线面垂直课件2025-2026学年高一数学下学期人教A版必修第二册

问题：空间中直线与平面有几种位置关系？

线面位置关系垂直

斜交ab

在平面内平行8.6.2直线与平面的垂直8.6空间直线、平面的垂直1、情境创设问题1：生活中有哪些线面垂直的例子？问题2：旗杆AB与影子BC垂直吗？B1C1ACB2、探究新知一、直线与平面垂直的定义Def1:

如果直线l与平面α内的

直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α。

任意一条垂线垂足垂面判断正误：若直线l与平面α内无数条直线都垂直，则l⊥α.若l⊥α，则直线l与平面α内任意一条直线都垂直.线面垂直

线线垂直定义错对

思考：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？经观察我们发现，过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条．点到平面的距离：

过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离．l能否在平面内找有限条直线与已知直线垂直，从而判定直线与平面垂直？一条？怎么判定直线与平面垂直？由定义判定直线与平面垂直，简便吗？思考：ll两条？2、探究新知探究线面垂直的充分条件如下三角形纸片，过顶点A翻折纸片，翻折后竖起放置桌面上（BD,CD接触桌面）问题1：折痕AD与桌面垂直吗？ADBCADBC问题2：如何折叠使得AD与桌面垂直？

当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面垂直．为什么找两条相交直线就可以？事实上，由基本事实的推论2，平面α可以看成是由两条相交直线BD，CD所唯一确定的，所以当直线AD垂直于这两条相交直线时，就能保证直线AD与α内所有直线都垂直．

ADBC2、探究新知二、直线与平面垂直的判定定理TH1:

一条直线与一个平面内的

都垂直，则该直线与此平面垂直。

两条相交直线符号语言：m⊂α，n⊂α，m∩n＝A，l⊥m，l⊥n⇒l⊥αtip：线线垂直

⇒

线面垂直随堂练习【定理辨析】1、判断：直线与平面内两条直线都垂直，则此直线垂直于该平面2、一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，这条直线垂直于这个平面吗，为什么？。答：错答：不一定如图,已知,求证:∵∴∵是两条相交直线，∴证明：在平面内作两条相交直线m，n∵

，∴

例1、求证：若两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线垂直于这个平面.教材P151例33、课堂小结“线面垂直”的重要结论(1)

过一点，有且只有一条直线和一个平面垂直；(2)

过一点，有且只有一个平面与一条直线垂直；(3)

两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也和该平面垂直。3、课堂小结“线线垂直&线面垂直的关系”直线与直线垂直直线与平面垂直判定定义思考：线线垂直的证明方式有哪些？①等腰三角形——三线合一；②菱形对角线；③圆直径所对圆周角；④勾股定理；⑤余弦定理；⑥线面垂直的定义（如直棱柱）⑦其他平面几何中涉及的垂直关系（矩形、正方形……)2、探究新知三、直线与平面所成角Def2:

平面的一条斜线和它在平面上的

所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

射影特别地，一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是

；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是

的角；直线与平面所成角θ的范围

。

直角0°0°≤θ≤90°l斜线斜足射影随堂练习【定义辨析】下列说法是否正确？1、斜线与平面所成角的范围是[0°，90°]；2、两条斜线与同一平面所成的角相等，则两斜线平行；3、当直线与平面无公共点时，直线与平面所成的角是0°答：错

斜线与平面所成角范围是（0°,90°）答：错

可能平行、相交、异面答：对

无公共点则线面平行，线面所成角为0°

练习：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）A1C1与面ABCD所成的角（2）A1C1与面BB1D1D所成的角（1）0o（2）90o练习：

如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（3）

A1C1与面BB1C1C所成的角（3）45o例4如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求直线A1B和平面A1DCB1所成的角。D1BOADA1C1CB1解：连接

交

于点,连接

设正方体的棱长为.平面又平面为斜线在平面上的射影，为和平面所成的角。在中，∴直线和平面所成的角为。一作二证三求教材P152例4

求斜线和平面所成的角的一般步骤：1．作：在斜线上选择恰当的一个点，作平面的垂线，确定垂足，连接斜足和垂足，得到斜线在平面内的射影，斜线和其射影所成的角，即为斜线和平面所成的角；2．证：证明(1)中所作出的角就是所求直线与平面所成的角；

