3.6 关系的运算及性质

PART03|集合论基础集合3.6关系的运算及性质OPERATIONSANDPROPERTIESOFRELATIONS课程大纲CONTENTS关系的基本运算掌握集合论视角下的基础操作：并、交、差、补与对称差运算规则，理解其数学定义与逻辑含义。关系的复合运算及性质深入解析复合运算的逻辑定义，推导并证明其满足的结合律等重要性质，掌握相关定理的应用场景。关系的逆运算及性质剖析关系逆运算的构成方式，系统梳理其保持的单调性及与复合运算的交互关系，建立完整的运算体系。关系运算与性质探究封闭性：分析并、交、复合、逆等运算对自反性、对称性、传递性等关键性质的保持性，深化理解。引言：关系的运算核心思想二元关系本质上是以序偶为元素的集合，因此集合的所有基本运算（并、交、差、补、对称差），都可直接应用到关系中。特有运算•复合运算(Composite)

通过中间元素传递关系，建立间接联系。•逆运算(Inverse)

将原关系序偶中的两个元素顺序进行反转。本章目标熟练掌握关系的基本运算、复合运算和逆运算的：✓形式化定义

✓关键代数性质

✓实际应用场景定义3.26：关系的基本运算设R，S是从集合A到集合B的两个关系，则分别定义交、并、差、补、对称差的运算如下：交(Intersection)R∩S={<x,y>|(xRy)∧(xSy)}并(Union)R⋃S={<x,y>|(xRy)∨(xSy)}差(Difference)R−S={<x,y>|(xRy)∧¬(xSy)}补(Complement)~R={<x,y>|¬(xRy)}，即全集为A×B对称差(SymmetricDifference)R⊕S={<x,y>|(xRy)⊽(xSy)}例题3.30：关系基本运算计算题目描述：设集合A={a,b,c}，集合B={1,2,3,4}。从集合A到集合B的两个二元关系定义如下：R={<a,1>,<b,2>,<c,3>}，S={<a,1>,<a,2>,<a,3>,<a,4>}交集(Intersection)R∩S={<a,1>}仅包含同时属于R和S的有序对并集(Union)R⋃S={<a,1>,<b,2>,<c,3>,<a,2>,<a,3>,<a,4>}包含属于R或S的所有有序对差集(Difference)R-S={<b,2>,<c,3>}S-R={<a,2>,<a,3>,<a,4>}补集(Complement)~R=A×B−R，~S=A×B−S基于全域关系A×B的补集对称差(SymmetricDifference)R⊕S={<b,2>,<c,3>,<a,2>,<a,3>,<a,4>}即(R-S)⋃(S-R)的结果定义3.27：关系的复合运算▍定义原文设R为A到B的关系，S为从B到C的关系，则R○S称为关系R和S的复合关系，其集合定义为：R○S={<x,z>|x∈A，z∈C，∃y∈B使得<x,y>∈R且<y,z>∈S}传递性：复合运算的核心是“桥梁”。即通过集合B中相同的元素y，将A中的x与C中的z连接起来。顺序性：“R○S”严格遵循“先R后S”的运算顺序。通常情况下R○S≠S○R。💡图示解读图中直观展示了从集合A到B，再经由集合B到C的映射过程。请特别关注中间集合B的关键作用，它是实现“复合”的必要媒介。例题3.31：复合运算的三种求法题目：设集合A={a,b,c,d}，B={b,c,d}，C={a,b,d}，关系R={<a,b>,<c,d>,<b,b>}，S={<d,b>,<b,d>,<c,a>}。请根据关系复合运算的定义，求出复合关系R○S。解法一：序偶集合根据定义，寻找所有满足条件的序偶：若存在y使得<x,y>∈R且<y,z>∈S，则<x,z>∈R○S。结果：R○S={<a,d>,<c,b>,<b,d>}解法二：关系图画出关系R和关系S的关系图，合并后，将中间连接点省略，直接画出从起点到终点的“传递”连线，得到的即为R○S的关系图。直观地展示元素间的连接路径。解法三：关系矩阵将关系R和S分别表示为布尔矩阵，进行矩阵乘法运算。结果矩阵中值为1的元素位置对应复合关系中的序偶。公式：MR○S=MR×MS例题3.32：复合运算性质探究题目描述：设R与S是集合A到集合B的两个关系，求R○S、S○R、(R○S)○R、R○(S○R)，并观察其运算结果，总结关系复合运算的基本性质。不满足交换律R○S≠S○R复合运算的顺序不可随意调换，即左复合与右复合通常不相等。满足结合律(R○S)○T=R○(S○T)在连续复合运算中，运算顺序的改变不影响最终结果，可省略括号。满足同一律IA○R=R○IB=R恒等关系（IdentityRelation）与任何关系进行复合，其结果都是原关系。定理3.8：复合运算的性质设A、B、C和D是任意四个集合，R、S和T分别是从A到B，B到C和C到D的二元关系，Iₐ和Iᵦ分别是集合A和B上的恒等关系，则复合运算满足以下基本性质：结合律(AssociativeLaw)(R∘S)∘T=R∘(S∘T)运算顺序不影响最终的复合关系结果，无需额外括号。同一律(IdentityLaw)Iₐ∘R=R∘Iᵦ=R关系与恒等关系进行复合，结果保持原关系不变。证明思路(ProofIdea)证明两个关系相等，本质是证明它们互为子集：

