教学材料《静力学》-第2章

2.1平面汇交力系合成与平衡的几何法在工程中常常碰到一些特殊力系，如图2-1和图2-2所示。这种作用于物体上的各力作用线位于同一平面内，且汇交于一点的力系，称为平面汇交力系。另外还有一种和转动作用有关的平面力偶系，如图2-3所示。下一页返回2.1平面汇交力系合成与平衡的几何法2.1.1平面汇交力系合成的几何法１两个汇交力的合成可根据力的平行四边形法则或三角形法则求得合力的大小与方向。如图2-4（ａ）所示，作用在物体上的任意两个不平行的力F1和F2，根据力的可传性原理，可将这两个力分别沿其作用线移到汇交点，即成为作用在物体上同一点的两个汇交力。如图2-4（ｂ）所示，其合力可根据力的平行四边形法则来确定，合力的作用线通过汇交点，用矢量式表示为R=F1+F2下一页返回上一页2.1平面汇交力系合成与平衡的几何法同理，利用力的三角形法则也可确定合力R的大小和方向，如图2-4（ｃ）所示。但必须注意力三角形的矢序规则，分力矢F1和F2沿环绕三角形边界的某一方向首尾相接，而合力R则沿相反方向从起点指向最后一个分力矢的末端。作图时若变换分力矢F1和F2的顺序，则得到不同的力三角形。但所得合力矢的大小和方向是一样的。如果在刚体的点犃处作用两个共线的力F1和F2。如图2-5（ａ）所示，那么，当两力同向时，合力的大小等于这两力大小的和，方向与两力相同；当两力反向时，合力的大小等于两力的差，方向与其中较大的力相同，如图2-5（ｂ）所示。下一页返回上一页2.1平面汇交力系合成与平衡的几何法２任意个汇交力的合成如图2-6（ａ）所示，设物体受到平面汇交力系F1，F2，F3，F4的作用。求此力系的合力时，可连续使用力的三角形法则。如先求F1和F2的合力R1，再求R1和F3的合力R2，最后将R2与F4合成，即得力系的合力R。由作图的结果可以看出，在求合力R时，表示R

1和R2的线段完全可以不画。可将各力F1，…，F4依次首尾相接，形成一条折线，连接其封闭边，从F1的始端指向F4的末端所形成的矢量即为合力，如图2-6（ｃ）所示，此法称为力的多边形法则。画力多边形时，若改变各分力相加的次序，将得到形状不同的力多边形，但最后求得的合力不变，如图2-7所示。下一页返回上一页2.1平面汇交力系合成与平衡的几何法2.1.2平面汇交力系平衡的几何条件若刚体在一平面汇交力系作用下处于平衡，则该力系的合力为零；反之，当力系的合力为零时，则刚体处于平衡状态。由于平面汇交力系可用其合力来代替，显然，平面汇交力系平衡的充分和必要条件是：该力系的合力等于零。以矢量等式表示为下一页返回上一页2.1平面汇交力系合成与平衡的几何法在平衡情况下，合力为零，因此力的多边形中最后一力的终点与第一力的起点重合，此时力的多边形成为封闭的力多边形。即在力多边形中，所有各力首尾相接，形成一闭合多边形（所有各力矢沿着环绕力的多边形边界的同一方向）。因此得出结论，平面汇交力系平衡的充分必要条件是：该力系的力多边形自行封闭，这就是平面汇交力系平衡的几何条件。下一页返回上一页2.1平面汇交力系合成与平衡的几何法例2-1支架ABC由横杆AB与支撑杆BC组成，如图2-8所示。A，B，C处均为铰链连接，B端悬挂重物，其重力W＝５ｋＮ，杆重不计，试求两杆所受的力。解:(1)选择研究对象，以销子召为研究对象。

(2)受力分析、画受力图。由于AB,BC杆自重不计，杆端为铰链，故均为二力杆，两端所受的力的作用线必过直杆的轴线。根据作用力与反作用力公理，它的约束反力F1,F2作用于召点，此外，绳子的拉力W(大小等于物体的重力)也作用于召点，F1,F2,W组成平面汇交力系，其受力图如图2-8(b)所示。返回上一页2.1平面汇交力系合成与平衡的几何法(3)根据平衡几何条件求出未知力。当销子平衡时，三力组成一个封闭力三角形，先画w，过a,b点分别作F2,F1的平行线，汇交于c点，于是得力三角形abc，则线段bc的长度为F1的大小，线段ca的长度为F2的大小，力指向符合首尾相接的原则，如图2-8(c)所示。由平衡几何关系求得返回上一页下一页2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法2.2.1力的分解由２．