111　随机事件与古典概型

11.1随机事件与古典概型考情清单考点清单题型清单目录考点1随机事件的概率考点2古典概型题型一古典概型概率的求法题型二求复杂的互斥事件的概率考点20—24年考频真题示例考向核心素养随机事件的概率1考2020北京,18随机事件的概率数学运算古典概型3考2024北京,18(1)2023北京,182022北京,18(1)古典概型数学运算数据分析离散型随机变量及

其分布列、均值与方差3考2024北京,18(2)2022北京,18(2)离散型随机变量的

数学期望数学运算2021北京,18离散型随机变量的

分布列数学运算数据分析条件概率、相互独

立事件及二项分布、全概率公式2考2024北京,18(3)2022北京,18(3)通过全概率公式比

较概率大小数据分析考点20—24年考频真题示例考向核心素养命题形式本专题中随机事件的概率常结合计数原理、排列与组合考查,命题形式有以互斥事

件、对立事件、独立事件等为基础计算随机事件的概率;古典概型常结合排列、组合

考查,命题形式有运用组合数、排列数公式计算古典概型的概率;离散型随机变量及其

分布列、均值与方差常结合互斥事件、对立事件、独立事件进行考查,命题形式有以

两点分布、二项分布、超几何分布为基础计算随机变量的分布列、均值与方差,有时

命题形式还有用方差进行决策.考点1随机事件的概率1.样本空间关键词含义样本点随机试验E的每个可能的基本结果,常用ω表示样本空间全体样本点的集合,常用Ω表示有限样本空间如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称

样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为有限样本空间2.随机事件关键词含义随机事件样本空间Ω的子集,常用大写字母A,B,C,…表示基本事件只包含一个样本点的事件必然事件每次试验一定发生的事件不可能事件每次试验一定不发生的事件对立事件若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事

件A与事件B为对立事件,事件B可用

表示3.两个事件的关系和运算事件的关系和运算含义符号表示包含A发生导致B发生A⊆B相等B⊇A且A⊇BA=B并事件(和事件)A与B至少有一个发生A∪B或A+B交事件(积事件)A与B同时发生A∩B或AB互斥(互不相容)A与B不能同时发生A∩B=⌀互为对立A与B有且仅有一个发生A∩B=⌀,A∪B=Ω4.频率和概率(1)频数与频率:在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中

事件A出现的次数nA为事件A出现的频数;事件A出现的比例fn(A)=

为事件A出现的频率.(2)概率:对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率,事件A的概率用P(A)表示.知识拓展

互斥与对立的性质1.如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B);2.如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).考点2古典概型1.古典概型的特征(1)有限性:样本空间的样本点只有有限个;(2)等可能性:每个样本点发生的可能性相等.2.计算公式P(A)=

,其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.1.判断正误.(在括号中打“√”或“✕”)(1)两个事件的和事件是指两个事件同时发生.

(

)(2)事件发生的频率与概率是相同的.

(

)(3)若A∪B是必然事件,则A与B是对立事件.(

)(4)掷一枚硬币两次,可出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”三个结果,这三个

结果是等可能事件.

(

)2.一个人打靶时连续射击两次,事件“至多有一次中靶”的互斥事件是

(

)A.至少有一次中靶

B.两次都中靶即练即清××××BC.只有一次中靶

D.两次都不中靶3.抛掷一枚骰子,记事件A为“出现的点数是奇数”,则P(A)=

.题型一古典概型概率的求法典例1

(2023海淀期末,7)某校高一年级计划举办足球比赛,采用抽签的方式把全年级6

个班分为甲、乙两组,每组3个班,则高一(1)班、高一(2)班恰好都在甲组的概率是

(

)A.

B.

C.

D.

C知识联想

本题的关键在于分组,可使用列举法得到所求事件数与样本点数,然后通过古典概型概率公式求解;也可以使用排列组合知识求事件数与样本点数,同样使用古典概型概率公式求解.解析

解法一:列举法6个班依次记为1、2、3、4、5、6班,分为甲、乙两组情况分别

为{(1,2,3),(4,5,6)},{(1,2,4),(3,5,6)},{(1,2,5),(3,4,6)},{(1,2,6),(3,4,5)},{(1,3,4),(2,5,6)},{(1,

3,5),(2,4,6)},{(1,3,6),(2,4,5)},{(1,4,5),(2,3,6)},{(1,4,6),(2,3,5)},{(1,5,6),(2,3,4)},{(4,5,6),

(1,2,3)},{(3,5,6),(1,2,4)},{(3,4,6),(1,2,5)},{(3,4,5),(1,2,6)},{(2,5,6),(1,3,4)},{(2,4,6),(1,3,