（注：关键证明线面垂直，即证得斜线在面内的射影）3．求：通过解三角形（通常是直角三角形），求出(1)中所作的角的大小．

思考：如果AB是平面α内的任意一条不与直线AO重合的直线，那么直线PA与直线AB所成的角和直线PA与这个平面所成的角的大小关系是什么？

平面的斜线与平面内所有直线所成的角中，斜线与平面所成的角最小．

PA与直线AB所成的角大于直线PA与这个平面所成的角．PCBA外O

(2)若PA=PB=PC，则点O是AB边的_____点。中(3)若垂足都为P，则点O是△ABC的_____心。垂教材P152练习4随堂练习题型三射影问题例3

过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC，则下列结论正确的有（

）

A．线段PA，PB，PC，PO中，线段PO最短；B．若PA=PB=PC，则OA=OB=OC；C．若OA=OB=OC，则PA=PB=PC；D．若PA=PB=PC，则PA，PB，PC和平面α所成的角相等．ABCD【性质】过平面外一点，作平面的垂线段和斜线段

（1）垂线段和斜线段中，垂线段最短；

（2）若斜线段长相等，则斜线在面内的射影长相等；

（3）若斜线在面内的射影长相等，则斜线段长相等．教材P152练习4(变)随堂练习思考题3(1)三棱锥P－ABC三条侧棱两两相等，且P在面ABC上的射影是BC边的中点O，则△ABC形状为________．(2)长方体ABCD－A1B1C1D1中，A在截面A1BD上的射影是△A1BD的________心．(3)两条异面直线在同一平面上的射影可能是_____．直角三角形垂两条平行直线

或

两条相交直线

或

直线及直线外一点探究

我们利用线线垂直，得到了判定线面垂直的方法.下面我们研究线面垂直的性质，也就是如果已知线面垂直，能推出哪些结论呢?

根据线面垂直的定义，我们可以得到：若直线与平面垂直，则这条直线与平面内所有直线都垂直.即由线面垂直可以得到线线垂直.那除了这个性质以外还有没有其它的性质呢？联想到：在平面内，有结论：垂直于同一条直线的两条直线平行.

在空间中是否有类似的性质呢？探究思考：如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，棱AA1，BB1，CC1，DD1所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间具有什么位置关系？探究cβ

如图，已知直线a，b和平面α，如果a⊥α，b⊥α，那么，直线a，b一定平行吗？b’.O反证法ababα(反证法)证明：假设a与b不平行.记直线b和α的交点为O,则可过O作b′∥a.直线b与b′确定平面β，设α∩β=c∵a⊥α，b⊥α∴a⊥c，b⊥c，又∵b′∥a，∴b′⊥c.这样在平面β内过点O有两条直线b和b′都垂直直线c,这不可能!∴a∥b.1.否定结论2.正确推理3.导出矛盾肯定结论线面垂直的性质垂直于同一个平面的两条直线平行.作用：判断线线平行四、线面垂直的性质定理符号语言：tip：线面垂直

⇒

线线平行线面垂直的性质β

在a⊥α的条件下，如果平面α外的直线b与直线a垂直，你能得到什么结论?如果平面β与平面α平行，你又能得到什么结论?abaa⊥αb⊥abα

b∥αa⊥αβ//α

a⊥β线面垂直的性质例5已知：如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点,N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.ABCDA1B1C1D1MN证明：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，∵四边形ADD1A1是正方形，CD⊥平面ADD1A1∴AD1⊥A1D，AD1⊥DC.又∵A1D∩DC=D，A1D、DC

平面A1DC，∴AD1⊥平面A1DC.又∵MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD1求证：MN∥AD1空间中的距离1.点到面的距离

从平面外一点引这个平面的垂线，垂足叫做点在这个平面内的射影，射影点和垂足间的距离叫做点到平面的距离.2.线到面的距离

一条直线和一个平面平行时，直线上任意一点到这个平面的距离都相等，我们把这个距离叫做直线到平面的距离.3.面到面的距离

如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把这个距离叫做两个平行平面间的距离.例6.如图，直线l平行于平面α，求证：直线l上各点到平面α的距离相等.教材P154例5例7如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点.(1)证明：PO⊥平面ABC；

(2变)求点C到平面PAB的距离；

解：(1)∵PA=PC=AC=4，O为AC的中点，∴PO⊥AC，PO=2.连接OB∵AB=BC，O为AC的中点，∴PO⊥AC，BO⊥AC.

∴BO2+PO2=PB2，∴PO⊥BO.∴PO⊥平面ABCPABCO∵BO∩AC