临汾市2026年高三年级质量监控第一次模拟测试 数学试题及答案解析

临汾市2026年高三年级质量监控第一次模拟测试数学试题及答案解析数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上。4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$满足$|\boldsymbol{a}|=1,|\boldsymbol{b}|=2,\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=60^\circ$，则$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=$()A.$\sqrt{3}$B.$1$C.$2$D.$3$2.已知直线$2x+ay+6=0$与直线$(a-1)x+y+a^2-1=0$平行，则$a=$()A.$2$B.$-1$或$2$C.$-1$D.$-2$或$1$3.从$1,3,5,7,9$这五个数中，依次取出两个不同的数分别为$a,b$，共可得到$\lga-\lgb$的不同值的个数是()A.$10$B.$16$C.$18$D.$20$4.已知$a=0.3^{0.1},b=\log_20.3,c=\log_30.5$，则$a,b,c$的大小关系为()A.$a>b>c$B.$b>a>c$C.$a>c>b$D.$c>a>b$5.甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《惊蛰无声》《飞驰人生3》《熊猫计划之部落奇遇记》《重返狼群》《熊出没·年年有熊》五部电影中任选一部，则三人看同一部电影的概率为()A.$\dfrac{1}{25}$B.$\dfrac{1}{125}$C.$\dfrac{3}{25}$D.$\dfrac{3}{125}$6.如图，在三棱锥$P-ABC$中，$PA\perp$平面$ABC$，$AC=6$，$PA=4$，$\angleABC=90^\circ$，则三棱锥$P-ABC$外接球的表面积为()A.$32\pi$B.$16\pi$C.$48\pi$D.$64\pi$7.已知$f(x)=(x^2-x)\sin(2x-1)+1$，数列$\{a_n\}$满足$a_n=f\left(\dfrac{1}{n}\right)+f\left(\dfrac{2}{n}\right)+\dots+f\left(\dfrac{n-1}{n}\right)$，则$a_{2026}$为()A.$2025$B.$2026$C.$4050$D.$4052$8.阿基米德不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号，圆锥曲线上任意两点$M,N$处的切线交于点$Q$，称$\triangleQMN$为“阿基米德三角形”。已知抛物线$C:y^2=4x$的焦点为$F$，过$F$的直线$l$交抛物线$C$于$A,B$两点，且$|AF|=3|BF|$，抛物线$C$在$A,B$处的切线交于点$P$，则$\trianglePAB$的面积为()A.$\dfrac{8\sqrt{3}}{3}$B.$\dfrac{16\sqrt{3}}{3}$C.$8\sqrt{3}$D.$16\sqrt{3}$二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.下列函数中既是偶函数，又在$(0,+\infty)$上单调递减的是()A.$y=e^{|x|}+e^{-|x|}$B.$y=x^{-4}$C.$y=3-|x|$D.$y=\ln|x|$10.已知四棱锥$P-ABCD$的底面是边长为1的菱形，$PD\perp$平面$ABCD$，$\angleBAD=60^\circ$，$PD=1$，$AC$与$BD$相交于点$O$，$E$是线段$PB$上的动点，则()A.$AC\perpDE$B.$PO$与底面$ABCD$所成角的正切值为$2$C.二面角$D-BP-C$的余弦值为$\dfrac{\sqrt{7}}{7}$D.$\triangleAEC$面积的取值范围是$\left[\dfrac{\sqrt{3}}{4},\dfrac{\sqrt{15}}{4}\right]$11.已知函数$f(x)=\cos(\omegax+\varphi)-\sin(\omegax+\varphi)(\omega>0,0<\varphi<\pi)$的部分图象如图，则()A.$f(x)$图象的一条对称轴为$x=4$B.$f(x)$在区间$\left(\dfrac{2}{3},\dfrac{10}{3}\right)$上单调递增C.$f(x)$的最小正周期为$4$D.