《基础工程力学》-第二章平面力系的平衡及应用

第一节平面汇交力系的平衡一、平面汇交力系基本概念

在平面力系中，各力的作用线均汇交于一点的力系，称为平面汇交力系。如图2-1(a)所示，铰车通过绳索将重物吊起，重物的力、杆aB的力、杆Bc的力和绳索的力都作用于B点，这就是平面汇交力系。有时我们需要知道杆aB和Bc所受的力，以确定aB和Bc杆的截面积。吊钩吊起重物时的受力，压路机的碾子在压平路面时的受力也属于平面汇交力系，如图2-1(b)和图2-1(c)所示。返回下一页第一节平面汇交力系的平衡二、合力投影定理1.力在直角坐标轴上的投影投影的正负规定为:从a到b的指向与坐标轴:x正向相同时为正，反之为负。可见，图2-2所示力F在x轴上的投影为Fx=Fcosa。同理可得，力F在y轴上的投影为Fy=-sina。在直角坐标系Oxy中，若已知力F与x轴所夹的锐角为a，则力F在x,y轴上的投影分别为上一页返回下一页第一节平面汇交力系的平衡2.合力投影定理一般地，若，则式(2-2)称为合力投影定理，即合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。合力投影定理虽然是由平面汇交力系推出，但适用于任何力系。上一页返回下一页第一节平面汇交力系的平衡

由合力投影定理，可以求出平面汇交力系的合力。若刚体上作用一已知的平面汇交力系F1,F2,……Fn

式，根据合力投影定理，可得FRx,和FRy,(图2-3)，即合力的大小和方向为上一页返回下一页第一节平面汇交力系的平衡三、平面汇交力系的平衡由上述讨论可知，空间汇交力系同平面汇交力系一样，其合成结果亦为一合力，即平面汇交力系可用其合力来代替。如果合力等于零，则物体在平面汇交力系的作用下处于平衡状态。所以平面汇交力系平衡的充分必要条件是该力系的合力FR等于零。由式(2-3)有由此可得平面汇交力系平衡方程:上一页返回下一页第一节平面汇交力系的平衡【例2-2】如图2-4(a)所示，重物重W=20kN，用钢丝绳挂在支架的滑轮B上，钢丝绳的另一端绕在绞车D上，杆AB与BC铰接，并以铰链A,C与墙连接。如杆与滑轮的自重不计，并忽略摩擦及滑轮的大小，求平衡时杆AB和BC的受力。

(1)取滑轮B为研究对象，略去大小，画其受力图，如图2-4(b)所示。由图可知，滑轮B受平面汇交力系作用，其中(2)建立直角坐标系，如图2-4(b)所示，列平衡方程求解。上一页返回下一页第一节平面汇交力系的平衡得由式(1)得由式(2)上一页返回第二节平面任意力系的平衡方程

一、平面任意力系的实例及平面任意力系的平衡方程

1.平面任意力系的实例各力的作用线位于同一平面内但不全汇交于一点，也不全互相平行的力系称为平面任意力系。如图2-6所示为一悬臂吊车示意图，横梁仙的自重，小车及其载荷以及BC杆的拉力，它们既不汇交于一点，互相之间也不全平行，这就是平面任意力系。返回下一页第二节平面任意力系的平衡方程2.平面任意力系的平衡方程平面任意力系的平衡条件为:力系中各力在坐标轴上投影的代数和等于零，各力对平面内任意一点之矩的代数和等于零。通常称前两个方程为投影方程，称后一个方程为力矩方程。上一页返回下一页第二节平面任意力系的平衡方程【例2-4】图2-8(a)所示梁，已知F=15N,M=3kNm，求A,B铰支座的约束力。解(1)选取AB梁为研究对象。

(2)画受力图。AB梁受有F,M和A,B铰支座约束力Fax，Fay

。FR的作用，形成平面任意力系，如图2-8(b)。它包含凡，凡。F。三个未知量，能够全部求解。

(3)选取图2-8(b)所示坐标系。

(4)列平衡方程求解上一页返回下一页第二节平面任意力系的平衡方程故故上一页返回第三节简单物体系统的平衡一、物系及物系平衡的概念

1.物系的概念由若干个物体通过适当的连接方式(约束)组成的系统称为物体系统，简称物系。下程实际中的结构或机构.如多跨梁、三铰拱、组合构架、曲柄滑块机构等都可看做物体系统，如图2-11所示。

