曲线的参数方程

2、1曲线的参数方程1引例

知识点一参数方程的概念在生活中，两个陌生的人通过第三方建立联系，那么对于曲线上点的坐标(x，y)，直接描述它们之间的关系比较困难时，可以怎么办呢？答案答案可以引入参数，作为x，y联系的桥梁.2一、曲线的参数方程1、参数方程的概念探究：如图，一架救援飞机在离灾区地面500m的高处以100m/s的速度作水平直线飞行，为使投放的救援物资准确落于灾区指定的地面（不计空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？引例3问题1：物资投出机舱后，它的运动由哪两种运动合成？（1）在水平方向上做

运动，其水平位移

S=100t.（2）在竖直方向上做自由落体运动

运动,其竖直下落高度H=500-1/2gt2

。问题2：在上述运动中水平位移S和竖直下落高度H中是否有一个相同的变量，是什么？问题3：你能否建立适当的坐标系用含有时间t的式子表示出物资的位置？匀速直线运动4xyoAM(x,y)5一、方程组有3个变量，其中的x,y表示点的坐标，变量t叫做参变量，而且x,y分别是t的函数。二、由物理知识可知，物体的位置由时间t唯一决定，从数学角度看，这就是点M的坐标x,y由t唯一确定，这样当t在允许值范围内连续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是就可以连续地描绘出点的轨迹。三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组的有序实数对（x,y）之间有一一对应关系。6参数方程的概念(1)参数方程的定义在平面直角坐标系中，如果曲线上任一点的坐标x，y都是某个变数t(θ，φ，…)的函数

①，并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x，y)

，那么方程组①就叫做这条曲线的

，t叫做

，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫

.梳理都在这条曲线上参数方程参数普通方程7(2)参数的意义

是联系变数x，y的桥梁，可以是有

意义或

意义的变数，也可以是

的变数.特别提醒：普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式，参数方程可以与普通方程进行互化.参数物理几何没有明显实际意义8大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点9题型探究10(1)判断点M1(0,1)，M2(5,4)与曲线C的位置关系；解答类型一参数方程及应用解把点M1的坐标(0,1)代入方程组，∴点M1在曲线C上.同理可知，点M2不在曲线C上.11(2)已知点M3(6，a)在曲线C上，求a的值.解∵点M3(6，a)在曲线C上，解得t＝2，a＝9.∴a＝9.解答12参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线位置关系的判断，与平面直角坐标普通方程下的判断方法是一致的.反思与感悟13(1)求常数a的值；解答解将点M(－3,4)的坐标代入曲线C的参数方程消去参数t，解得a＝1.14(2)判断点P(1,0)，Q(3，－1)是否在曲线C上.解答15解得t＝0，因此点(1,0)在曲线C上.将点(3，－1)的坐标代入参数方程，方程组无解，因此点(3，－1)不在曲线C上.16例1

将下列参数方程化为普通方程，并判断曲线的形状.解答类型一参数方程化为普通方程得y＝－2x＋3(x≥1)，这是以(1,1)为端点的一条射线.17解答18消去参数方程中参数的技巧(1)加减消参数法：如果参数方程中参数的符号相等或相反，常常利用两式相减或相加的方法消去参数.(2)代入消参数法：利用方程思想，解出参数的值，代入另一个方程消去参数的方法，称为代入消参法，这是非常重要的消参方法.(3)三角函数式消参数法：利用三角函数基本关系式sin2θ＋cos2θ＝1消去参数θ.反思与感悟19跟踪训练1

将下列参数方程化为普通方程.解答∴(x－1)2＋y＝cos2θ＋sin2θ＝1，即y＝－(x－1)2＋1(0≤y≤1)，∴普通方程为y＝－x2＋1(0≤y≤1).20解由x＝sinθ－cosθ，得x2＝1－2sinθcosθ＝1－sin2θ，∴x2＋y＝1，∴普通方程为y＝－x2＋1(0≤y≤1).解答21例2

根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程.类型二普通方程化为参数方程解答22(2)x2－y＋x－1＝0，x＝t＋1.(t为参数)解答解将x＝t＋1代入x2－y＋x－1＝0，得y＝x2＋x－1＝(t＋1)2＋t＋1－1＝t2＋3t＋1，23(1)普通方程化为参数方程时，选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价.(2)参数的选取不同，得到的参数方程是不同的.反思与感悟24思考2