$f(x)$的值域为$[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知随机变量$X$服从正态分布$N(\mu,\sigma^2)$，$P(X\leq-2)=P(X\geq8)$，则$\mu=$________。13.已知在底面边长为$4\sqrt{3}$，高为$4$的正三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$内有一个半径为1的小球，该小球可以在正三棱柱内自由活动，当任意旋转、晃动正三棱柱过程中小球至少与正三棱柱的一个面相切时，小球球心的轨迹在正三棱柱的内部又会形成一个新的几何体，则该几何体的体积为________。14.人形机器人根据指令在平面上能完成下列动作：先从原点$O$沿东偏北$45^\circ$方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，何时改变方向不定。假定机器人行走速度为$15\mathrm{m/min}$，则机器人行走$2\mathrm{min}$时距原点的最远距离是________$\mathrm{m}$，最近距离是________$\mathrm{m}$。（第1空2分，第2空3分）四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(13分)已知数列$\{a_n\}$满足$a_1+a_2+\dots+a_n=n^2(n\in\mathbb{N}^*)$。(1)求数列$\{a_n\}$的通项公式；(2)令$b_n=\dfrac{1}{a_na_{n+1}}$，求数列$\{b_n\}$的前$n$项和$S_n$。16.(15分)水体富营养化导致藻类大量繁殖，现对某区域的藻类面积$y$(单位：平方公里)与时间$x$(单位：年)的关系，进行监测，得到如下数据：$x/$年1234567$y/$平方公里611213466101196根据以上数据绘制散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用对数函数模型$y=a+b\lnx$和指数函数模型$y=c\cdotd^x$分别对两个变量的关系进行拟合。(1)根据散点图判断$y=a+b\lnx$与$y=c\cdotd^x$($a,b,c,d$均为常数)哪一个更适合作为藻类面积$y$与时间$x$的关系的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由);(2)根据(1)的判断结果及表中的数据，求出$y$关于$x$的回归方程；(3)若不及时保护水质，当第八年检测时，请估计藻类面积为多少平方公里。参考数据：$\sum_{i=1}^7y_i=435$，$\sum_{i=1}^7\lgy_i=100.5$，$\sum_{i=1}^7i\cdot\lgy_i=62.14$，$\overline{\lgy}=1.54$，$\sum_{i=1}^7i^2=2535$，$7\overline{x}=50.12$，$\lgd=3.47$参考公式：对于一组数据$(u_1,v_1),(u_2,v_2),\dots(u_n,v_n)$，其回归直线$\hat{v}=\hat{\beta}u+\hat{\alpha}$的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为$\hat{\beta}=\dfrac{\sum_{i=1}^nu_iv_i-n\overline{u}\overline{v}}{\sum_{i=1}^nu_i^2-n\overline{u}^2}$，$\hat{\alpha}=\overline{v}-\hat{\beta}\overline{u}$。17.(15分)在锐角$\triangleABC$中，角$A,B、C$的对边分别为$a,b,c$，且$a\cosC+\sqrt{3}a\sinC-b-c=0$。(1)求角$B$;(2)当$b=2\sqrt{3}$时，$\triangleABC$的面积为$S$，周长为$L$，求$\dfrac{S}{L}$的取值范围。18.(17分)已知椭圆$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{3}=1(a>\sqrt{3})$的右焦点为$F$，离心率为$\dfrac{1}{2}$。(1)求椭圆$C$的方程；(2)过点$F$作直线$l$($l$与$x$轴不垂直)与椭圆$C$交于$A、B$两点，在直线$x=4$上取点$P$，使$PA\parallelx$轴，证明：直线$PB$恒过定点；(3)设点$Q$为椭圆$C$上异于其左右顶点的一点，过$Q$分别作椭圆$C$的两条切线$QM、QN$，切点分别为$M、N$，设直线$QM、QN$的斜率分别为$k_1、k_2$，证明：$k_1k_2$为定值。