1.证明左边包含于右边：(R∘S)∘T⊆R∘(S∘T)；2.证明右边包含于左边：(R∘S)∘T⊇R∘(S∘T)。定理3.9：复合运算的分配律设A、B、C和D是任意四个集合，R是从A到B的关系，S₁和S₂是从B到C的关系，T是从C到D的关系，则以下关于复合运算与集合运算的分配律成立：R∘(S₁⋃S₂)=(R∘S₁)⋃(R∘S₂)R∘(S₁∩S₂)⊆(R∘S₁)∩(R∘S₂)(S₁⋃S₂)∘T=(S₁∘T)⋃(S₂∘T)(S₁∩S₂)∘T⊆(S₁∘T)∩(S₂∘T)关键点提示：对于并集⋃，复合运算满足“完全分配律”（等式成立）；但对于交集∩，复合运算仅满足“包含关系”(⊆)，一般情况下不满足等号(=)。这一点在证明题中需特别留意。定义3.28：关系的逆运算定义原文设R为集合A到集合B的关系，如果将R中每一序偶的元素顺序互换，所得到的集合称为R的逆关系(Inverse)，记作R⁻¹。R⁻¹={<y,x>|<x,y>∈R}典型示例解析•“父子”关系的逆关系是“子父”关系，体现了方向的彻底反转。

•数值关系中，小于等于“≤”的逆关系是大于等于“≥”。

•特殊情况：“朋友”关系的逆关系就是其自身，这类关系称为“对称关系”。例题3.33：逆运算的三种求法题目：设集合A={1,2,3,4}，集合B={a,b,c,d}，关系R={<1,a>,<2,c>,<3,b>,<4,b>,<4,d>}，求R的逆关系R⁻¹。解法一：序偶集合将原关系中每个有序对的两个元素顺序互换，即可得到逆关系。计算结果：

