现代控制理论 课件 第五章李雅普诺夫稳定性分析

第五章李雅普诺夫稳定性分析主讲：伍锡如第五章目录CONTENTS125.1李雅普诺夫意义下的稳定性问题5.2李雅普诺夫稳定性理论5.1李雅普诺夫意义下的稳定性问题5.1.15.1.3平衡状态、给定运动与扰动方程的原点预备知识5.1.2李雅普诺夫意义下的稳定性定义5.1引言

对于一个给定的控制系统，稳定性分析通常是最重要的。如果系统是线性定常的，那么有许多稳定性判据，如劳斯—赫尔维茨稳定性判据和奈奎斯特稳定性判据等可资利用。然而，如果系统是非线性的，或是线性时变的，上述稳定性判据就将不再适用。

1892年俄国数学家李雅普诺夫(A.M.Lyapunov)就如何判别系统的稳定性问题，提出了李雅普诺夫稳定性理论方法。该方法分为李雅普诺夫第一法和李雅普诺夫第二法。设系统方程为

：式中，x

为

n维状态向量，且显含时间变量

t；f(x,t)为线性或非线性、定常或时变的

n维函数，其展开式为:假定方程的解为

x(t;x0,t0)，式中

x0和

t0分别为初始状态向量和初始时刻，则初始条件

x0必满足

x(t;x0,t0)=x0。

李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。对于所有

t，满足：的状态

xe

称为平衡状态。平衡状态的各分量相对于时间不再发生变化，若已知状态方程，令

所求得的解

x

，便是平衡状态。线性定常系统

，其平衡状态满足

，当

A

为非奇异矩阵时，系统只有唯一的零解，即只存在一个位于状态空间原点的平衡状态。若

A为奇异矩阵，则系统存在有无穷多个平衡状态。对于非线性系统，可能有一个或多个平衡状态。

5.1.1平衡状态、给定运动与扰动方程的原点5.1.1平衡状态、给定运动与扰动方程的原点5.1.2李雅普诺夫意义下的稳定性定义设系统初始状态位于以平衡状态

xe为球心，δ为半径的闭球域

S(δ)内，即若能使系统方程的解

x(t;x0,t0)在

的过程中，都位于以

xe为球心、任意规定的半径为

ε的闭球域

S(ε)

内，即

则称系统的平衡状态

xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。式中

为欧几里得范数，其几何意义是空间距离的尺度。实数

δ与

ε有关，通常也与

t0有关。如果

δ与

t0无关，则称平衡状态是一致稳定的。注意：按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡运动时，将在平面描绘出一条封闭曲线，但只要不超出

S(ε)

，则认为是稳定的，这与经典控制理论中线性定常系统稳定性的定义是有差异的。5.1.2李雅普诺夫意义下的稳定性定义5.1.2李雅普诺夫意义下的稳定性定义(1)渐近稳定性：若系统的平衡状态

xe不仅具有李雅普诺夫意义下的稳定性，且有则称此平衡状态是渐近稳定的。这时，从

S(δ)出发的轨迹不仅不会超出

S(ε)

，且当

时收敛于

xe。显见经典控制理论中的稳定性定义与稳定性对应。若

δ与

t0无关，且上式的极限过程与

t0无关，则称平衡状态是一致渐近稳定的。(2)大范围（全局）渐近稳定性：当初始条件扩展至整个状态空间，且平衡状态均具有渐近稳定性时，称此平衡状态是大范围渐近稳定的。此时，

。当

时，由状态空间中任一点出发的轨迹都收敛至

xe。对于严格线性的系统，如果它是渐近稳定的，必定是大范围渐近稳定，这是因为线性系统的稳定性与初始条件的大小无关。而对于非线性系统来说，其稳定性往往与初始条件大小密切相关，系统渐近稳定不一定是大范围渐近稳定。(3)不稳定性：如果对于某个实数

和任一个实数

，不管这两个实数有多么小，在

S(δ)内总存在着一个状态

x0

，使得由这一状态出发的轨迹超出

S(ε)

，则平衡状态

xe就称为是不稳定的。上图分别表示平衡状态及对应于稳定性、渐近稳定性和不稳定性的典型轨迹。域

S(δ)制约着初始状态

x0

，而域

S(ε)

是起始于

x0

的轨迹的边界。此外，当轨迹离开了

S(ε)

