北京东城区2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷（解析版）

东城区2024-2025学年度第二学期期末统一检测

初一数学

考生须知

1.本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间100分钟

2.在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和教育LD号.

3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.

4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.

5.考试结束后，请将答题卡交回.

一、选择题(本题共8小题，每小题2分，共16分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选

项只有一个.

1.下列调查中，适宜用全面调查方法的是()

A.手机厂商检测某型号手机的使用寿命

B.班长了解全班同学的视力

C.出版社调查全市青少年对一部文学作品的阅读情况

D.食品公司调查各省人民对粽子的喜爱程度

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查全面调查的适用情形.全面调查适用于范围小、需精确数据且易操作的情况，而抽样调

查适用于范围大、破坏性或成本高的情况.

【详解】解：A.检测手机寿命需破坏性测试，无法普查，应抽样调查，故该选项不符合题意；

B.全班同学数量有限，可逐一检查视力，适合全面调查，故该选项符合题意；

C.全市青少年群体庞大，普查成本过高，应抽样调查，故该选项不符合题意；

D.各省人口众多，无法逐一调查，需采用抽样调查，故该选项不符合题意；

故选：B.

2.在平面直角坐标系xOj•中有下列四个点，在第二象限的点是()

A.(1,2)B.(QI)C.(1,-2)D.(-2,1)

【答案】D

【解析】

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【分析】本题主要考查的是各象限内点的坐标特点、坐标轴上点的坐标特点.本题主要考查的是各象限内

点的坐标特点，各象限内点的坐标特点：第一象限点的坐标为（…，第二象限点的坐标为I,+）,第三象

限点的坐标为I，-）,第四象限点的坐标为l+，T,坐标轴上点的坐标特点：点在无轴上，「=。，点在y

轴上，X=0据此回答即可.

【详解】解：A.点（L2）在第一象限，故该选项不符合题意;

B.点（Q1）在无轴上，故该选项不符合题意;

C.点（I,2］在第四象限，故该选项不符合题意;

D.点（2.1）在第二象限，故该选项符合题意;

故选：D.

3.已知点“在直线鹿外，要求过点A/画直线底的平行线.某位同学先过点“画直线交P。于点N,

并使得乙1/'曾二6。°,然后他通过将含有30c角的三角板从点N处沿着直线平移画出所要求作的直线.在

点N处，他的三角板摆放方法正确的是（）

【解析】

【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键.根据同位角相等，两直线平行即

可得.

【详解】解：将三角板中的60c角与/重合，再从点N处沿着直线平移，当三角板中的60,角的顶

点与点”重合时，画出的直线即为直线的平行线.理由是：同位角相等，两直线平行.

故选：C.

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4.以下四个命题中，是真命题的是（）

A.若。,则a<h

B.9的平方根是3

C.3.14n的相反数是它本身

D.点（UI到两条坐标轴的距离都是1

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查了真假命题的判断，不等式的性质，平方根的定义，相反数，点到坐标轴的距离等

知识，逐一分析各选项是否符合数学定义或性质即可判断.

【详解】解：A.若a,b,两边同乘一1时不等号方向改变，即b,故A错误.

B.9的平方根是与，而3是算术平方根，故B错误.

C.3.14-*的相反数为,T-3.14,显然不等于原数，故c错误.

D.点（1」）到无轴的距离为1=1,到y轴的距离为|1=1,均等于1,故D正确.

故选：D

5.如图，在三角形48c中，/B=4I。，点。，E分别在IB,上，DE//BC.在以下四个结论中,

正确的是（）

【答案】A

【解析】

【分析】本题主要考查了根据平行线性质求角的度数，由平行线的性质得出=180c-Z5=4111

其他均无法得出.

【详解】解：A.-.DE//BC,.-.LBDE=180c-Zfi=4I1,故该选项符合题意；

B.无法得出乙4£。=41。，故该选项不符合题意；

C.无法得出乙4-4「，故该选项不符合题意；

D.无法得出/C=4-，故该选项不符合题意；

故选：A.