１节知道，两个共点力可以合成为一个合力，解答是唯一的；可是反过来，要把一个已知力分解为两个力，若无足够的条件限制，其解答将是不定的。因为在力的平行四边形法则R=F1+F2中，每一个矢量都包含有大小和方向两个要素，故上式共有六个要素，必须已知其中四个才能确定其余两个。在已知合力大小和方向的条件下，还必须规定另外两个条件，例如，规定两个分力的方向；或两个分力的大小；或一个分力的大小和方向；或一个分力的大小和另一个分力的方向等。所以要使问题有确定的解答，必须附加足够的条件。下一页返回2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法2.2.2力在直角坐标系上的投影如图2-10所示，设在平面直角坐标系Oxy内，有一已知力F，从力F的两端A和B分别向x，y轴作垂线，得到线段ab和a′b′，其中ab为力犉在狓轴上的投影，以犡表示；a′b′为力F在y轴上的投影，以Y表示。并且规定：当力的始端到末端投影的方向与坐标轴的正向相同时，投影为正；反之为负。图2-10（ａ）中的X，Y均为正值，图2-10（ｂ）中的X，Y均为负值。所以，力在坐标轴上的投影是代数量。下一页返回上一页2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法力的投影的大小可用三角公式计算，设力犉与狓轴的正向夹角为α，则对于图2-10（ａ）的情况为X＝FｃｏｓαY＝Fｓｉｎα对于图２１０（ｂ）的情况为X＝－FｃｏｓαY＝－Fｓｉｎα下一页返回上一页2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法2.2.3合力投影定理合力投影定理建立了合力的投影与分力的投影之间的关系。图2-11表示平面汇交力系图2-11的各力矢F1，F2，F3，F4组成的力多边形，R为合力。将力多边形中各力矢投影到x轴上，由图可见ae=ab+bc+cd-de下一页返回上一页2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法2.2.4平面汇交力系合成的解析法求平面汇交力系合力的解析法，是用力在直角坐标轴上的投影，计算合力的大小，确定合力的方向。设在刚体上的点O处，作用了由n个力F１，F２，…，Fn组成的平面汇交力系，如图2-12（ａ）所示，求合力的大小和方向。设X１和Y１，X２和Y２，…，Xn和Yn分别表示力F１，F２，…，Fn在正交轴OX和OY上的投影。根据合力投影定理，可求得合力R在这两轴上的投影，如图2-12（ｂ）所示。下一页返回上一页2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法例2-3如图2-13所示，在物体的O点作用有四个平面汇交力。已知F1＝１００Ｎ，F２＝１００Ｎ，F３＝１５０Ｎ，F４＝２００Ｎ，F１水平向右，试用解析法求其合力。解:取直角坐标系Oxy，如图2-13所示。根据图2-13所给的角度在图上标出各力与坐标轴的夹角，于是有下一页返回上一页2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法从FRx,FRy的代数值可见，FRx沿x轴的负向，FRy沿y轴的正向，见图2-13(b)。由式(2-11)得合力的大小可以用式(2-12)来确定FR的方向下一页返回上一页2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法2.2.5平面汇交力系平衡的解析条件平面汇交力系的平衡条件是力系的合力等于零。合力的大小为当合力为零时即下一页返回上一页2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法由此可知，平面汇交力系平衡的充分必要条件是力系中所有力在任意两个坐标轴上投影的代数和为零。应用平衡方程来解决工程上的平衡问题是静力学的主要任务之一。下面举例说明平面汇交力系平衡方程的应用。