，这说明平衡状态是不稳定的。然而却不能说明轨迹将趋于无穷远处，这是因为轨迹还可能趋于在

S(ε)

外的某个极限环。5.1.2李雅普诺夫意义下的稳定性定义稳定平衡状态渐近稳定平衡状态不稳定平衡状态5.1.3预备知识标量函数的符号性质（1）标量函数的正定性。（2）标量函数的负定性。（3）标量函数的正半定性。（4）标量函数的负半定性。（5）标量函数的不定性。5.1.3预备知识5.1.3预备知识设x1，x2，⋯，xn为n个变量，定义二次型标量函数为：二次型V(x)为正定的充要条件是矩阵P的所有主子行列式均为正值，即二次型标量函数5.1.3预备知识设实对称矩阵：各阶主子行列式：矩阵P（或V(x)）定号性的充要条件是：（1）若，则P（或V(x)）为正定的。（2）若,则P（或V(x)）为负定的。（3）若，则P（或V(x)）为半正定的。（4）若，则P（或V(x)）为半负定的。希尔维斯特判据5.1.3预备知识例1

证明下列二次型是正定的。

解：二次型V(x)可写为

利用赛尔维斯特准则，可得因为矩阵P的所有主子行列式均为正值，所以V(x)是正定的。5.2李雅普诺夫稳定性理论5.2.15.2.3李雅普诺夫第一法(间接法)线性系统的稳定性与非线性系统的稳定性比较5.2.2李雅普诺夫第二法(直接法)5.2.4线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析5.2.5线性定常离散系统渐近稳定的判别5.2.1李雅普诺夫第一法（间接法）5.2.1李雅普诺夫第一法（间接法）基本思路是：首先将非线性系统线性化，然后计算线性化方程的特征值，最后则是判定原非线性系统的稳定性其结论如下：（1）若线性化系统的系数矩阵A的特征值全部具有负实部，则实际系统就是渐近稳定的。线性化过程被忽略的高阶导数项对系统的稳定性没有影响。（2）若线性化系统的系数矩阵A的只要有一个实部为正的特征值，则实际系统就是不稳定的，与线性化过程被忽略的高阶导数项无关。（3）若线性化系统的系数矩阵A的特征值中，即使只有一个实部为零，其余的都具有负实部，此时实际系统不能依靠线性化的数学模型判别其稳定性。这时系统稳定与否，与被忽略的高阶导数项有关，必须分析原始的非线性数学模型才能决定其稳定性。5.2.1李雅普诺夫第一法（间接法）

5.2.1李雅普诺夫第一法（间接法）例2设系统的状态空间表达式为：

解：（1）由A阵的特征方程可得特征值。故系统的状态不是渐近稳定的。5.2.1李雅普诺夫第一法（间接法）（2）由系统的传递函数：可见传递函数的极点

s=-1位于

s的左半平面，故系统输出稳定。①状态不稳定，输出不一定不稳定。②系统的传递函数不出现零极对消现象，并且矩阵A的特征值与系统传递函数W(s)的极点相同，此时系统的状态稳定性才与其输出稳定性相一致。5.2.1李雅普诺夫第一法（间接法）非线性系统的稳定性设在零输入下系统的状态方程为：f(x)对x具有连续的偏导数，f(x)为与x同维的矢量函数(函数矩阵)，xe为平衡状态。讨论系统在其平衡状态xe处的稳定性，可将非线性矢量函数在xe邻域内展开成泰勒级数，并引入新的向量把平衡状态移到坐标的原点。5.2.1李雅普诺夫第一法（间接法）A是n×n雅可比矩阵

G(y)的元素在平衡状态为零，因此，可在原点附近将方程式线性化表示为5.2.1李雅普诺夫第一法（间接法）在此基础上，李雅普诺夫给出了如下结论：（1）如果方程式中系数矩阵A的所有特征值都具有非正（负或零）实部，且具有零实部的特征值为A的最小多项式的单根，则原非线性系统式状态方程在平衡状态xe，是在李雅普诺夫意义下稳定的。（2）如果A的所有特征值都具有负实部，则原非线性系统的平衡状态xe，是渐近稳定的，而且系统的稳定性与高阶导数项无关。（3）如果A的特征值，至少有一个具有正实部，则原非线性系统的平衡状态xe，是不稳定的。（4）如果A的特征值，至少有一个的实部为零，系统处于临界情况，那么原非线性系统的平衡状态xe