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6.某部门要在一条笔直的东西方向的马路边植树，准备利用运输车将树苗从集中存放点“处运送到

A,8,C,。四个发放点，发放点儿5.C,。与存放点”的方位如图所示.在四个发放点中，与集中

存放点”距离最近的是（）

A.发放点AB.发放点BC.发放点CD.发放点。

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了垂线段最短原理，根据直线外一点与直线上点连线中，以垂线段为最短选择即可.

【详解】解：根据题意可知，MBiAD，

根据直线外一点与直线上点的连线中，以垂线段为最短，

可知发放点B与集中存放点A/距离最近

故答案为：B.

7.若实数5力在数轴上的对应点的位置如图所示，则在下列结论中，正确的是（）

-2a-10b12

【答案】C

【解析】

31

【分析】本题主要考查了根据数轴判断式子的正负，根据数轴可知：-<b<\,则">6,

2211

3Q

a-h<0,故A,选项错误，B选项错误，由-2<。<一:可得出4>/>->2可判断C,由不等式的性

24

质可判断D.

31

【详解】解：根据数轴可知：二，<b<\,

22

则,a-b<0,故A选项错误,B选项错误，

-2<a,

2

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.-.2>|a|>|,

，9、

：A>a->->2,故选项C正确.

4

,31,,

-2<a<—,—<n<1,

22

13IHl

.\-1<-a<--,-<--b<-

24224

b,,,一…

r故口选项错误，

2

故选：c

8.一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象，关于心F的二元一次方程

打-八二,的图象是一条直线，这条直线记作直线m-卜=。.若关于心F的二元一次方程

n+bx=c,mv+n-.=1的解的情况分别如表1、表2所示:

表1

X-3-2-1012

y765432

表2

X-3-2-1012

y-101234

则直线M:(与直线M1+nv=*的交点坐标为()

A.|0,4)B,(-2,6)c.(L3)D.(2,4)

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查了两直线的交点与二元一次方程的解，通过观察两个方程的解表，寻找同时满足两

个方程的公共解，即为两直线的交点坐标.

【详解】解：对比两表数据，当x=l时，表1中)=3,表2中1=3,满足两个方程.

其他选项的坐标在表中均不满足同时对应相同的y值.

故直线"M=<,与直线MI+=*的交点坐标为(L3|

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故选：c

二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分）

9.科技小组的同学们为了研究近年来北京市科技创新的情况，查阅了2019-2023年北京市专利授权量的数

据，并绘制了趋势图，由此对2024年北京市专利授权量做出了预测.他们的预测值可能是千

件（结果保留整数）.

专利授权量/千件

2018201920202021202220232024年份

【答案】120

【解析】

【分析】本题考查统计图的应用，根据趋势图可直接得出答案.

【详解】解：由图可知，2024年对应的专利授权量为120千件，

故答案为：120.

10.若方程八-5=x+1的解满足方程卜-丫=-9,贝□•的值是.

【答案】15

【解析】

【分析】本题考查二元一次方程的解，先求出一元一次方程-5=x+1的解，代入b-丫=-9,解方程

即可.

【详解】解：解方程3x-5=x+l,得：X=3,

将x=3代入b-F=-9,得：2x3-।=-9,

解得「=15,

故答案为：15.

11.在一次有奖竞答的活动中，组织者对每位选手的答题情况进行统计，小强和小亮的答题情况如图1所示.

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题数小亮答题情况

■答对□答错或不答

图1

(1)小亮答对的题数为;

(2)若用扇形图表示小亮答对题数、答错或不答题数的占比情况，则“答对”所在扇形的圆心角是

【答案】①.12②.216°

【解析】

【分析】此题考查而来条形统计图和扇形统计图的信息关联，读懂题意是关键.

(1)根据小强答题总数减去小亮打错或不答的题数即可得到答案；

(2)利用360°乘以“答对”的占比即可得到答案.

【详解】⑴解：由图1可知，小亮答对的题数为15+5-8=12,

故答案为：12

12

(2)360°x—=216°,

20

故答案为：216°

x=2

12.已知｛，是关于x,y的二元一次方程+”2।-的解，则代数式4加-6"*2()的值为____________

lr=3

【答案】44

【解析】

【分析】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值，整体代入的思想是解题的关键.

