北工业大学附属红桥中学数系的扩充和复数的概念

数系的扩充和复数的概念高一年级数学河北工业大学附属红桥中学【提出问题】从方程的角度看，负实数能不能开平方，就是方程有没有解，进而可以归结为方程

有没有解.想一想，这是为什么呢？？若，则，根据平方根的定义，求负数的平方根即为：是否存在数，使得.因此，负实数能不能开平方，等价于方程（其中）有没有解.若令，则方程转化为，因此可归结为方程有没有解.【提出问题】我们知道，方程在实数集中无解.探究联系从自然数集到实数集的扩充过程，你能给出一种方法，适当扩充实数集，使这个方程有解吗？【探究问题】已有数系扩充过程：自然数→分数→负数→整数→有理数→无理数→实数数系扩充的共性—“规则”：扩充后的数系中规定的加法运算、乘法运算，与原数系中的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配率.有理数→无理数→实数【新】依照数系扩充“规则”，为了解决在实数中无解的问题，引入新数，使得是方程的解，即.新数的引入水到渠成!新数是数学家欧拉最早引入，它取自imaginary（想象的，假想的）一词的词头.引入新数、扩充实数集是非常必要而且合理.【探究问题】数系的扩充按照数系扩充“规则”，把实数与相乘，结果记作；把实数与相加，结果记作.注意到所有实数以及都可以写成的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中.把形如的数叫做复数，其中叫做虚数单位.全体复数所构成的集合叫做复数集.复数的概念方程在复数集中就有解了.【解决问题】复数通常用字母表示，即.实部虚部复数的代数表示后面还会研究复数的三角表示复数的概念在复数集中任取两个数与相等当且仅当且.复数相等复数集与实数集之间有什么关系？【提出问题】思考结论：实数集是复数集的真子集，即Ü复数（1）当且仅当时，它是实数；（2）当且仅当时，它是实数0；（3）当时，它叫做虚数；（4）当且时，它叫做纯虚数.复数概念复数可以分类如下：复数分类复数虚数（）（当时为纯虚数）.实数（），复数集虚数集实数集纯虚数集复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示：两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.若两个复数都是实数，则可以比较大小；否则，不能比较大小.复数的大小关系例1指出下列各数的实部和虚部.实部

，虚部

实部

，虚部

实部

，虚部

实部

，虚部

实部

，虚部

【知识应用】例2当实数取什么值时，复数是下列数？（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.解：（2）当，即时，复数是虚数.【知识应用】（1）当，即时，复数是实数.（3）当，且，即时，复数是纯虚数.例3已知，其中,求与的值.解：由复数相等可知解得【知识应用】1.说出下列复数的实部和虚部：2.指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数.为什么？【课堂练习】3.当实数取什么值时，复数是下列数？（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.4.求满足下列条件的实数的值：（1）；（2）.

【课堂练习】或且【课堂评价】一种形式两个部分实部虚部三大名词复数虚数纯虚数四个掌握数系扩充的过程与方法复数的概念复数的分类复数相等的充要条件数形结合类比思想分类讨论【课堂评价】解决问题探究问题提出问题知识应用三大数学思想方法四步体验数学核心素养和能力数系的扩充复数复数的分类:实数虚数纯虚数复数复数的表示复数的实部与虚部虚数与纯虚数复数相等【课堂总结】2.符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由.（1）实部为的虚数；（2）虚部为的虚数；（3）虚部为的纯虚数.1.对“数”发展的历史轨迹、自己感兴趣的历史事件与人物，写出自己的研究报告，如《如果世界没了数》、《数的历史》、《数的未来》，可参考书籍资料、网络资源等.【课后作业】3.当实数取什么值时，复数是下列数？（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.4.求满足下列条件的实数的值：（1）；（2）