的稳定性将取决于高阶导数项G(y)而不能由A的特征值符号来确定。由于所讨论的为线性定常系统，当其为稳定时必是一致稳定，当其为渐定稳定时必是大范围一致渐近稳定。5.2.1李雅普诺夫第一法（间接法）例3设系统的状态方程为：试分析系统在平衡状态处的稳定性。

解：系统有两个平衡状态在xe1处将其线性化，得：即：5.2.1李雅普诺夫第一法（间接法）其特征值为，可见原非线性系统在xe1处是不稳定的。在xe1处将其线性化，得：即：其特征值为±j1，实部为零，因而不能由线性化方程得出原系统在xe2处稳定性的结论。5.2.1李雅普诺夫第一法（间接法）例4已知非线性系统由下列方程组描述，并假定其中

u=U=常数，试分析系统在其平衡状态的稳定性。

解：先求系统可能的平衡状态。解得系统的一个平衡状态为5.2.1李雅普诺夫第一法（间接法）为将坐标原点移到平衡状态xe，取新的状态变量为则给定非线性系统的新状态方程为根据雅可比矩阵的方程式可得5.2.1李雅普诺夫第一法（间接法）于是得给定非线性方程在其平衡状态附近的一次近似方程为该近似方程的特征方程为显然，如果，则当时，原非线性系统在其平衡状态是渐近稳定的，而在时，将是不稳定的。5.2.2李雅普诺夫第二法（直接法）第二法又称直接法，它不需求出微分方程的解，也就是说，采用李雅普诺夫第二法，可以在不必求解系统的状态方程的条件下，就能对其在平衡点处的稳定性进行分析和做出判断，并且这种判断是准确的，而不包含近似。由于求解非线性系统和线性时变系统的状态方程通常十分困难，所以这种方法显示出极大的优越性。李雅普诺夫提出，虚构一个能量函数（后来被称为李雅普诺夫函数），一般它与x1,x2,…,xn和

t有关，记以V(x,t)；若不显含t，则记以V(x)。它是一个标量函数，考虑到能量总大于零，故为正定函数。能量衰减特性用

表示。李雅普诺夫第二法利用

的符号特征，直接对平衡状态稳定性作出判断，无需求出系统状态方程的解，故称直接法。用此方法解决了一些用其它稳定性判据难以解决的非线性系统的稳定性问题，但是对一般非线性系统仍未找到构李雅普诺夫函数的通用方法。对于线性系统，通常用二次型函数

xTPx作为李雅普诺夫函数。5.2.2李雅普诺夫第二法5.2.2李雅普诺夫第二法（直接法）（1）标量函数定号性的简要回顾正定性

标量函数V(x)对所有在域

S中的非零状态

x有V(x)＞0且V(x)=0，则在域S（域

S包含状态空间的原点）内的标量函数V(x)称为是正定的。如果时变函数V(x,t)由一个定常的正定函数作为下限，也就是说，存在一个正定函数W(x)，使得则称时变函数V(x,t)在域S（域

S包含状态空间的原点）内是正定的。负定性

如果-V(x)是正定函数，则标量函数V(x)称为负定函数。

正半定性

如果标量函数V(x)除了原点及某些状态处等于零外，在域

S内的所有状态都是正定的，则称V(x)为正半定函数。负半定性

如果-V(x)是正半定函数，则标量函数称为负半定函数。

不定性

如果在域

S内，不论域

S多么小，V(x)既可为正值也可为负值，则标量函数V(x)称为不定函数。5.2.2李雅普诺夫第二法（直接法）（2）李雅普诺夫第二法主要定理定理9-10（大范围一致渐近稳定判别定理）考察连续时间非线性时变自由系统：其中f(0,t)=0，即状态空间的原点为系统的平衡状态。如果存在一个对

x和

t具有连续一阶偏导数的标量函数

，且满足以下条件：(1)V(x,t)正定且有界，即存在两个连续的非减标量函数

，其中

，使对一切

和

一切均有：(2)V(x,t)对时间t的导数

负定且有界，即存在一个连续的非减标量函数

，其中

，使对一切

和

一切均有：(3)当

时，

，则系统原点平衡状态为大范围一致渐近稳定。5.2.2李雅普诺夫第二法（直接法）定理9-11（定常系统大范围渐近稳定判别定理1）对于定常系统：其中f(0)=0，如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数V(x),V(0)=0,并且对于状态空间