把x,y的值代入方程即可求出机与“的关系式，然后再整体代入计算即可.

x=2

【详解】解：根据题意，把1,代入门+h=12得，2m-=12,

3=3

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4m•6«♦2()

=2(2/n+3")+20

=2x12+20

=44.

故答案为:44.

13.若关于K的方程5x+2=&-4K的解大于2且小于4,贝心的整数值为.

【答案】5

【解析】

【分析】本题考查了解一兀一次方程，解不等式.

先求出x关于左的解，再根据“解大于2且小于4”求出发的取值范围，最后找出A的整数值即可.

【详解】解：5i+2=i♦4.r,

/.x=k-2,

••・关于x的方程5x+2=i-4.v的解大于2且小于4,

2<i-2<4,

4<i<6,

的整数值为5,

故答案为：5.

14.已知2：<5<3:,2.2:<5<2,3\2.23:<5<2.24：,2.236：<5<2,237:,则75的近似值是

(精确到().01).

【答案】2.24

【解析】

【分析】本题考查了无理数的估算，根据题干所给数据作答即可.

【详解】解：：2.236,<542.237,，

2.236<V5<2.237,

Ax/5«2.24,

故答案为：2.24.

15.小红购买了2个白色的兔爷泥塑模型和1个白色的京剧脸谱面具，准备涂色后送给喜欢传统文化的母亲.

小红涂色时间少于7小时，且涂色1个脸谱面具比1个兔爷模型时间少0.5小时，设涂色1个兔爷模型需、

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小时.依据题意所列的关于X的不等式为，'的取值范围是

【答案】0.2.r+（.v-0.5（<7©.0.5<i<2.5

【解析】

【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，理解题意，准确找出题中的不等关系是解题的关键，设涂

色1个兔爷模型需x小时，则涂色1个脸谱面具需（x0.5）小时，根据题意涂色时间少于7小时，即可列

出不等式，解不等式即可得到x的取值范围.

【详解】解：设涂色1个兔爷模型需、小时，则涂色1个脸谱面具需lxS5）小时，

由题可得:2x+（x-0.5|<7,

解不等式得：X<2.5,

•・・脸谱面具的涂色时间不能为负数，

.,.I-0,5>0,

解得：工20.5,

.,.0,5<x<2,5,

故答案为：2.r+|.r-0.5|<7.0.5<.r<2,5.

16.在平面直角坐标系xOr中，己知点川2,0|.B\1,2）,C|l,4：l.点尸是线段8c上一动点，以O,A,

尸为顶点的三角形的面积记作.

（1）（填“存在”或“不存在”）一点P,使得s=i；

（2）将线段8c向下平移t个单位长度，若存在一点P,使得S=1,则t的最大值是

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【答案】(1)不存在；

(2)5.

【解析】

【分析】本题主要考查平面直角坐标系中三角形面积的计算，点到直线距离，平移变换等知识点，掌握这

些知识点和数形结合是解题的关键.

(1)以04为底计算三角形面积，即可求得尸点到0.4是距离，根据题意和图即可判断；

(2)根据平移性质和图象数形结合即可.

【小问1详解】

解：设P点到0.4的距离为//,

则S=10A-h=\,

2

由题意知0.4=2,所以4=1,

又因为点P是线段8C上一动点，力不可能为1,

所以不存在一点P,使得S=l；

故答案为：不存在；

【小问2详解】

由(1)知，只要方=1,则S=1,

又因为C(l,4|,

所以由图可知，将线段8C向下平移r个单位长度，若存在一点P,使得S=l,则r的最大值是5.

故答案为：5.

三、解答题(共68分，第17题7分，第18题5分，第19题6分，第20-25题，每题5分，

第26题6分，第27-28题，每题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17.计算：

⑴2近+卜-8|；

【答案】(DJVF-।

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【解析】

【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握相关运算法则即可；

(1)利用实数的混合运算法则即可求解；

(2)利用实数的混合运算法则即可求解；

【小问1详解】

解：原式=.6]

=3氏I

【小问2详解】

解：原式=2-3+—

5

=­

2

18.解方程组：

2x-3y=-2

【答案】\2

,v=I

【解析】

【分析】本题考查了解二元一次方程组.利用代入消元法解方程组即可.