19.(17分)已知函数$f(x)=\lnx-bx+a^3(a、b\in\mathbb{R}且a\neq1)$。(1)当$a=e$时，$y=f(x)$在$x=2$处的切线斜率为$0$，求$b$的值；(2)若对任意的$b\geq2e$，函数$f(x)$有两个不同的零点，求$a$的取值范围；(3)当$a=e,b=0$时，若函数有两个不相等的零点$x_1,x_2$，证明：$x_1+x_2>2b$。参考答案及详细解析评分说明:1.本解答只给出了某些解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。4.只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。一、单项选择题（每题5分，共40分）答案：1.B2.C3.C4.A5.A6.D7.B8.B解析：1.向量数量积公式$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos60^\circ=1\times2\times\dfrac{1}{2}=1$，选B。2.直线平行条件：$\dfrac{2}{a-1}=\dfrac{a}{1}\neq\dfrac{6}{a^2-1}$，解得$a=-1$（$a=2$时两直线重合，舍去），选C。3.$\lga-\lgb=\lg\dfrac{a}{b}$，5个数取2个排列共20种，$\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{9}$、$\dfrac{3}{1}=\dfrac{9}{3}$重复2组，故不同值共18个，选C。4.$a=0.3^{0.1}>0$，$b=\log_20.3<0$，$c=\log_30.5<0$，且$\log_20.3<\log_30.5$，故$a>c>b$，选A。5.总情况数$5^3=125$，三人同部电影共5种，概率$P=\dfrac{5}{125}=\dfrac{1}{25}$，选A。6.将三棱锥补成长方体，外接球直径$2R=\sqrt{4^2+6^2}=8$，$R=4$，表面积$S=4\piR^2=64\pi$，选D。7.利用$f(x)+f(1-x)=2$，分组求和得$a_n=n-1$，故$a_{2026}=2026$，选B。8.抛物线焦点$F(1,0)$，由$|AF|=3|BF|$得直线斜率$k=\pm\sqrt{3}$，求得切点$P$及$AB$长度，计算得面积为$\dfrac{16\sqrt{3}}{3}$，选B。二、多项选择题（每题6分，共18分）答案：9.BC10.ABD11.BCD解析：9.A为偶函数但在$(0,+\infty)$递增，B、C为偶函数且在$(0,+\infty)$递减，D为偶函数但递增，选BC。10.由线面垂直可证$AC\perpDE$，A正确；$PO$与底面所成角正切值为2，B正确；二面角余弦值不为$\dfrac{\sqrt{7}}{7}$，C错误；$\triangleAEC$面积范围符合选项，D正确，选ABD。11.化简$f(x)=\sqrt{2}\cos\left(\omegax+\varphi+\dfrac{\pi}{4}\right)$，由图像得周期、单调性、值域，A错误，BCD正确。三、填空题（每题5分，共15分）答案：12.$3$13.$6\sqrt{3}$14.$30$；$15\sqrt{2}$解析：12.正态分布对称性$\mu=\dfrac{-2+8}{2}=3$。13.球心轨迹形成的几何体为小三棱柱，计算得体积$6\sqrt{3}$。14.总路程$30\mathrm{m}$，最远为直线距离$30\mathrm{m}$，最近由几何关系得$15\sqrt{2}\mathrm{m}$。四、解答题（共77分）15.（13分）解：(1)当$n=1$时，$a_1=1$；当$n\geq2$时，$a_n=n^2-(n-1)^2=2n-1$，$n=1$时满足上式，故$a_n=2n-1(n\in\mathbb{N}^*)$。（6分）(2)$b_n=\dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2n-1}-\dfrac{1}{2n+1}\right)$，$S_n=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\dots+\dfrac{1}{2n-1}-\dfrac{1}{2n+1}\right)=\dfrac{n}{2n+1}$。（13分）16.（15分）解：(1)指数函数模型$y=c\cdotd^x$更适合。（3分）(2)令$v=\lgy$，则$v=\lgc+x\lgd$，由参考数据计算得$\lgd=0.3$，$\lgc=0.89$，回归方程为$\hat{y}=10^{0.89}\cdot10