X中的一切非零点

x满足如下条件：(1)V(x)正定；(2)负定；(3)当

时，

。则系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。5.2.2李雅普诺夫第二法（直接法）例5考虑如下非线性系统试确定其稳定性。解：显然，原点(x1=0,x2=0)是该系统唯一的平衡状态。选取正定标量函数V(x)为：则沿任意轨迹V(x)对时间的导数：是负定的，由于当

时

，所以系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。5.2.2李雅普诺夫第二法（直接法）定理9-12（定常系统大范围渐近稳定判别定理2）对于定常系统，如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数V(x),V(0)=0,并且对于状态空间

X中的一切非零点

x满足如下条件：(1)V(x)正定；(2)负半定；(3)对任意

；(4)当

时，

。则系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。5.2.2李雅普诺夫第二法（直接法）例

已知定常系统状态方程为试确定其稳定性。解：易知原点为系统唯一的平衡状态。选取标量函数V(x)为：且有：1)是正定；2)是负半定；3)检查是否

。先考察情况

x1任意，x2=0；设

，则由

x2(t)=0可导出

，将此代入系统状态方程可得:5.2.2李雅普诺夫第二法（直接法）这表明，除了原点(x1=0,x2=0)外，

不是系统的受扰运动解。再考察情况

x1任意，x2=-1时，设

，则由

x2(t)=0可导出

。将此代入系统状态方程可得：显然，这是一个矛盾的结果，

表明也不是系统的受扰运动解。综合以上分析可知，

。4)当

，显然有

。因此，系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。注意：上述给出的所有判别定理都只提供了充分条件，下面的定理给出了判别不稳定的充分条件。5.2.2李雅普诺夫第二法（直接法）定理9-13（不稳定的判别定理）对于时变系统或定常系统，如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数V(x)或V(x,t),其中V(0)=0,V(0,t)=0,和围绕原点的域

，使得对于一切

和一切

满足如下条件：(1)V(x,t)为正定且有界或V(x)为正定；(2)为正定且有界或

为正定；则系统平衡状态为不稳定。5.2.3线性系统与非线性系统的稳定性比较在线性定常系统中，若平衡状态是局部渐近稳定的，则它是大范围渐近稳定的，然而在非线性系统中，不是大范围渐近稳定的平衡状态可能是局部渐近稳定的。因此，线性定常系统平衡状态的渐近稳定性的含义和非线性系统的含义完全不同。如果要检验非线性系统平衡状态的渐近稳定性乡一则非线性系统的线性化模型稳定性分析远远不够，必须研究没有线性化的非线性系统。有几种基于李雅普诺夫第二法的方法可达到这一目的，包括用于判断非线性系统渐近稳定性充分条件的克拉索夫斯基方法，用于构成非线性系统李雅普诺夫函数的阿塞尔曼法、Schultz-Gibson变量梯度法，用于某些非线性控制系统稳定性分析的鲁里叶(Lure’)法，以及用于构成吸引域的波波夫方法等。下面介绍几种常用的方法。5.2.3线性系统的稳定性与非线性系统的稳定性比较5.2.3.1阿塞尔曼法设系统的状态方程为式中，b=[10…00]T，f(xi)为单值非线性函数，f(0)=0，xi为x1，x2，…，xn中的任意一个变量，展开式有由于x=0时=0，说明状态空间的原点是平衡点。5.2.3.1阿塞尔曼法5.2.3.1阿塞尔曼法阿塞尔曼法的思想是用线性函数代替非线性函数，即令f(xi)=kxi，将系统线性化以后，就可比较容易构造李雅普诺夫函数V(x)，然后将此函数当作非线性系统的备选李雅普诺夫函数。如果其导数V(x)在区间k1≤k≤k2是负定的，则可以得出结论：当非线性系统中的非线性元件满足条件k1xi≤kxi≤k2xi时，非线性系统在x=0处其平衡状态是大范围渐近稳定的，如下图所示。非线性特性5.2.3.1阿塞尔曼法例6设非线性系统的动态方程为：其中，f(x)为非线性函数，试分析其稳定性。非线性系统结构图(a)结构图

(b)非线性特性解：令x1=x，x2=，则系统的状态方程为其结构图如下图所示。5.2.3.1阿塞尔曼法(1)