2x-3y=-2②

把①代入②，得—3)=-2,解得3'=1.

把).=1代入①，解得x=],

所以，原方程组的解是--5.

y=I

5x+2>3x-3

19.解不等式组-5、5x+l,并将解集表示在数轴上.

——+2>-

46

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【答案】，数轴见解析

【解析】

【分析】本题考查解一元一次不等式组，分别求出两个不等式的解集，再求出公共部分，最后在数轴上表

示出来即可.

'5x+2>3x-3①

【详解】解：，K-5+2N5X+】②

由①，得2x>5,

解得x>一,.

由②，得3(x51+2422(5x+1|,

解得

所以，原不等式组的解集是.

在数轴上表示：

—I__IJ111J___III__I

-4-3-2-1012345

20.完成下面的证明.

如图，点儿5,C,0在同一条直线上，C£与交于点G,ZJ=ZI,C£DF.

证明：•：N4=ZI,

AE〃()(填推理的依据).

Z2=.

C£,'/DF,

；.Z2=()(填推理的依据).

ZF=ZF.

【答案】Z/；同位角相等，两直线平行；ZE-,ZF；两直线平行，内错角相等.

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【解析】

【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质即可完成证明.

【详解】解：证明：

..<BF(同位角相等，两直线平行).

Z2=ZE.

vC£DF,

Z2=ZF(两直线平行，内错角相等).

故答案为：//•；同位角相等，两直线平行；/E；NF；两直线平行，内错角相等.

21.如图，ZJ5C=45°,点。在边8月上，过点。作直线。E，AB，交8c于点尸，DG平分/8DE

(1)求证：DGBC；

(2)求/CFD的度数.

【答案】(1)见解析(2)135c

【解析】

【分析】此题考查了平行线的判定、三角形外角的性质等知识，熟练掌握平行线的判定是关键.

(1)证明//8C=/80G,根据内错角相等两直线平行即可得到结论；

(2)根据三角形外角的性质即可得到NCF。的度数.

【小问1详解】

解：'：DE1AB,

：.ZBDE=ZBDF=90°,

VDG平分/BDE.

ABDG=，EDG=-ZBDE=45°,

2

­-ABC=45°,

AZ=£BDG，

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；.DGBC；

【小问2详解】

-：/BDF=90°,ZABC=45°,

：.ZCFD=ZBDF+Z.ABC=90o+45°=135°

22./如图，M/MON=60。，点P在边。M上，且不与点。重合.按要求补全图形，并回答问题:

ON

(1)过点P画直线"ON；

(2)点A(异于点P)在(1)中所画的直线上，则的度数是；

(3)在(2)的条件下，以点。为原点，直线。、为工轴建立平面直角坐标系.若点P的坐标为

且点A与点P的距离为4,则点A的坐标为

【答案】(1)见解析(2)60。或20°

(3)卜3,9或(5,9

【解析】

【分析】本题考查作图一复杂作图、坐标与图形性质、平行线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用

所学知识解决问题.

(1)结合平行线的性质画图即可.

(2)当点A在点P的左侧时，可得N.JPO==60°；当点A在点尸的右侧时，可得

/.APO=180°ZA/O.V=120c,进而可得答案.

(3)当点A在点P的左侧时，可得点A的坐标为(1-4、万)，即!-3,、万)；当点A在点P的右侧时，可

得点A的坐标为11+4,G),即进而可得答案.

【小问1详解】

解：如图，直线/即为所求.

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■M

J,［小问2详解］

ON

解：当点A在点P的左侧时，

•.•直线〃，ON,

：.£APO=/MOA=60。；

当点A在点尸的右侧时，

•.•直线/〃ON,

：.ZAPO=180°ZA/ON=120°.

综上所述，N4P。的度数是60。或120°.

故答案为：60c或120c.

