实际问题与一次函数第3课时利用一次函数解决含多个变量的方案问题课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十二章一次函数23.4实际问题与一次函数第3课时利用一次函数解决含多个变量的方案问题目录1.学习目标4.知识点

利用一次函数解决含多个变量的方案问题5.课堂小结2.知识回顾6.当堂小练CONTENTS8.拓展与延伸3.新课导入7.对接中考能从实际问题中提取关键信息，建立一次函数模型，通过分析函数的变化规律，找到最省钱、最合理的实际方案，提升用数学解决生活问题的能力.学习目标知识回顾一次函数的定义

一次函数的性质1.当k＞0时，直线y=kx＋b由左到右逐渐上升，y随x的增大而增大.①

b>0时，直线经过第一、二、三象限；②b<0时，直线经过第一、三、四象限.2.当k＜0时，直线y=kx＋b由左到右逐渐下降，y随x的增大而减小.①

b>0时，直线经过第一、二、四象限；②b<0时，直线经过第二、三、四象限.新课导入

学校要组织234名学生和6名教师一起去参加实践活动，现在有两种车可以选——甲种车能坐45人，租金400元；乙种车能坐30人，租金280元.

而且要求每辆车上至少有1名老师，总费用还不能超过2300元.大家想想，这种既要算人数、又要控预算的问题，我们该怎么一步步规划出最省钱的方案呢？今天这节课，我们就来学习如何用一次函数的知识，解决这类生活里最常见的

“最优方案”

问题.探究新课讲解知识点利用一次函数解决含多个变量的方案问题探究租车方案有哪几种？解：①单独租用甲种客车；②单独租用乙种客车；③同时租用甲种客车和乙种客车.如果甲、乙都租，你能确定合租车辆的范围吗？

思考1思考2某学校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少有1名教师．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示：甲种客车乙种客车载客量（人/辆）4530租金（元/辆）400280新课讲解探究请给出最节省费用的租车方案.

思考3某学校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少有1名教师．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示：甲种客车乙种客车载客量（人/辆）4530租金（元/辆）400280分析：从人数上：6名教师和234名学生共计240人，所以甲种客车和乙种客车总共的载客量要≥240.从费用上：学校计划的费用是2300元，所以甲种客车和乙种客车总共的费用要≤2300.新课讲解由y=120x+1680(x=4或5)，可以看出函数值y随着自变量x的增大而增大.因为5>4，所以当x=4时，费用更少.可通过一次函数的性质来判断选择最佳方案实际上是在比较的基础上完成的，在没有学习函数之前，一般是将全部方案一一列举出来，然后根据题意选择一个最佳方案；学习函数之后，我们可以利用函数的性质，直接求出最佳方案.新课讲解解决含有多个变量的问题的方法解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型.归纳用一次函数选择最佳方案的一般步骤1.析：分析题意，弄清数量关系.2.列：列出函数解析式、不等式或方程.3.求：求出自变量取不同值对应的函数值的大小，或函数的最大（小）值.4.选：结合实际需要选择最佳方案.新课讲解例1.某商场计划购进两种服装共100件，甲种服装进价为160元/件，售价为(220－a)元/件；乙种服装进价为(124－a)元/件，售价为160元/件.设购进甲种服装x

件，两种服装全部售完，商场获得最大利润为4950元，则a的值为_____(其中0<a<20且a≠12，60≤x≤75)．9解：购进甲种服装x件，则购进乙种服装(100－x)件，设商场获得的利润为y元.由题意，得：y＝(220－a－160)x＋(160－124＋a)(100－x)，整理，得y＝(24－2a)x＋3600＋100a.∵0＜a＜20且a≠12，60≤x≤75，∴当24－2a＜0，即12＜a＜20时，y随x的增大而减小，当x＝60时，商场获得最大利润，即60(24－2a)＋3600＋100a＝4950，解得a＝4.5(舍去).当24－2a＞0，即0＜a＜12时，y随x的增大而增大，当x＝75时，商场获得最大利润，即75(24－2a)＋3600＋100a＝4950，解得a＝9.新课讲解例2.某商店销售12台A型和5台B型空调的利润为1950元，销售8台A型和10台B型空调的利润为2300元．(1)求每台A型空调和B型空调的销售利润．(2)该商店计划一次购进两种型号的空调共99台，其中B型空调的进货量不超过

A型空调的2倍，设购进A型空调x台，这99台空调的销售总利润为y元，则该商店购进A型、B型空调各多少台时销售总利润最大？最大利润为多少元？(2)由题意，得y＝100x＋150(99－x)＝－50x＋14850.∵99－x≤2x，∴

x≥33.∵

－50<0，∴

y随x的增大而减小，∴当x＝33时，y最大＝－50×33＋14850＝13200，99－x＝66.答：该商店购进33台A型空调和66台B型空调时销售总利润最大，最大利润为13200元．