把参数方程化为普通方程的关键是什么？答案答案关键是消参数.25(2)参数方程化为普通方程的三种常用方法①代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数；②三角函数法：利用三角恒等式消去参数；③整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去.特别提醒：化参数方程为普通方程F(x，y)＝0，在消参过程中注意变量x，y的取值范围，必须根据参数的取值范围，确定f(t)和g(t)的值域得x，y的取值范围.26当堂训练27A.1 B.2 C.3 D.4√答案2345128解析∵y＝t2＝1，∴t＝±1.∴x＝1＋1＝2或x＝－1＋1＝0.23451答案解析0或2292.将参数方程(θ为参数)化成普通方程为A.y＝x－2 B.y＝x＋2C.y＝x－2(2≤x≤3) D.y＝x＋2(0≤y≤1)答案23451√解析解析由x＝2＋sin2θ，得sin2θ＝x－2，代入y＝sin2θ，∴y＝x－2.又sin2θ＝x－2∈[0,1]，∴x∈[2,3].30小结：1、参数方程的概念3、将参数方程化为普通方程的方法注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致。2、能够解决一些简单的参数方程4、将普通方程化为参数方程的方法31规律与方法1.参数方程与普通方程的统一性(1)参数的作用：参数是间接地建立横，纵坐标x，y之间的关系的中间变量，起到了桥梁的作用.(2)参数方程与普通方程的转化：曲线的普通方程是相对参数方程而言的，普通方程反映了坐标变量x与y之间的直接联系，而参数方程是通过变数反映坐标变量x与y之间的间接联系.2.求曲线参数方程的步骤第一步，建系，设M(x，y)是轨迹上任意一点；第二步，选参数，比如选参数t；第三步，建立x，y与参数间的关系，321.若点P在曲线ρcosθ＋2ρsinθ＝3上，其中0≤θ≤，ρ>0，则点P的轨迹是A.直线x＋2y＝3B.以(3,0)为端点的射线C.圆(x－1)2＋y2＝1D.以(1,1)，(3,0)为端点的线段√答案234513323451答案解析x2－y＝2(y≥2)3423451圆解析x2＋y2＝(3cosφ＋4sinφ)2＋(4cosφ－3sinφ)2＝25，表示圆.答案解析3523451答案y2＝x＋1(－1≤x≤1)36再见37规律与方法1.参数方程和普通方程的互化参数方程化为普通方程，可通过代入消元法和三角恒等式消参法消去参数方程中的参数，通过曲线的普通方程来判断曲线的类型，研究曲线的性质.由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求曲线上任一点M的坐标x，y和参数的关系，根据实际问题的要求，可以选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等作为参数.2.同一问题参数的选择往往不是惟一的，适当地选择参数，可以简化解题的过程，降低计算量，提高准确率.383.参数方程与普通方程的等价性把参数方程化为普通方程后，很容易改变变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性.39解答40解设P(x，y)，由题意，得41(2)求点P到点D(0，－2)距离的最大值.解答解由(1)得|PD|2＝(－2cosα)2＋(sinα＋2)2＝4cos2α＋sin2α＋4sinα＋4＝－3sin2α＋4sinα＋842解答43所以所求的方程为x＋y＝1(x≠－1，y≠2).方程表示直线(去掉一点(－1,2)).44所以x＋y＝1(x≠－1，y≠2).方程表示直线(去掉一点(－1,2)).45跟踪训练2

已知曲线的普通方程为4x2＋y2＝16.(1)若令y＝4sinθ(θ为参数)，如何求曲线的参数方程？解答解把y＝4sinθ代入方程，得到4x2＋16sin2θ＝16，于是4x2＝16－16sin2θ＝16cos2θ，∴x＝±2cosθ.46(2)若令y＝t(t为参数)，如何求曲线的参数方程？若令x＝2t(t为参数)，如何求曲线的参数方程？解答47解将y＝t代入普通方程4x2＋y2＝16，得4x2＋t2＝16，因此，椭圆4x2＋y2＝16的参数方程是48例3

已知x，y满足圆C：x2＋(y－1)2＝1的方程，直线l的参数方程为解答类型三参数方程与普通方程互化的应用(1)求3x＋4y的最大值和最小值；49∴3x＋4y的最大值为9，最小值为－1.50(2)若P(x，y)是圆C上的点，求P到直线l的最小距离，并求此时点P的坐标.解答515253(1)参普互化有利于问题的解决，根据需要，合理选择用参数方程还是普通方程.(2)解决与圆有关的最大值，最小值时，通常用圆的参数方程，将问题转化为三角函数的最大值，最小值问题.反思与感悟54跟踪训练3

在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0.以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为 .(1)求直线l的极坐标方程，曲线C的直角坐标方程；解答55解直线l的方程为x－y＋4＝0，因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以l的极坐标方程为ρcos