【小问3详解】

解：当点A在点P的左侧时，

..,点尸的坐标为［1,出')，点A与点尸的距离为4,

...点A的坐标为U-4,,即！

当点A在点尸的右侧时，

..,点尸的坐标为11，6),点A与点尸的距离为4,

点A的坐标为(1+4,6),即

综上所述，点A的坐标为卜3,6］或［5,6］.

故答案为：卜3,6)或卜，折

23.如图，每个小正方形的边长均为1,网格线的交点叫作格点，三角形.』8C的顶点都是格点.将三角形

』8c先向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后得到三角形118c.

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(1)画出三角形人8C,；

(2)写出所有与相等的角;

(3)求三角形小8c的面积.

【答案】（1）见解析（2）/60，NBAC

(3)5

【解析】

【分析】本题主要考查了平移作图，平移的性质，平行线的性质，网格中求三角形面积，正确画出对应的

图形是解题的关键.

（1）根据所给平移方式确定4、B：G的位置，描出4、4、G，并顺次连接4、4、£即可;

(2)由平移的性质可得/c〃4q.再由平行线的性质即可得到答案;

(3)利用割补法求解即可.

【小问1详解】

解：如图所示，△x'3即为所求;

【小问2详解】

解；由平移的性质可得KC〃4G，AB//A.B,,

：.ZC4.C,=Z4C4.ABAC=Z4.C4;

与幺C4相等角有NJG，NB4C；

第16页/共27页

【小问3详解】

解：S.、&H(=5x5-2xl-—xlx3-—x5x5-—x2x4=5.

川十•二B।227

24.已知.J3/+3X,8=31+2x+3比较A与8的大小，并说明理由.

【答案】x>3时，.4>8；x=3时，,4=8；*<3时,4<8；理由见解析

【解析】

【分析】本题主要考查了整式的加减运算及比较大小，熟练掌握运算法则是解题关键.

用作差法比较A与B的大小，先计算X-8并化简，得到.4-8=x-3,再根据K-3与。的大小关系（分

K〉3、x=3、x<3三种情况），判断A与8的大小.

【详解】解：,4-83,v+3,v-|3.t;+2x+3|=.t-3；

当x>3时，i-3>0

：48>0,即,4>8；

当x=3时，x-3=0

/..48=0,即，=8；

当K<3时，I-3<0

」B<0,即.」<8.

25.某校七年级1班数学小组在“低碳生活”实践活动中，了解到每个人的日常消费都会产生二氧化碳排放.

为了解同学们家庭的碳排放情况，该小组随机抽取了该校部分七年级学生家庭，收集了这些家庭2024年的

人均碳排放量的数据，并对数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.

。.抽取的七年级学生家庭2024年的人均碳排放量的数据的频数分布表如下：

百分

年人均碳排放量'/吨频数

比

2.5<I<2,848%

2.8<.v<3.l7n

3.1<x<3.4918%

3.44x<3.7Hl24%

3.7<x<4,01020%

第17页/共27页

4.0<x<4.3612%

4.3<I<4,624%

b.抽取的七年级学生家庭2024年的人均碳排放量的数据在2.84K<3.I这一组的是:

2.82.82.92.93.03.03.0

c.抽取的七年级学生家庭2024年的人均碳排放量的数据的频数分布直方图如下:

频数(人数)

2

1

0

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

2.52.83.13.43.74.04.34.6年人均碳排放量/吨

根据以上信息，回答下列问题：

(1)这里采用的调查方式是(填“全面调查”或“抽样调查”)；

(2)填空：，〃=,"=,并把频数分布直方图补充完整；

(3)估计该校七年级700个学生家庭中，2024年的人均碳排量不超过3吨的家庭大约有多少户?

【答案】(1)抽样调查

(2)12.14%,频数分布直方图见解析

(3)154

【解析】

【分析】本题考查了频数分布表和频数分布直方图，旨在考查学生的数据处理能力.

(1)由题意即可求解；

(2)计算出总人数即可求解；

(3)计算出样本中人均碳排量不超过3吨的家庭级所占比例即可求解.