5)},{(2,4,5),(1,3,6)},{(2,3,6),(1,4,5)},{(2,3,5),(1,4,6)},{(2,3,4),(1,5,6)},共20种,其中高一

(1)班、高一(2)班恰好都在甲组的有{(1,2,3),(4,5,6)},{(1,2,4),(3,5,6)},{(1,2,5),(3,4,6)},

{(1,2,6),(3,4,5)},共4种,所以所求概率为

=

.故选C.解法二:用排列、组合知识计算把全年级6个班分为甲、乙两组共有

=20种方法,高一(1)班、高一(2)班恰好都在甲组共有

=4种方法,所以高一(1)班、高一(2)班恰好都在甲组的概率是

=

,故选C.方法总结

1.求解古典概型概率的“四步”法2.样本点个数的确定方法(1)列举法:此法适用于样本点较少的古典概型.(2)列表法:此法适用于从多个元素中选定两个元素的试验,也可看成坐标法.(3)画树状图法:此法适用于有顺序的问题及较复杂问题中样本点个数的探求.(4)运用排列、组合知识计算.变式训练1-1

(设问条件变式)(2022新高考Ⅰ,5,5分)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为

(

)A.

B.

C.

D.

D解析

解法一:直接法从7个整数中随机取2个不同的数共有

=21种取法.

如图,所取的2个数互质的取法有3+4+2+3+1+1=14种,所以这2个数互质的概率为

=

.解法二:间接法从7个数中任取2个数共有

=21种取法,2个数不互质的情况有两种:①从4个偶数中任取2个,有

=6种取法;②从偶数和奇数中各取一个,有1种取法,所以2个数不互质的取法有7种,所以取2个数互质的概率为1-

=

,故选D.变式训练1-2

(情境模型变式)

(2022全国甲文,6,5分)从分别写有1,2,3,4,5,6的6中无放回随机抽取2张,则抽到的2上的数字之积是4的倍数的概率为

(

)A.

B.

C.

D.

C解析

依题意知,总的基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),

(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15个.其中符合数字之积是4的倍数的基本事件有6个,故所

求概率P=

=

.故选C.题型二求复杂的互斥事件的概率典例2

从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中

至少有1名女同学的概率①是

.知识联想

由

想到“至少”(或“至多”)问题,通常可采用直接法与间接法两种方法求解.解析

解法一:直接法设选出的2名同学中有1名女同学、2名女同学、至少1名女同学

分别为事件A、B、C,从3名男同学和2名女同学中任选2名同学有

=10种选法,其中2名同学中有1名女同学有

·

=6种选法,2名同学都是女同学有

=1种选法,所以P(C)=P(A)+P(B)=

+

=

.解法二:间接法从3名男同学和2名女同学中任选2名同学共有

=10种选法,其中选出的2名同学都是男同学的选法有

=3种,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率P=1-

=

.方法总结1.直接法:将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率之和,运用互斥事件概率的求和公式计算.2.间接法:先求此事件的对立事件的概率,再用公式P(A)=1-P(

)求,即运用逆向思维(正难则反),特别是“至少”“至多”问题,用间接法求解较简便.变式训练2-1

(设问条件变式)

(2024东城二模,6)袋中有5个大小相同的小球,其中3个白球,2个黑球.从袋中随机摸出1个小球,观察颜色后放回,同时放入一个与其颜色大小相同的小球,然后再从袋中随机摸出1个小球,则两次摸到的小球颜色不同的概率为

(

)A.

B.

C.

D.

B解析

第一次摸到白球第二次摸到黑球的概率P1=

×

=

,第一次摸到黑球第二次摸到白球的概率P2=

×

=

,所以两次摸到的小球颜色不同的概率P=P1+P2=

+

=

,故选B.变式训练2-2

(情景模型变式)(2023首都师大附中2月考试,6)投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼制和宴饮游戏,晋代在广泛开展投壶活动时,对投壶的壶也有所改进,即在壶口两旁增添两耳,因此在投壶的花式上就多了目,如“贯耳(投入壶耳)”.每一局投壶,每一位参赛者各有四支箭,投入壶口一次得1分,投入壶耳一次得2分,现有甲、乙两人进行投壶比赛(两人投中壶口、壶耳是相互独立的),甲四支箭已投完,共得3分,乙投完2支箭,目前只得1分,乙投中壶口的概率为

,投中壶耳的概率为

.四支箭投完,以得分多者赢,则乙赢得这局比赛的概率为

(

)A.

B.

C