R⁻¹={<a,1>,<c,2>,<b,3>,<b,4>,<d,4>}解法二：关系图将关系图中，连接两个不同元素的所有有向边的方向进行反转。直观理解：

原本从A指向B的箭头，全部改为从B指向A。解法三：关系矩阵逆关系的关系矩阵，等于原关系矩阵的转置矩阵。即行列互换。矩阵性质：

MR⁻¹=(MR)ᵀ定理3.10：逆运算的性质01.分配性(Distributivity)并、交、差运算与逆运算满足分配律：

(R⋃S)⁻¹=R⁻¹⋃S⁻¹

(R∩S)⁻¹=R⁻¹∩S⁻¹

(R−S)⁻¹=R⁻¹−S⁻¹02.可换性(Commutativity)补运算与逆运算的次序可以互换：

(~R)⁻¹=~(R⁻¹)此处~R表示R在全关系中的补关系03.对合性(Involution)对一个关系连续求逆两次，将回到原关系：

(R⁻¹)⁻¹=R这意味着求逆运算是一种“自逆”的运算04.单调性(Monotonicity)子集关系在逆运算下保持不变：

S⊆R⇔S⁻¹⊆R⁻¹逆运算保持了关系的包含序结构定理3.11：逆运算与复合运算的关系定理陈述设A、B、C是三个非空集合，

R是从A到B的二元关系，

S是从B到C的二元关系。(R∘S)⁻¹=S⁻¹∘R⁻¹复合关系的逆，等于各关系逆的反向复合。证明思路要证明两个关系相等，根据集合论的定义，需证明它们互为子集：1.证明包含关系：

(R∘S)⁻¹⊆S⁻¹∘R⁻¹2.证明包含关系：

(R∘S)⁻¹⊇S⁻¹∘R⁻¹逻辑严密性是证明的关键，不可遗漏任何一方。推导步骤(I)任取序偶<c,a>∈(R∘S)⁻¹，根据逆运算的定义：必有<a,c>∈R∘S根据复合运算的定义，存在中间元素b∈B，使得：

<a,b>∈R且<b,c>∈S再次利用逆运算定义，得：

<b,a>∈R⁻¹且<c,b>∈S⁻¹故可得结论：<c,a>∈S⁻¹∘R⁻¹定理3.12：逆运算与关系性质对称性(Symmetry)设R为集合X上的二元关系，则：

R是对称的当且仅当R=R⁻¹。

即关系图中任何两个不同节点间若有边，则必有双向边。反对称性(Antisymmetry)设R为集合X上的二元关系，则：

R是反对称的当且仅当R∩R⁻¹⊆IA。

即两个不同节点之间不存在双向边，仅允许存在自环。💡必要性(Necessity)若R对称，则对任意的<x,y>∈R，必有<y,x>∈R。

由逆关系定义，<x,y>∈R⇔<y,x>∈R⇔<x,y>∈R⁻¹。

因此R⊆R⁻¹且R⁻¹⊆R，故R=R⁻¹。💡充分性(Sufficiency)若R=R⁻¹，则对任意的<x,y>∈R，有<x,y>∈R⁻¹。

由逆关系定义，<x,y>∈R⁻¹⇔<y,x>∈R。

因此若<x,y>∈R，则必有<y,x>∈R，故R对称。关系运算与关系性质核心问题：如果关系R和S都满足某种性质（如对称性、自反性、传递性），那么它们进行常见的集合运算或关系特有运算后，结果是否还满足该性质？▍示例设定：对称性验证设集合A={1,2,3}•关系R={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>}(满足对称性)•关系S={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>,<1,3>,<3,1>}(满足对称性)注：对称性定义：若<x,y>∈R，则必有<y,x>∈R▍运算性质分析结果R∩S✅满足对称性R⋃S✅满足对称性R−S✅满足对称性逆关系(R⁻¹)✅满足对称性复合关系(R○S)❌不满足对称性关系运算对性质的保持性运算自反性反自反性对称性反对称性传递性R∩S(交)√√√√√R⋃S(并)√√√××R−S(差)×√√√×R○S(复合)√××××R⁻¹(逆)√√√√√交运算&逆运算表现最好：保持所有五种性质（自反、反自反、对称、反对称、传递）。并运算(R⋃S)部分失效：不保持反对称性和传递性，但保持自反、反自反和对称性。差运算(R−S)部分失效：不保持自反性和传递性，但保持反自反、对称和反对称性。复合运算(R○S)失效最多：仅保持自反性，不保持反自反性、对称性、反对称性和传递性。理论证明：交运算保持性质设R和S是集合A上的具有自反性、对称性和可传递性的关系。自反性(Reflexivity)对任意元素a∈A：因为关系R和S都是自反的，所以必然有<a,a>∈R且<a,a>∈S。根据交运算的定义，可知<a,a>∈R∩S。结论：R∩S具有自反性。对称性(Symmetry)对任意元素a,b∈A，假设<a,b>∈R∩S：则<a,b>∈R且<a,b>∈S。因为R和S均对称，故