【小问1详解】

解：解：由题意得：采用的调查方式是抽样调查；

故答案为：抽样调查

【小问2详解】

解：总人数为：4-0(人)，

第18页/共27页

：.m=50x24%=12,n=—xlOO%=14%；

故答案为：12,14%；

小频数（人数）

2

1

0

9

8

7

6

5【小问3详解】

4

3

2

1

0

4+7

解：—x700=154(户).

答：估计该校七年级700个学生家庭中，2024年的人均碳排放量不超过3吨的家庭大约有154户.

26.为庆祝3月14日“国际数学日”，某校七年级策划了“漫画数学”活动，并设置了创意和青苗两个奖

项，以获奖作品作为图案向某店铺定制纪念册与环保袋，其中纪念册作为创意奖奖品，环保袋作为青苗奖

奖品.已知定制3本纪念册和5个环保袋，共需支付55元；定制5本纪念册和10个环保袋，共需支付100

元.

(1)该店铺的纪念册和环保袋单价分别是多少元？

(2)为了吸引顾客，该店铺推出了优惠方案：消费满1000元，一律打九折.七年级计划发放200个奖品,

其中纪念册不少于64本，总费用不超过1200元，有哪几种定制方案？说明理由.

【答案】(1)店铺的纪念册每本10元，环保袋每个5元

(2)三种定制方案，理由见解析

【解析】

【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，理解题意，正确求解是解答的关键.

(1)设该店铺的纪念册每本x元，环保袋每个y元，根据题意正确列出方程组，然后求解即可；

(2)设定制纪念册根本，则定制环保袋1200-〃”个，依题意可判断总费用超过1000元.根据题意列出

2002

不等式求得＜—=66~,结合已知条件求解即可得出方案.

【小问1详解】

解：设该店铺的纪念册每本x元，环保袋每个y元.

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3x+5y=55

根据题意，得,

5x+10v=100

解得仁；

答：该店铺的纪念册每本10元，环保袋每个5元；

【小问2详解】

解:设定制纪念册芯本,则定制环保袋（200-刈个,其中644m<200.

依题意,当m=64时，总费用为64xl0+（200-64）x5=1320>1000,

即可判断总费用超过1000元.

根据题意，得0.9口0也+5（200-加）]41200.

2002

解得旭4竺=66±.

33

•••m264且为整数,

・'•m=64,65,66,

有三种定制方案：

方案1：纪念册64本，环保袋136个，总费用为0.9x（64x10+136x51=1188（元）；

方案2：纪念册65本，环保袋135个，总费用为0.9x（65x10+135x5]=1192.5（元）；

方案3：纪念册66本，环保袋134个，总费用为0.9x166x10+134x51=1197（元）.

27.在四边形4BC0中,BC//AD,8P平分8c交,4。于点P,延长P8,DC交于点0.点E为

线段48上的动点，连接PE，过点尸作尸F1PE交00于点b.

①依题意补全图；

②若乙48c=120°,则/DPF=

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(2)当点E运动到某个位置时，恰好使得户F工0D.

①猜想PE与。。的位置关系，并证明；

②B”平分NABP交PE于点〃.用等式表示/BHE,/0的数量关系，并证明.

【答案】(1)①补图见解析；②0

(2)①PE//0D,证明见解析；②NBHE=g/APB-ND,证明见解析

【解析】

【分析】()①根据题意补全图形即可；②由角平分线的定义得=8c=60。，由平行线的性

质得N8PD=180°-ZCSP=120°,进而根据角的和差即可求解；

(2)①由垂直可得/户FD=NEPF=90、进而根据平行线的判定即可求证；②由角平分线的定义和平

行线的性质可得乙48P=NHPB,即得/28，=!乙48?=1//尸8,由根据平行线的性质可得

SPE=/D,即得=/HBP-HPE=乙4尸8-/0,再根据三角形的外角性质即可求证；

本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形外角性质等，掌握以上知识点是解题的关键.

【小问1详解】

解：①补图如下：

②:8户平分/48C,/.ABC=120°,

：.ZCBP=-ZABC=60°,

2

BC4AD,

:"BPD=180°-ZCBP=180°-60°=120°,

vPFiPE,

：.LBPF=90c,

;"DPF=NBPD"BPF=120°-90°=30°,

故答案为：30；

【小问2详解】

解：①PE<0D.