下一页返回上一页2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法例2-4简易起重装置如图2-14（ａ）所示，重物吊在钢丝绳的一端，钢丝绳的另一端跨过定滑轮A，绕在绞车D的鼓轮上，定滑轮用直杆AB和AC支承，定滑轮半径较小，其大小可略去不计，设重物重力W＝２ｋＮ，定滑轮、各直杆以及钢丝绳的重力不计，各处接触均为光滑。试求匀速提升重物时，杆AB和AC所受的力。解:杆AB和AC的受力可以通过它们对滑轮的反力求出。因此，可以选取滑轮为研究对象，其上受有AB和AC杆的反力，因AB和AC杆为二力杆，所以反力的方向沿杆的轴线。此外滑轮上还受有绳索的拉力，与W大小相等。滑轮的受力图如图2-14(b)所示。其中只有NAB和NAC的大小未知，两个未知数可由汇交力系平衡方程解出。下一页返回上一页2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法由得下一页返回上一页2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法再由可得NAC为负值，表明NAC的实际指向与假设方向相反，因此，AC杆为受压杆。下一页返回上一页2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法通过以上的例题，可以看出静力分析的方法在求解静力学平衡问题中的重要性。归纳出平面汇交力系平衡方程的应用主要步骤和注意事项如下：（１）选择研究对象时应注意：①所选择的研究对象应作用有已知力（或已经求出的力）和未知力，这样才能应用平衡条件由已知力求得未知力；②先以受力简单并能由已知力求得未知力的物体作为研究对象，然后再以受力较为复杂的物体作为研究对象。（２）取隔离体，画受力图。研究对象确定之后，进而需要分析受力情况，为此，需将研究对象从其周围物体中隔离出来。根据所受的外载荷画出隔离体所受的主动力；根据约束性质、画出隔离体上所受的约束力，最后得到研究对象的受力图。下一页返回上一页2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法（３）选取坐标系，计算力系中所有的力在坐标轴上的投影。坐标轴可以任意选择，但应尽量使坐标轴与未知力平行或垂直，可以使力的投影简便，同时使平衡方程中包括最少的数目的未知量，避免解联立方程。（４）列平衡方程，求解未知量。若求出的力为正值，则表示受力图上所设的力的指向与实际指向相同；若求出的力为负值，则表示受力图上力的实际指向与所假设指向相反，在受力图上不必改正。在答案中要说明力的方向。返回上一页2.3平面力对点的矩力对物体的作用效应有两种情况：①如果力的作用线通过物体的质心，将使物体在力的方向上平动，例如放在光滑桌面上的矩形玻璃板，如图2-18（ａ）所示，在力F作用下平动；②如果力F的作用线不通过物体的质心，物体将在力F作用下，边平动边转动，如图2-18（ｂ）所示。下一页返回2.3平面力对点的矩2.3.1力对点的矩的概念实践表明，作用在物体上的力除有平动效应外，有时还同时有转动效应。必须指出，一个力不可能只使物体产生绕质心的转动效应。如单桨划船，船不可能在原处旋转。但是，作用在有固定支点的物体上的力将对物体只产生绕支点的转动效应。如用扳手拧螺母，作用于板手上的力F使扳手绕固定点O转动，如图2-19所示。下一页返回上一页2.3平面力对点的矩由经验可知，使螺母绕O点转动的效果，不仅与力F的大小成正比，而且与O点至该力作用线的垂直距离h也成正比。同时，如果力F使扳手绕O点转动的方向不同，则其效果也不同。由此可见，力F使扳手绕O点转动的效果，取决于两个因素：力的大小与犗点到该力作用线垂直距离的乘积（F·h）和力使扳手绕O点转动的方向。可用一个代数量±Fh来表示，称为力对点O的矩，简称力矩。用公式记为O点称为力矩中心，简称矩心，距离h称为力臂。下一页返回上一页2.3平面力对点的矩在平面问题中，力对点的矩是一个代数量，力矩的大小等于力的大小与力臂的乘积。其正负号表示力使物体绕矩心转动的方向。通常规定：力使物体做逆时针方向转动时力矩为正，如图2-20（ａ）所示；反之为负，如图2-20（ｂ）所示。