2.物系平衡的概念所谓物系平衡，即组成该系统的每一个物体均处于平衡状态;反之，物体系统中每一个物体都平衡，则整个物体系统也处于平衡状态。求解物系平衡问题，习惯上采用两种解法:

逐次拆开选择单个物体或某几个物体为研究对象，列出对应的平衡方程，求出所需的全部未知量。

返回下一页第三节简单物体系统的平衡

先整体后拆开先取整个物系为研究对象，解出部分未知量，再将物系拆开，选取物系中某个或某些物体为研究对象，列出相应的平衡方程，求解其余未知量。二、物体平衡问题解法举例

【例2-7】如图2-12(a)所示的压榨机中，杆AB,BC的长度相等，自重不计，AB,C三处为铰链连接。已知活塞D受到的油压力F=3000N,h=200mm,L=1500mm求压块C加在工件上的压力及杆AB,BC的受力。上一页返回下一页第三节简单物体系统的平衡

解：由作用与反作用关系可知，压块C加在工件上的压力可由工件对压块C的约束力药求出。压块C受到BC杆的压力，AB杆、BC杆均为二力构件，如图2-12(b)所示，其受力可通过研究销钉B的受力求得。

(1)取销钉B为研究对象，画出其受力图，建立直角坐标系，如图2-12(c)所示。列平衡方程求解上一页返回下一页第三节简单物体系统的平衡(2)取压块C为研究对象，画受力图，建立直角坐标系，如图2-12(d)所示。列平衡方程求解上一页返回第四节摩擦与自锁一、摩擦的基本概念

1.静滑动摩擦力及其应用当两个相互接触的物体只有相对滑动趋势时，接触面间所产生的摩擦力称为静滑动摩擦力，简称静摩擦力，用FS表示。其方向与物体相对滑动趋势方向相反。

2.动滑动摩擦力及其应用在上面的实验中，当拉力FT超过最大静摩擦力时，物块开始滑动。两个相互接触的物体开始出现相对滑动时，接触面间所产生的摩擦力称为动滑动摩擦力，简称动摩擦力，用Fd表示。显然，动滑动摩擦力的方向与物体相对滑动方向相反。动摩擦力与两物体间的正压力成正比，即返回下一页第四节摩擦与自锁

就是动滑动摩擦定律。式中的比例常数拜称为动滑动摩擦因数，简称动摩擦因数。动摩擦因数小于静摩擦因数，但精度要求不高时，可认为两者相等。滑动摩擦力分为三种情况:物体相对静止时(只有相对滑动趋势)临界平衡状态(只有相对滑动趋势)物体有相对滑动时上一页返回下一页第四节摩擦与自锁[例2-9]图2-15(a)所示为一个制动装置，鼓轮与制动片之间的静摩擦因数为μs，作用在鼓轮上的力矩为M，几何尺寸如图。求制动所需力F的最小值。解(1)取鼓轮为研究对象，制动时制动片阻止鼓轮转动，摩擦力方向向右。画出其受力图，建立直角坐标系，如图2-15(b)所示。列平衡方程求解制动时，制动杆平衡若F最小，列补充方程上一页返回下一页第四节摩擦与自锁(2)取制动杆为研究对象，画出其受力图，建立直角坐标系，如图2-15(c)所示。列平衡方程求解上一页返回下一页第四节摩擦与自锁二、摩擦角和自锁1.摩擦角的基本概念当物体处于滑动的临界状态时，静摩擦力Fs达到最大值Fsmax

，此时FR与FN的夹角也最大，此时的φm称为摩擦角。在图2-17中，堆放松散的物质，如砂、土、煤、粮食时，能够堆起的最大坡角，称为休止角，它就是松散物质间的摩擦角。用休止角可以算出一定面积的场地能堆放物质的量。在铁道上，需要决定铁路路基侧面的最大倾角，以防止滑坡;自动卸货汽车的翻斗在车身上抬起要大于摩擦角，以保证卸车时能将翻斗内的货物倾卸干净;工作台在工作中应克服自锁现象引起的“卡死”现象等。上一页返回下一页第四节摩擦与自锁2.自锁的基本概念.螺旋自锁自锁条件:.楔块自锁条件:.凸轮机构如图2-18(c)所示，要求推杆不被卡住，推杆滑动条件为.电工用套钩攀登电线钩如图2-18(d)所示，防止电工坠落，攀登钩的自锁条件为.砖夹如图2-18(e)示，要求砖夹卡住不滑掉，机构自锁条件为上一页返回第五节重心和形心的概念及应用一、物体重心与形心的概念

