,8,6按从小到大的顺序排列为1,2,3,4,5,6,8,8,则中位数为

=4.5,故B中说法错误;将一组数据中的每一个数据加上同一个正数后,数据的波动性不变,故方差不变,故C中

说法错误;已知甲、乙两组数据的相关系数分别为-0.91和0.89,因为|-0.91|>|0.89|,所以甲组数据的

线性相关性更强,故D中说法正确.故选D.13.题型三(2025红桥一模,5)在202某省市普通高中学业水平考试(合格考)中某省市所

有考生的数学成绩进行统计,可得到如图所示的频率分布直方图,其中分组的区间为[4

0,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],90分以上为优秀,则下列说法中不正确的

是

(

)

A

某省市考生数学成绩的中位数为75分B.某省市的合格考通过率达到96%,则合格分数线约为44分C.从全体考生中随机抽取1000人,则其中得优秀的约有100人D.若同一组中数据用该组区间中间值作代表值,可得考试数学成绩的平均分约为70.5

分解析由频率分布直方图知中位数在[70,80)内,设其为x,则

=

,解得x≈71.67,故A错误;设合格分数线为y分,某省市的合格考通过率达到96%,则

=

,解得y=44,故B正确;由频率分布直方图知得优秀的频率为0.1,因此人数为1000×0.1=100,故C正确;由频率分布直方图得平均分为45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1=70.5(分),故考试数学成绩的平均分约为70.5(分),故D正确.故选A.14.题型三(2025天津一中月考四,6)下列说法不正确的是

(

)A.对具有线性相关关系的变量x,y,且经验回归方程为

=0.3x-m,若样本点的中心为(m,2.8),则实数m的值是-4B.若随机变量X服从正态分布N(3,σ2),且P(X≤4)=0.7,则P(3<X≤4)=0.2C.若线性相关系数|r|越接近1,则两个变量的线性相关程度越高D.一组数据10,11,11,12,13,14,16,18,20,22的第60百分位数为14

D

解析对于A,经验回归直线必过样本点中心,则2.8=0.3m-m,解得m=-4,故A正确;对于B,若随机变量X~N(3,σ2),且P(X≤4)=0.7,则P(X>4)=1-P(X≤4)=0.3,则P(3<X≤4)=0.5

-P(X>4)=0.2,故B正确;对于C,若线性相关系数|r|越接近1,则两个变量的线性相关性越强,故C正确;对于D,因为10×60%=6,所以第60百分位数为

=15,故D错误.故选D.15.题型二(2024天津耀华中学开学考,2)在某区高三年级举行的一次质量检测中,某学

科共有3000个人参加考试,为了解本次考试学生的成绩情况,从中抽取了部分学生的成

绩(成绩均为正整数,满分为100分)作为样本进行统计,样本容量为n,按照[50,60),[60,70),

[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图(如图所示),已知成绩落在[50,60)内

的人数为16,则下列结论正确的是

(

)

C

A.样本容量n=1000B.图中x=0.025C.估计全体学生该学科的成绩的平均分为70.6分D.若将该学科成绩由高到低排序,前15%的学生该学科成绩为A等,则成绩为78分的学

生该学科的成绩肯定不是A等解析对于A,成绩落在[50,60)的频率为0.016×10=0.16,又成绩落在[50,60)内的人数为16,所以样本容量n=

=100,故A错误;对于B,由题中频率分布直方图可得(0.016+x+0.040+0.010+0.004)×10=1,解得x=0.030,故

B错误;对于C,估计全体学生该学科成绩的平均分为55×0.16+65×0.3+75×0.4+85×0.1+95×0.04

=70.6(分),故C正确;对于D,10×(0.004+0.010)=0.14<0.15,10×(0.004+0.010+0.040)=0.54>0.15,故A等成绩的最低分落在[70,80),所以成绩为78分的学生该学科成绩可能是A等,故D错误.故选C.16