力矩的单位在国际单位制中为牛顿米，符号为牛·米（Ｎ·ｍ），或千牛顿米，符号为千牛·米（ｋＮ·ｍ）。力矩在下列两种情况下等于零：（１）力的大小为零。（２）力的作用线通过矩心，即力臂等于零。下一页返回上一页2.3平面力对点的矩2.3.2合力矩定理在计算力矩时，有时直接按力乘以力臂计算比较困难。这时，如果将力作适当分解，计算各力的分力的力矩则很方便。利用合力矩定理，可以建立合力对某点的矩与其分力对同一点的矩之间的关系。平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于力系中各分力对于该点力矩的代数和。即下一页返回上一页2.3平面力对点的矩例2-8

图2-21中带轮直径D＝４００ｍｍ，平带拉力F１＝１５００Ｎ，F２＝７５０Ｎ，与水平线夹角θ＝１５°。求平带拉力F１，F２对轮心O的矩。解:皮带拉力沿带轮的切线方向，则力臂d=D/2，而与角θ无关。根据返回上一页2.4平面力偶系合成与平衡2.4.1力偶与力偶矩在工程问题中，常常遇到承受力偶作用的物体。所谓力偶，是由大小相等、方向相反、不共线的两个平行力F与F′所组成，通常用符号（F，F′）表示。两力作用线所决定的平面称为力偶的作用面，而力作用线间的垂直距离称为力偶臂。如图2-23所示，用丝锥攻丝和汽车司机转动方向盘等，都是受到大小相等、方向相反但作用线不在同一直线上的两个平行力的作用。下一页返回2.4平面力偶系合成与平衡在力偶中，等值、反向平行力的合力显然等于零，但由于它们不共线而不能相互平衡，它们能使物体改变转动状态。既然力偶不能合成为一个力或用一个力来等效替换，那么力偶也不能用一个力来平衡。因此，力和力偶是静力学的两个基本要素。力偶由两个力组成，它的作用是改变物体的转动状态。因此，力偶对物体的转动效果，可用力偶的两个力对其作用面内某点的矩的代数和来度量。下一页返回上一页2.4平面力偶系合成与平衡设有力偶（F，F′），其力偶臂为d，如图2-24所示。力偶对点O的矩为mo（F，F′），则因为矩心犗是任意选取的，由此可知，力偶的作用效果决定于力的大小和力偶臂的长短，与矩心的位置无关。下一页返回上一页2.4平面力偶系合成与平衡由于力偶在平面内的转向不同，作用效果也不相同。因此，力偶对物体的作用效果，由以下两个因素决定：（１）力偶矩的大小。（２）力偶在作用平面内的转向。若把力偶矩视为代数量，就可以包括这两个因素，即m＝±Fd于是可得结论：力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的大小与力偶臂的乘积，正负号表示力偶的转向：逆时针转向为正，反之则为负。力偶矩的单位与力矩相同，也是牛顿·米（Ｎ·ｍ）。下一页返回上一页2.4平面力偶系合成与平衡2.4.2力偶的等效条件定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶等效。如图2-25所示，汽车司机用双手转动方向盘，作用于汽车方向盘上的力偶（F１，F′１）与具有相同力偶矩的另外一个力偶（F２，F′２）使方向盘产生完全相同的运动效应。下一页返回上一页2.4平面力偶系合成与平衡由此可知，同平面内力偶等效的条件是：力偶矩的大小相等，力偶的转向相同。并可得出两个重要推论：（１）只要不改变力偶矩的大小和力偶的转向，力偶的位置可以在它的作用平面内任意移动或转动，而不改变它对物体的作用效果。（２）只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶的力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对物体的作用效果。下一页返回上一页2.4平面力偶系合成与平衡2.4.3力偶的性质力偶是两个具有特殊关系的力的组合，具有与单个力不同的性质，现说明如下：（１）力偶的两个力在任何坐标轴上的投影代数和为零。力偶没有合力。因此力偶不能与一个力平衡，它必须用力偶来平衡。（２）力偶对物体的作用效应取决于力偶的两要素，而与力偶的作用位置无关。（３）力偶对