初三数学相似三角形专题练习

初三数学相似三角形专题练习同学们，相似三角形是初中几何的核心内容之一，它不仅是全等三角形知识的延伸，更是解决许多复杂几何问题、函数与几何综合题的重要工具。掌握好相似三角形，能让你在中考数学中如虎添翼。本专题将带你回顾相似三角形的核心知识，并通过精选例题与练习题，帮助你深化理解、提升解题能力。一、核心知识回顾与梳理在开始练习之前，我们先简要回顾一下相似三角形的关键知识点，确保基础扎实。（一）相似三角形的定义与表示对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似用符号“∽”表示，读作“相似于”。注意，在用符号表示相似时，对应顶点的字母要写在对应的位置上，这一点非常重要，能帮助我们准确找到对应边和对应角。（二）相似三角形的判定方法判定两个三角形相似，我们有以下几种常用方法，你需要根据题目条件灵活选用：1.定义法：对应角相等，对应边成比例（较少直接使用，但是根本）。2.平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。（“A”型或“X”型相似）3.AA（两角对应相等）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。这是最常用的判定方法之一。4.SAS（两边对应成比例且夹角相等）：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。5.SSS（三边对应成比例）：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。6.HL（斜边和一条直角边对应成比例）：对于两个直角三角形，如果斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。（三）相似三角形的性质一旦证明了两个三角形相似，它们就具有以下性质：1.对应角相等。2.对应边成比例（这个比例叫做相似比，通常用k表示）。3.对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。4.周长的比等于相似比。5.面积的比等于相似比的平方。（这是一个非常重要的性质，在面积计算中经常用到）（四）相似三角形中的基本模型熟练识别和运用一些常见的相似模型，能大大提高解题效率。例如：*“A”型相似（公共角模型）*“X”型相似（对顶角模型）*母子型相似（如直角三角形斜边上的高分成的两个小直角三角形与原三角形相似）*一线三垂直（或k型相似）模型二、典型例题精析下面我们通过几个典型例题，来体会相似三角形知识的应用。例题1（基础判定与性质应用）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC。若AD=3，DB=2，AE=6，求EC的长。分析与解答：这是一道非常基础的“A”型相似问题。因为DE∥BC，根据“平行于三角形一边的直线截其他两边所得的三角形与原三角形相似”，可知△ADE∽△ABC。所以，它们的对应边成比例。这里要特别注意对应关系，AD对应AB，AE对应AC。AB=AD+DB=3+2=5。设EC=x，则AC=AE+EC=6+x。由相似三角形对应边成比例可得：AD/AB=AE/AC，即3/5=6/(6+x)。解这个方程：3(6+x)=5×6→18+3x=30→3x=12→x=4。所以，EC的长为4。反思：找准对应边是解决此类问题的关键。例题2（判定方法的综合运用与性质拓展）在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=70°，∠B=50°，∠E=60°。这两个三角形相似吗？为什么？如果相似，求出它们的相似比（假设已知BC=4，EF=6）。分析与解答：要判断两个三角形是否相似，已知两个角，我们首先考虑“AA”判定。在△ABC中，∠A=70°，∠B=50°，所以∠C=180°-70°-50°=60°。在△DEF中，∠D=70°，∠E=60°，所以∠F=180°-70°-60°=50°。现在我们来看对应角：∠A=∠D=70°，∠B=∠F=50°，∠C=∠E=60°。所以，△ABC与△DFE的三个角分别对应相等（注意这里顶点的对应顺序）。因此，△ABC∽△DFE（AA）。相似比k=AB/DF=BC/FE=AC/DE。题目给出BC=4，EF=6，而FE=EF=6，所以BC/FE=4/6=2/3。因此，相似比为2/3（注意顺序，若写成△DFE∽△ABC，则相似比为3/2）。反思：当已知角的度数时，先求出第三个角，再看是否有两组角对应相等。同时，相似比的顺序性也需要注意。例题3（母子型相似与面积问题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高。若AD=4，BD=9，求CD的长及△ACD与△ABC的面积比。分析与解答：这是典型的“母子型相似”模型，即直角三角形斜边上的高将原三角形分成两个小直角三角形，这两个小直角三角形都与原三角形相似，并且它们彼此也相似。易证：△ACD∽△ABC∽△CBD。（1）求CD的长：因为△ACD∽△CBD，所以有AD/CD=CD/BD（对应边成比例）。即CD²=AD×BD=4×9=36。所以CD=6（CD为线段长，取正值）。（2）求△ACD与△ABC的面积比：由△ACD∽△ABC，我们需要先确定它们的相似比。在△ACD和△ABC中，∠A是公共角，∠ACD=∠B（均为∠A的余角），所以相似比k=AD/AC=AC/AB。但我们也可以利用“相似三角形面积比等于相似比的平方”这一性质，通过对应边的比来求面积比。因为△ACD∽△ABC，相似比k=AD/AC。但我们也可以找到AD与AB的关系。AB=AD+BD=4+9=13。在△ACD∽△ABC中，AD对应AC，AC对应AB，所以AD/AC=AC/AB→AC²=AD×AB=4×13=52。但或许更直接的是，△ACD与△ABC的相似比也可以是AD/AC，但我们可以用AD/AB吗？不，AD是△ACD的一条直角边，AB是△ABC的斜边，它们不是对应边。我们换个思路，△ACD与△ABC的面积比，也可以看作是(1/2×AD×CD):(1/2×AB×CD)=AD:AB=4:13。（因为它们共享高CD，所以面积比等于底之比AD:AB）。或者，因为△ACD∽△ABC，相似比k=AC/AB。而AC²=AD×AB=4×13，所以AC=√(4×13)=2√13。AB=13。所以k=AC/AB=2√13/13。那么面积比k²=(4×13)/(13²)=4/13。与上述结果一致。因此，△ACD与△ABC的面积比为4:13。反思：母子型相似中，有很多等积式（如CD²=AD×BD，AC²=AD×AB，BC²=BD×AB），这些“射影定理”的结论可以帮助我们快速解题。面积比的计算可以灵活运用性质。三、专题练习题接下来，请同学们独立完成以下练习题，检验一下自己的掌握程度。基础巩固1.已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为2:3。若△ABC的周长为12，则△A'B'C'的周长为______；若△A'B'C'的面积为18，则△ABC的面积为______。2.如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O。若AO=2，OD=4，BO=3，则OC的长为______。3.在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，AD=2，AB=5，AC=10。若△ADE与△ABC相似，求AE的长。（提示：注意分类讨论，可能存在不同的对应情况）能力提升4.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E在BC上，且∠DAE=45°。求证：△ABE∽△DCA。5.如图，小明想利用标杆测量一棵大树的高度。他将一根长为2m的标杆垂直立在地面上，测得标杆的影长为1.5m，同时测得大树的影长为9m。已知小明的眼睛离地面高度为1.6m（标杆和大树均垂直于地面，且小明、标杆、大树在同一直线上），请你帮小明求出大树的高度。思维拓展6.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm。点P从点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s；同时点Q从点C出发沿CB方向向点B匀速运动，速度为2cm/s。设运动时间为t秒（0<t<4）。连接PQ，当t为何值时，以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似？四、总结与提示相似三角形的学习，关键在于“对应”二字——对应角、对应边。在解决问题时，要：1.仔细观察图形：识别基本模型，如“A”型、“X”型、母子型等，能帮助你快速找到相似关系。2.灵活选用判定方法：根据已知条件选择最合适的判定定理，AA是首选，其次是SAS和SSS。3.熟练运用性质：特别是对应边成比例和面积比等于相似比的平方这