辽宁省多校联考2025-2026学年高三下学期第三次模拟数学试卷（含解析）

辽宁省多校联考2025-2026学年高三下学期第三次模拟数学试卷（含解析）考试时间：120分钟满分：150分注意事项1．答卷前，考生须在答题卡和试题卷上规定的位置，准确填写本人姓名、准考证号，并核对条形码上的信息．确认无误后，将条形码粘贴在答题卡上相应位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上各题目规定答题区域内，超出答题区域书写或写在本试卷上的答案无效．第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知平面向量，若，则实数的值为（）A.4B.-4C.1D.-1【答案】B【解析】由向量运算得，因为，所以，解得.故选B.2.定义集合运算：，设集合，则集合的所有元素之和为（）A.0B.2C.3D.5【答案】D【解析】由题意得：，集合元素为，所有元素之和为5。故选D.3.复数（为虚数单位）的虚部为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】化简得，故复数虚部为。故选A.4.某学校随机抽取了100名学生，对其课外阅读情况进行调查．并将这100名学生每月阅读课外书的数量（单位：本）绘制成条形图．若从这100名学生中随机抽取1名学生，该学生每月阅读课外书数量不少于4本的概率为（）A.0.15B.0.25C.0.4D.0.6【答案】C【解析】由条形图数据，阅读4本、5本课外书的学生频率相加得总频率0.4，由频率估计概率，所求概率为0.4。故选C.5.已知椭圆的焦点分别为，点为上任意一点，则的最大值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由椭圆定义，，由基本不等式，当且仅当点在椭圆短轴端点时取等号，故最大值为。故选B.6.已知圆，直线与圆相交于，两点，当取最小值时，的值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】直线恒过定点，定点在圆内。由圆的性质，定点与圆心连线垂直于直线时，弦长最短。求出圆心与定点连线斜率，进而求得。故选A.7.已知数列的前项和为，且满足，则使不等式成立的正整数的最小值为（）A.4B.5C.6D.7【答案】C【解析】由递推式可证数列为等比数列，求出通项与前n项和，代入不等式验证，可得满足条件的正整数n最小值为6。故选C.8.设，则，的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】构造两个导数可判断单调性的函数，结合赋值法比较三者大小，可得。故选A.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．）9.下列四个函数中，周期为且在区间上单调递减的有（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】A选项函数周期为，区间内单调递减；B选项区间内单调递增；C选项函数周期为，区间内单调递减；D选项周期不符合要求。故选AC.10.已知数列，的前项和分别为，且满足，则下列结论正确的是（）A.B.C.是等差数列D.【答案】BCD【解析】由递推关系可推出是首项、公差均确定的等差数列，可判断C正确；验证通项公式可判断A错误、B正确；分组求和可证D正确。故选BCD.11.如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的有（）A.直线与所成角的余弦值为B.用平面截该正方体，所得截面面积为C.若与交于点，则长度的取值范围是D.若三棱锥与三棱锥体积相等，则动点的轨迹长度为【答案】BC【解析】建立空间直角坐标系逐一验证：A计算异面直线夹角余弦值错误；B截面为等腰梯形，面积计算正确；C结合距离公式可确定取值范围正确；D动点轨迹长度计算错误。故选BC.第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）12.一个盒子里装有5个红球和3个白球，从中不放回地依次随机取出2个球．已知第一次取出的球是红球，则第二次取出的球是白球的概率为________．【答案】【解析】第一次取出红球后，剩余4红3白共7个球，第二次取白球的概率为。13.写出曲线过坐标原点的切线方程：______，______．【答案】；【解析】设切点求切线方程，代入原点坐标求解切点，可得两条切线方程。14.已知双曲线：的右焦点为，过且与双曲线的一条渐近线平行的直线与交于另一点，若，则的离心率为________．【答案】【解析】结合双曲线定义、渐近线性质与余弦定理，代入化简可得离心率。四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.在长方体中，为棱上的动点（不包含端点，）．（1）证明：；（2）当时，求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）在长方体中，底面为正方形，故，又平面，故，结合可证平面，又平面，故。（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，结合二面角为钝角，计算得二面角余弦值为。16.已知抛物线的焦点为，过点作两条互相垂直的直线，与抛物线交于，两点，与抛物线交于，两点．设，．（1）若，直线的斜率为1，求的值；（2）求四边形面积的最小值及此时直线的斜率．【答案】（1）8（2）最小值，斜率为【解析】（1）求出焦点坐标与直线方程，联立抛物线方程，结合韦达定理求得。（2）设直线斜率，联立方程求得弦长，由两直线垂直得另一条直线弦长，写出四边形面积公式，利用基本不等式求得最小值及对应斜率。17.在中，角，的对边分别为，已知向量，且．（1）求角的大小；（2）若为锐角三角形，求的取值范围；（3）设的面积为，边上的中线长为2，求的长．【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）由向量数量积公式结合三角恒等变换，解得。（2）由正弦定理化简，结合锐角三角形角度范围，求得取值范围。（3）由面积公式与中线向量公式，结合余弦定理联立求解，得边长。18.已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，若恒成立，求取值范围；（3）若，求证：函数有两个大于1的零点．【答案】（1）时在上单调递增；时在上单调递增，在上单调递减（2）（3）证明见解析【解析】（1）求导后分类讨论参数，根据导数正负判断函数单调区间。（2）分离参数构造新函数，利用导数求函数最小值，确定参数取值范围。（3）多次求导分析函数单调性与极值，结合零点存在性定理，证明存在两个大于1的零点。19.为提升用户的“数字资产积累”体验，某区块链平台推出“幸运盲盒”游戏：盲盒内有编号的个数字代币（质地均匀），每次随机有放回抽取个代币，抽取相互独立．规则为：抽到号代币得个积分，抽到号代币得个积分．定义“安全积累状态”为：抽取过程中从未出现连续两次抽到号代币，记第次抽取后处于“安全积累状态”的概率为．（1）①求抽取次后，总积分为分的概率；②求的值；（2）设抽取次后处于“安全积累状态”，且积分和为．求满足条件的的取值范围，并求当最大时共有多少种抽取方法；（3）证明：当时，．