新课讲解例2.某商店销售12台A型和5台B型空调的利润为1950元，销售8台A型和10台B型空调的利润为2300元．(1)求每台A型空调和B型空调的销售利润．每台A型空调的销售利润是100元，每台B型空调的销售利润是150元(3)实际进货时，厂家对A型空调出厂价下调m(50<m<90)元，且限定商店最多可购进A型空调66台，若商店保持同种空调的售价不变，请你根据以上信息及(2)中条件，设计出使这99台空调销售总利润最大的进货方案．解：由题意，得y＝(100＋m)x＋150(99－x)＝(m－50)x＋14850.∵当50<m<90时，m－50>0，∴y随x的增大而增大．∵33≤x≤66，∴当x＝66时，y取得最大值，99－x＝33.∴商店购进66台A型空调和33台B型空调的销售总利润最大.新课讲解练一练1.某校积极筹备“阳光体育”活动，决定购买一批篮球和足球共30个．在某体育用品店，每个篮球80元，每个足球60元，在该校购买期间，足球打八折促销．设该校要购买m(0＜m＜30)个篮球，购买篮球和足球的总费用为w元．(1)w与m之间的函数解析式为______________；(2)若该校要求购买篮球的个数不得少于足球的2倍，则当学校购买_____个篮球时总费用最少，w的最小值为________．w＝32m＋1440202080解：(1)根据题意可得w＝80m＋0.8×60(30－m)＝80m＋48(30－m)＝80m＋1440－48m＝32m＋1440，即w与m之间的函数解析式为w＝32m＋1440.(2)由题意得m≥2(30－m)，解得m≥20.对于w＝32m＋1440，∵k＝32＞0，∴w随着m的增大而增大．∴当m＝20时，w有最小值，此时w＝32×20＋1440＝2080，即当学校购买20个篮球时总费用最少，w的最小值为2080.新课讲解练一练

新课讲解练一练

需考虑实际问题中的自变量的取值范围课堂小结根据函数最值选择最佳方案(1)利用不等式（组）确定自变量的取值范围；(2)根据函数的增减性，在自变量取值范围内，确定符合实际问题的函数的最值及相应的自变量的值.当堂小练1.某文具店购进A，B两种型号的计算器进行销售，其进价与售价如下表所示.为了满足市场需求，第二季度文具店计划用不超过2000元的资金采购这两种计算器共100台.若所采购的计算器能全部售出，给出利润最大的进货方案，并求出最大利润是多少.型号进价/元售价/元A2232B1925

当堂小练2.已知甲仓库有生活物资100t，乙仓库有生活物资80t.现要把这些生活物资全部运往A，B两地，A地需生活物资70t，B地需生活物资110t，两仓库到A，B两地的路程和运费如下：设甲仓库运往A地的生活物资为xt(x为整数)，总运费为y元.(1)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围.(2)若要使总运费不超过37160元，则有几种运送生活物资的方案？哪种运送方案总运费最少？最少是多少元？解：(1)∵甲仓库运往A地的生活物资为xt，∴甲仓库运往B地的生活物资为(100-x)t；乙仓库运往A地的生活物资为(70-x)t；乙仓库运往B地的生活物资为80-(70-x)=(10+x)t.运输总费用为：y=12×20x+10×25(100-x)+12×15(70-x)+8×20(10+x)=-30x+39200.∵70-x≥0，x≥0，100-x≥0，∴0≤x≤70.因此，y关于x的函数解析式为y=-30x+39200(0≤x≤70).当堂小练2.已知甲仓库有生活物资100t，乙仓库有生活物资80t.现要把这些生活物资全部运往A，B两地，A地需生活物资70t，B地需生活物资110t，两仓库到A，B两地的路程和运费如下：设甲仓库运往A地的生活物资为xt(x为整数)，总运费为y元.(1)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围.

y=-30x+39200(0≤x≤70).(2)若要使总运费不超过37160元，则有几种运送生活物资的方案？哪种运送方案总运费最少？最少是多少元？解：(2)根据题意，得-30x+39

200≤37 160，解得x≥68.∵0≤x≤70，∴68≤x≤70.∵x为整数，∴x=68或69或70，故有三种运送方案.∵-30<0，∴y随x的增大而减小，∴当x=70时，y有最小值.∴当甲仓库运往A地的生活物资为70t，运往B地的生活物质为30t，乙仓库运往A地的生活物资为0t，运往B地的生活物质为80t时，总运费最少，最少为-30×70+39200=37100(元).当堂小练3.某辣椒批发商销售A，B两种不同品种的辣椒共80箱，进价和售价如表所示．设该辣椒批发商采购了A种辣椒x箱，销售完所有辣椒获得的总利润为y元．(1)求y与x之间的函数解析式．(2)如果该批发商最多投入的成本为29000元，那么购进多少箱A种辣椒所获得的利润最大？并求出最大利润．品种进价/(元/箱)售价/(元/箱)A400480B300350解：(1)根据题意，得y＝(480－400)x＋(350－300)(80－x)＝30x＋4000，∴y与x之间的函数解析式为y＝30x＋4000.(2)根据题意，得400x＋300(80－x)≤29000，解得x≤50.∵y＝30x＋4000，30>0，∴y随x的增大而增大，∴当x＝50时，y有最大值，最大值为30×50＋4000＝5500.答：购进50箱A种辣椒所获得的利润最大，最大利润为5500元．当堂小练4.已知某酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天200元，双人间为每人每天300元．为吸引客源，促进旅游．在“十一”期间，酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个50人的旅游团在10月2日到该酒店住宿，租住了一些三人间、双人间客房(三人间、双人间均有租住)．(