假设非线性元件的输入输出特性如图所示，它可以用一条斜率为k=2的直线来近似，即非线性元件的输入输出特性于是，线性化以后的系统状态方程为：5.2.3.1阿塞尔曼法(2)

构造李雅普诺夫函数。取二次型李雅普诺夫备选函数(3)

对线性化系统求设

有如下的简单形式：则比较可得：解得：5.2.3.1阿塞尔曼法(4)

将上述结果代入(2)中，得可证明它是正定的，这说明线性化系统在平衡点是渐近稳定的。(5)

将(4)中式子看成非线性系统的李雅普诺夫备选函数，则将

代入中，得：5.2.3.1阿塞尔曼法根据

负定的要求，应有由此解出：这就是说，上式是非线性系统式的李雅普诺夫函数。只要非线性特性u=f(x1)在图的阴影区内，非线性系统的V(x)正定，V(x)负定，系统在平衡点处是大范围渐近稳定的。阿塞尔曼方法简单实用，但是必须指出，在有些场合，即使线性化之后的系统在所有的k下是稳定的，非线性系统也不一定是大范围稳定的。5.2.3.2克拉索夫斯基方法前面已介绍过，李雅普诺夫函数是“广义的能量函数”，它是一个标量，在选取它时，为了方便，通常是选为由状态向量x所构成的二次型函数。但是，对于某些非线性系统，一个可能的李雅普诺夫函数宁可使用

来表示，而不用状态变量

x表示。克拉索夫斯基方法就是把李雅普诺夫函数选取成为x的欧几里德范数，即V=‖‖。在此预先指出，下面所要介绍的克拉索夫斯基定理并不受平衡状态的微小偏离的限制，它与通常的线性化方法有本质的区别。克拉索夫斯基定理对于非线性系统，给出大范围内渐近稳定的充分条件，而对线性系统给出了充要条件。它的基本思想是不用状态变量，而是用其导数来构造李雅普诺夫函数。不失一般性，可认为状态空间的原点是系统的平衡状态。5.2.3.2克拉索夫斯基方法5.2.3.2克拉索夫斯基方法考虑如下非线性系统(克拉索夫斯基定理)式中，x为n维状态向量，f(x)为x1，x2，…，xn的非线性n维向量函数，假定f(0)=0，且f(x)对

xi(i=1，2，…，n)可微。该系统的雅可比矩阵定义为5.2.3.2克拉索夫斯基方法又定义

，式中，F(x)是雅可比矩阵，

是F(x)的转置矩阵，

为实对称矩阵。如果

是负定的，则平衡状态

x=0是渐近稳定的。该系统的李雅普诺夫函数为该系统的雅可比矩阵定义为：此外，若随着

，则平衡状态是大范围渐近稳定的。证：由于

是负定的，所以除

x=0外，

的行列式处处不为零。因而，在整个状态空间中，除

x=0这一点外，没有其他平衡状态，即在

x

≠0时，

。因为f(0)=0，在

x

≠0时，

，且

，所以V(x)是正定的。注意到：从而5.2.3.2克拉索夫斯基方法因为

是负定的，所以

也是负定的。因此，V(x)是一个李雅普诺夫函数，所以原点是渐近稳定的。如果随着

，则可知，平衡状态是大范围渐近稳定的。注意，克拉索夫斯基定理与通常的线性方法不同，它不局限于稍稍偏离平衡状态的情况V(x)和

以

f(x)或

的形式而不是以

x的形式表示。前面所述的定理对于非线性系统给出了大范围渐近稳定性的充分条件，对线性系统则给出了充要条件。非线性系统的平衡状态即使不满足上述定理所要求的条件，也可能是稳定的。因此，在应用克拉索夫斯基定理时，必须十分小心，以防止对给定的非线性系统平衡状态的稳定性分析做出错误的结论。5.2.3.2克拉索夫斯基方法例7考虑具有两个非线性因素的二阶系统假设

，f1(x1)和

f2(x2)是实函数且可微。又假定当

时，有

。试确定使平衡状态

x=0渐近稳定的充分条件。解：在该系统中，F(x)为式中：

5.2.3.2克拉索夫斯基方法于是

为

由克拉索夫斯基定理可知，如果

是负定的，则所考虑系统的平衡状态

是大范围渐近稳定的。因此，若则平衡状态

是大范围渐近稳定的。这两个条件是渐近稳定性的充分条件。显然，由于稳定性条件完全与非线性f1(x)和f2(x)的实际形式无关，所以上述限制条件是不适当的。5.2.4李雅普诺夫稳定性分析5.2.4线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析前面已指出，李雅普诺夫第二法不仅对非线性系统，而且对线性定常系统、线性时变系统，以及线性离散系统等均完全适用。利用李雅普诺夫第二法对线性系统进行分析，有如下几个特点。(1)