1.重心在对工程实际中的物体进行分析研究时，经常需要确定研究对象的重力的中心，即重心。我们知道，重力是地球对物体的引力，也就是说，若将物体看成是由无穷多个质点所组成，则每个质点都会受到地球重力的作用，这些力均应汇交于地心，构成一空间汇交力系。但物体在地面附近时，由于物体几何尺寸远小于地球，所以，组成物体的各质点所受的重力可近似看成是一平行力系。而这一同向的平行力系的合力作用点即为物体的重心，且相对物体而言其重心的位置是固定不变的。返回下一页第五节重心和形心的概念及应用

假设如图2-19所示一刚体是由n个质点所组成，C点为刚体的重心。为研究该刚体的重心位置，建立图示与刚体固定的空间直角坐标系Oxyz，刚体内一质点Mi为组成刚体的n个质点中的任一质点。设刚体和该质点的重力分别为G和Gi，且刚体的重心和质点的坐标分别为因为刚体的重力G等于组成刚体的各个质点的重力Gi的合力，即上一页返回下一页第五节重心和形心的概念及应用应用对y轴的合力矩定理，则有所以同理，若应用对x轴的合力矩定理，则有上一页返回下一页第五节重心和形心的概念及应用即因为物体的重心位置与物体如何放置无关，所以可将物体连同坐标系一起绕x轴转动90°，如图2-20所示，再应用合力矩定理对x轴取矩，则可得综上所述，可知物体重心坐标计算公式为上一页返回下一页第五节重心和形心的概念及应用或可将上式写成矢径形式

2.形心物体的几何形状的中心又称为物体的形心。式(2-14)及式(2-15)又称为物体的形心坐标计算公式。也就是说，对于匀质物体，其重心和形心位置是重合的。同理，我们还可以得到匀质等厚薄板及匀质等截面细长杆件的重心坐标计算公式，可见表2-1所示。上一页返回下一页第五节重心和形心的概念及应用二、重心和形心的应用对于具有对称面、对称轴或对称中心的匀质物体，其重心位置一定在此物体的对称面、对称轴或对称中心上。若物体有两个对称面或对称轴，则重心必在它们的交线或交点上。利用物体的这些特性可使求重心坐标的过程大大简化。但需注意，重心和形心的物理意义不同，是两个不同的概念。只有当物体为匀质物体时，其重心和形心位置才是重合的。若是非匀质物体，则其重心与形心不会重合。对于一般较为复杂的物体，确定其重心位置的方法一般有以下三种。上一页返回下一页第五节重心和形心的概念及应用1.积分法积分法是求重心位置的基本方法。对于质量连续分布的物体均可利用积分法求解。

【例2-10】试求半径为R,圆心角为2α的匀质扇形面积的重心坐标。解可建立如图2-21所示的坐标，取x轴为扇形的对称轴，则重心必在x轴上，即yc=0，故只需求xc=0。可任取一微扇形，如图中阴影面积所示，其可近似看作一等腰三角形，由三角形的性质可知其重心A应距坐标原点O的距离为

OA=2/3R

上一页返回下一页第五节重心和形心的概念及应用则该三角形的微面积和对X轴的坐标为由公式(2-15)可得上一页返回下一页第五节重心和形心的概念及应用所以，在图示坐标系下，该扇形的重心坐标为

2.组合法若可将一均质形体分割为几个已知其重心位置的简单图形，则可应用分割法求解该形体的重心坐标。

3.实验法当物体的外形较复杂而不易由公式求其重心位置时，可利用实验的方法测出其重心的位置，一般通过实验手段得到物体重心的方法有悬挂法和称重法两种。上一页返回下一页第五节重心和形心的概念及应用(1)悬挂