线性方程组的解

第四节线性方程组的解第三章矩阵的初等变换与线性方程组

小结思考题作业㈠线性方程组的解的判定条件㈡矩阵方程Am

nXn

s=Bm

s目录上页下页㈠线性方程组的解的判定条件上页下页目录【非齐次线性方程组Am×n

x=b】用初等行变换，将Am×n

x=b的增广矩阵

(A,

b)

化为行阶梯形

(C,

d)，即于是，R(A)=C

的非零行行数,

R(A,b)=

(C,d)

的非零行行数；并且，Ax=b

和Cx=d是同解方程组.设行阶梯形(C,d)中的

C

有

r

个非零行，如下图所示上页下页目录第

r+1

行r

个非零行dr+1=0Ax=b

有解

上页下页目录dr+1=0,且r=nAx=b

有唯一解

n

个非零行此时，行阶梯形矩阵的形式为上页下页目录dr+1=0,且r<nAx=b

有无穷多解

r

个非零行(r<n)此时，行阶梯形矩阵的形式为上页下页目录定理

1

对于

非齐次线性方程组Am

nx

=

b，①

有解的充分必要条件：③

有无穷多解的充分必要条件：②

有唯一解的充分必要条件：综合上述，有如下定理：(等价命题)无解的充分必要条件：注n

是系数矩阵

A

的列数

(即未知量的个数).注由于R(A)

R(A,b)，故R(A)

R(A,b)R(A)

<

R(A,b).上页下页目录例

1

对于非齐次线性方程组解问

取何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有无穷多解时，求其通解.上页下页目录先考虑它们不等于

0

时

的取值，再讨论

的其它取值.上页下页目录①

当时，方程组有唯一解.②

当时，代入上式方程组无解.上页下页目录③

当时，方程组有无穷多解.与原方程组同解的方程组为取x2=k1,x3=k2，得上页下页目录(k1,k2为任意常数)错误：对增广矩阵(或系数矩阵)一般不能用初等列变换（初等列变换虽然不会改变矩阵的秩，但可能会改变方程组的解.）说明(1)常见错误：上页下页目录(2)本例中系数矩阵

A

是方阵，故也可用克拉默法则，当

或

时，将增广矩阵化为行阶梯形，并讨论方程组的解.即，

且时方程组有唯一解.上页下页目录【齐次线性方程组Am

nx=O

】因为R(A)

R(A,0)，根据定理

1，

Ax=0

总是有解.齐次线性方程组

Ax=0的常数项全为零.①

Ax=0

有唯一解(即零解)R(A)

R(A,0)

=n②

Ax=0

有无穷多解(有非零解)R(A)

R(A,0)

<n(至少有一个零解)上页下页目录定理

2

对于齐次线性方程组Am

nx

=

0，①

只有零解的充分必要条件：②

有非零解的充分必要条件：于是，有如下定理讨论如果

A

是

n

阶方阵，那么，定理

2中①②的充要条件还可如何表述？上页下页目录例

2

对于齐次线性方程组解问

取何值时，方程组有非零解，并求出通解.上页下页目录先考虑它们不等于

0

时

的取值，再讨论

的其它取值.上页下页目录①

当时，方程组只有零解.②

当时，代入上式方程组有非零解.上页下页目录与原方程组同解的方程组为取x3

=k

，得(k

为任意常数)上页下页目录③

当时，方程组有无穷多解.与原方程组同解的方程组为取x2=k1,x3=k2，得(k1,k2为任意常数)上页下页㈡矩阵方程Am

nXn

s=Bm

s目录上页下页目录即，矩阵方程AX=B

可拆分为若干线性方程组.【矩阵方程

Am

nXn

s=Bm

s

的求解步骤

】Am

nXn

s=Bm

s对

A

按

1

1

分块，对

X

和

B

按列分块，有上页下页目录将化为行阶梯形，于是，Axi=bi

和Cxi=di

是同解方程组.从而，

.这些方程组Axi=bi

的求解可同时进行：讨论已知

AB=O，根据上述讨论，可得出什么结论？答：B的每一列都是齐次线性方程组

Ax=0的解;AT

的每一列都是齐次线性方程组

BTx=0的解.上页下页目录例

3

解矩阵方程AX=B，其中解Ax1=b1,Ax2=b2(两个线性方程组)A(x1,x2)=

(b1,b2)对

AX=B，将

A

按

1

1

分块，将

X

和

B

按列分块，将(

A,b1

,b2)化为行最简形：由题意可知，X是

3

2

矩阵，设上页下页目录令x32=q，得根据行最简形，Ax1=b1,Ax2=b2的同解方程组分别为(I)(II)令

x31=p，得上页下页目录于是，矩阵方程的解为(其中p,q是任意实数)定理

3

对于矩阵方程Am

nXn

s=Bm

s

，①

有解的充分必要条件：③

有无穷多解的充分必要条件：②

有唯一解的充分必要条件：上页下页目录【矩阵方程

Am

nXn

s=Bm

s

的解的判定

】证设

R(A)=r.将(A,B)化为行阶梯形：初等行变换行阶梯形上页下页目录AX=B

有解都有解di

的后m-r

个元素全是

0

的后m-r

行为全零行R(A)=

R(A,B)

=

r同理可证，AX=B

有唯一解R(A)=

R(A,B)

=

r=

nAX=B

有无穷多解R(A)=

R(A,B)

=

r<

n上页下页目录由定理

3

应用于矩阵方程AX=O，有定理

4

对于矩阵方程Am

nXn

s=Om

s

，②

有非零解(X

O)的充分必要条件：①

只有零解(X=O)的充分必要条件：上页下页目录

小结思考题作业上页下页目录小结(1)对于非齐次线性方程组Am

nx=b，①

有解无解③

无穷多解②

有唯一解(2)对于齐次线性方程组Am

nx=0

，①

只有零解②

有非零解1.线性方程组的解的判定条件：上页下页目录(2)对于矩阵方程Am

nXn

s=Om

s

，②

有无穷多解①

有唯一解X=O(1)对于矩阵方程Am

nXn

s=Bm

s

，①

有解③

有无穷多解②

有唯一解无解3.矩阵方程的解的判定条件：2.矩阵方程的一般解法：拆分为若干个线性方程组.上页下页目录作业1.

设非齐次线性方程组(1)当

取何值时，有唯一解？无解？有无穷多解？(2)有无穷多解时，求出通解.上页下页目录2.

设齐次线性方程组(II)(I)问：(I)和(II)是否有非零公共解，若有，求出公共解.提示：将(I)(II)合并成一个线性方程组(III)，则(III)有非零解(I)和(II)有非零公共解上页下页目录3.

设

A

是

n

阶方阵，

是

n

1

的列矩阵，k

是数，且，证明：Ax=

有解.提示：需证明

R(A)=R(A,