都是充要条件，而非仅充分条件；(2)

渐近稳定性等价于李雅普诺夫方程的存在性；(3)

渐近稳定时，必存在二次型李雅普诺夫函数

及

；(4)

对于线性自治系统，当系统矩阵A非奇异时，仅有唯一一个平衡点，即原点

；(5)

渐近稳定就是大范围渐近稳定，两者完全等价。5.2.4李雅普诺夫稳定性分析众所周知，对于线性定常系统，其渐近稳定性的判别方法很多。例如，对于连续时间定常系统

，渐近稳定的充要条件是：A的所有特征值均有负实部，或者相应的特征方程

的根具有负实部。但为了避开困难的特征值计算，如劳斯-赫尔维茨稳定性判据通过判断特征多项式的系数来直接判定稳定性，奈奎斯特稳定性判据根据开环频率特性来判断闭环系统的稳定性。这里将介绍的线性系统的李雅普诺夫稳定性方法，是一种代数方法，不要求把特征多项式进行因式分解，而且可进一步应用于求解某些最优控制问题。5.2.4李雅普诺夫稳定性分析考虑如下线性定常自治系统式中，

，x(0)=x0，t≥0，A为非奇异矩阵，则有唯一的平衡状态

，其平衡状态的稳定性很容易通过李雅普诺夫第二法进行研究。对于

的系统，选取如下二次型李雅普诺夫函数，即式中，P为正定的实对称矩阵。V(x)沿任一轨迹的时间导数为5.2.4李雅普诺夫稳定性分析令：于是有：根据定常系统大范围渐近稳定判别定理1，只要

Q正定（即

负定），则系统是大范围渐近稳定的。于是线性定常连续系统渐近稳定的充分必要条件可表示为：给定一正定矩阵

P

，存在着满足式

的正定矩阵

Q，而

xTPx是该系统的一个李雅普诺夫函数。

称为李雅普诺夫矩阵代数方程。在应用时，往往是先选取

Q为正定实对称矩阵，再求解

，若所求得的

P

阵为正定实对称矩阵，则可判定系统是渐近稳定的。5.2.4李雅普诺夫稳定性分析由于使用中常选取

Q阵为单位阵或对角线阵，比起先选

P

阵再检验

Q阵要方便得多，所以在判定系统的稳定性时常利用下述定理：定理9-14：线性定常系统

的原点平衡状态

为渐近稳定的充分必要条件是，对于任意给定的一个正定对称矩阵

Q，有唯一的正定对称矩阵

P

使式

成立。上述定理的实质是给出了矩阵

A的所有特征值均具有负实部的充分必要条件。5.2.4李雅普诺夫稳定性分析例8设二阶线性定常系统的状态方程为显然，平衡状态是原点。试确定该系统的稳定性。解：不妨取李雅普诺夫函数为：此时实对称矩阵P可由下式确定：上式可写为：5.2.4李雅普诺夫稳定性分析将矩阵方程展开，可得联立方程组为：从方程组中解出P11，P12，P22，可得：显然，P是正定的。因此，在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的，且李雅普诺夫函数为：5.2.4李雅普诺夫稳定性分析例9确定图中所示系统的增益K的稳定范围。解：容易推得系统的状态方程为：在确定K的稳定范围时，假设输入u为零。于是上式可写为：控制系统框图5.2.4李雅普诺夫稳定性分析由上述式子可发现，原点是平衡状态。假设取正半定的实对称矩阵Q为：由于除原点外

不恒等于零，因此可选上式的Q。为了证实这一点，注意取

恒等于零，意味着x3也恒等于零。如果x3恒等于零，x1也必恒等于零，因为由式可得：如果x1恒等于零，x2也恒等于零。因为由式可得：只在原点处

才恒等于零。因此，为了分析稳定性，可采用由式定义的矩阵Q。5.2.4李雅普诺夫稳定性分析现在求解如下李雅普诺夫方程：它可重写为：对P的各元素求解，可得：为使P成为正定