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证明：如图，,/PFLOD,PF1PE,

：.NPFD=NEPF=90°,

/.PE<OD；

证明：•?8尸平分/ABC,

"4BP="BP,

,ZBCHAD,

：.ZAPB="BP,

：.AABP=/APB,

VBH平分/H8P,

：.ZPBH=-ZABP=-ZAPB,

22

♦:PE<OD,

"APE=ZD,

AZBPH=Z.45P-APE=£APB-£D,

：.NBHE=NBPH+ZPBH=ZAPB-ND+-ZAPB=-Z.APB-ZD,

22

即=|ZJPS-ZD.

28.在平面直角坐标系xO.「中，对于点P和长度为。的线段MN给出如下定义：若线段MN平行于、轴（或

与x轴重合），则将线段向下平移。个单位长度，得到线段M\'；若线段MN平行于J'轴（或与「轴

重合），则将线段向右平移a个单位长度，得到线段若点尸在以“，N,M'，为顶点的正

方形的边上，则称点P是线段WA'的“方田点”.

己知点A的坐标为（L1）,点B的坐标为|1,1）.

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歹八

4-4-

3-3'

2■2-

1'1-

-4-3-2-'lO~—।—।—।—।-----

1234%-4-3-2-101234%

-1■-1-

-2--2-

-3­-3­

-4--4-

备用图

(1)在P/-L-21这四个点中,是线段18的“方田点

(2)点C、g),D(m+2,1|,若线段上存在线段48“方田点”，则〃，的取值范围是.

(3)

(3)点/"/J-]J,点P是线段X8的“方田点”，将点P向下平移个单位长度，得到点。.若

线段GH的“方田点”都是线段底的“方田点”，直接写出的取值范围.

【答案】⑴P,P、

(2)-3<m<I

(3)-1W/4—或

22

【解析】

【分析】本题考查了新定义、坐标与图形变化一平移、一元一次方程的应用，理解线段的“方田点”的定

义，运用数形结合思想是解题的关键.

(1)由题意得，X8=2,轴，将线段48向下平移2个单位长度得到线段，8',在坐标系中画出

图形，再根据线段48的“方田点”的定义即可得出结论；

(2)结合点(’和点。的坐标可得，点(.在直线卜=：上，点。在直线.「=1上，根据线段CO上存在线段

AB的“方田点”，得到线段C。与正方形有交点，再结合图形对线段CO的位置进行分析即可求

解；

(3)由题意得，G〃=1,GH"丫轴，将线段GH向右平移g个单位长度得到线段G7/'；再根据题意

分析出线段展的“方田点”所在的区域，记此时的区域为区域A7,根据线段GH的“方田点”都是线段

展的“方田点”，得到正方形GH/7'G'的边都落在区域再结合图形对正方形的位置进行分

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析即可求解.

【小问1详解】

解：•..点A的坐标为（L1）,点B的坐标为（1,11,

AB=2,.48K轴，

由题意得，将线段48向下平移2个单位长度得到线段，8',

.♦.川1,1）,1,-1）,

画图如下：

九

4-

3'

1

Pl

\o

尸4・-2■

-3-

-4-

由图可知，点6（0,11和4（1,0）是线段X8的“方田点”；

故答案为：p,P）;

【小问2详解】

解：,点D[ni+2A\,

点（'在直线卜=：上，点。在直线）二i上，

线段C0介于直线.£=；和直线1=1之间，

当点。恰好落在点8上，贝！I加+2=,1,解得M=3,

当点。恰好落在点A上，则nt+2=1,解得"1=-1,

当点C恰好落在线段88'上，则，"=I,

当点C恰好落在线段dT上，则加=I,

由图可得，当-34加41时，线段C。与正方形有交点，

若线段CD上存在线段.48的“方田点”，则，〃的取值范围是3<m<l；

故答案为：34加4I；

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4

3

8(理A(D2)D3

->【小问3详解】

-4-3-2-\On234X

T，

-2

-3

-4

(3'

解：：点G|//l,

GH=^,GH：,i轴，

由题意得，将线段GH向右平移1个单位长度得到线段G7/

；