《高考数学备考指南》教学课件-03函数(下)

函数第三章第5讲指数与指数函数栏目导航01基础整合自测纠偏03追踪命题直击高考02重难突破能力提升04配套训练基础整合自测纠偏1根式0没有意义ar＋s

ars

arbr

3.指数函数及其性质(1)概念：函数y＝ax(a＞0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．(2)指数函数的图象与性质：R

a＞10＜a＜1定义域①________值域②___________性质③过定点________，即x＝0时，y＝1④当x＞0时，______；当x＜0时，__________⑤当x＜0时，______；当x＞0时，________⑥在(－∞，＋∞)内是______函数⑦在(－∞，＋∞)内是______函数(0，＋∞)(0,1)y＞10＜y＜1y＞10＜y＜1增减4．指数函数y＝(2－a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是________．【答案】(1,2)5．(2020年眉山模拟)函数y＝ax－2＋3(0＜a≠1)的图象恒过定点A，且点A在幂函数f(x)＝xα的图象上，则f(2)＝________.【答案】4【解析】由x－2＝0得x＝2，此时y＝a0＋3＝1＋3＝4，即函数图象恒过定点A(2,4)，点A在幂函数f(x)＝xα的图象上，则f(2)＝4.1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既含有分母又含有负指数．2．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意区分a>1或0<a<1.重难突破能力提升2指数幂的运算【规律方法】(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数．指数函数的图象及应用【规律方法】(1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象、数形结合求解．指数函数的性质【考向分析】指数函数的性质，尤其是其单调性，备受高考命题专家的青睐．高考常以选择题或填空题的形式出现，考查幂值大小比较、解简单不等式、判断指数函数的单调性以及求指数函数的最值等问题，难度偏小，属中、低档题.常见的考向：(1)比较指数式的大小；(2)解简单的指数方程或不等式；(3)与指数函数有关的复合函数的单调性．【答案】(1)B

(2)A【答案】C【规律方法】(1)比较指数式的大小的方法①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；②不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小．(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．追踪命题直击高考3【典例精析】

【考查角度】指数函数的性质的应用．【考查目的】考查逻辑论证能力，体现逻辑推理和数学运算的核心素养，属于基础题．【思路导引】结合指数函数的单调性及特殊点的函数值分别确定a，b，c的范围，即可比较大小．【拓展延伸】1．分数指数幂与根式的关系根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．2．应用指数函数性质时应注意的两点(1)指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意区分a>1与0<a<1来研究．(2)对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的取值范围．【真题链接】

1．(2015年新课标Ⅰ)设函数y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝－x对称，且f(－2)＋f(－4)＝1，则a＝(

)A．－1 B．1C．2 D．4【答案】C【解析】因为函数y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝－x对称，所以－x＝2－y＋a，解得f(x)＝－log2(－x)＋a.又f(－2)＋f(－4)＝1，所以－log22－log24＋2a＝1，解得a＝2.故选C．函数第三章第6讲对数与对数函数栏目导航01基础整合自测纠偏03追踪命题直击高考02重难突破能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11.对数的概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作____________，其中______叫做对数的底数，______叫做真数．2.对数的性质与运算性质(1)对数的性质：①alogaN＝______；②logaaN＝______(a>0，且a≠1)；③零和负数没有对数．x＝logaN

a

N

N

N

3.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．(2)对数函数的图象与性质：(0，＋∞)a＞10＜a＜1定义域①__________值域②__________性质③过点______，即x＝______时，y＝______④当x＞1时，____；当0＜x＜1时，____⑤当x＞1时，____；当0＜x＜1时，____⑥在(0，＋∞)内是______函数⑦在(0，＋∞)内是______函数R

(1,0)10y>0y<0y<0y>0增减[特别提醒]1．底数的大小决定了图象相对位置的高低如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应底数，则0<c<d<1<a<b.4.反函数指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数________(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线________对称．2．已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是(

)A．a>1，c>1B．a>1,0<c<1C．0<a<1，c>1D．0<a<1,0<c<1【答案】D5．(2019年大庆期末)函数f(x)＝loga(4x－3)(a＞0且a≠1)的图象所过定点的坐标是________．【答案】(1,0)【解析】对于函数f(x)＝loga(4x－3)(a＞0且a≠1)，令4x－3＝1，求得x＝1，f(x)＝0，可得f(x)＝loga(4x－3)(a＞0且a≠1)的图象所过定点(1,0)．1．在运算性质logaMn＝nlogaM中，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为logaMn＝nloga|M|(n∈N*，且n为偶数)．2．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．重难突破能力提升2

对数式的运算【规律方法】(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．(3)ab＝N⇔b＝logaN(a>0且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．对数函数的图象与应用【规律方法】(1)研究对数型函数图象的思路研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，要注意底数a>1或0<a<1这两种不同情况．(2)应用对数函数的图象可求解的问题一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．求参数时往往使其中一个函数图象“动起来”，找变化的边界位置，得参数范围．(2)(2019年辽宁五校联考)已知函数f(x)＝|lnx|.若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋4b的取值范围是(

)A．(4，＋∞)

B．[4，＋∞)C．(5，＋∞)

D．[5，＋∞)【答案】(1)B

(2)C对数函数的性质及应用【考向分析】对数函数的性质及其应用是每年高考的必考内容之一，主要考查比较对数值的大小，解简单的不等式，有时考查判断对数型函数的单调性、奇偶性及最值问题，多以选择题或填空题的形式考查，难度低、中、高档都有．常见的考向：(1)比较对数值的大小；(2)对数不等式的解法；(3)对数函数的综合问题．【答案】D【规律方法】(1)比较对数式大小的类型及相应的方法①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论．②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．③若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．(2)解对数不等式的类型及方法①形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．②形如logax＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．(3)利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用．追踪命题直击高考3【典例精析】

【考查角度】对数函数的性质及其应用．【考查目的】考查推理能力与计算能力，体现逻辑推理和数学运算的核心素养．【思路导引】利用对数函数的单调性结合中间量即可得出．【拓展延伸】1．指数式与对数式的互化ab＝N⇔logaN＝b(a>0，a≠1，N>0).2．解决对数问题应注意的两点(1)务必先研究函数的定义域．(2)对数函数的单调性取决于底数a，应注意底数的取值范围．3．对数值的大小比较方法(1)化同底后利用函数的单调性．(2)作差或作商法．(3)利用中间量(0或1)．(4)化同真数后利用图象比较．【真题链接】

1．(2019年新课标Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则(

)A．a＜b＜c

B．a＜c＜bC．c＜a＜b

D．b＜c＜a【答案】B【解析】a＝log20.2＜log21＝0，b＝20.2＞20＝1.因为0＜0.20.3＜0.20＝1，所以c＝0.20.3∈(0,1)．所以a＜c＜b.故选B．2．(2019年天津)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为(

)A．a＜c＜b

B．a＜b＜cC．b＜c＜a

D．c＜a＜b【答案】A4．(2018年新课标Ⅲ)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则(

)A．a＋b＜ab＜0 B．ab＜a＋b＜0C．a＋b＜0＜ab D．ab＜0＜a＋b【答案】B5．(2018年新课标Ⅰ)已知函数f(x)＝log2(x2＋a)，若f(3)＝1，则a＝________.【答案】－7【解析】依题意，f(3)＝log2(32＋a)＝log2(9＋a)＝1，解得a＝－7.函数第三章第7讲函数的图象高考要求考情分析1.理解点的坐标与函数图象的关系．2．会利用平移、对称、伸缩变换，由一个函数的图象得到另一个函数的图象．3．会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题函数图象的识别经常与函数的性质综合出题，函数图象的应用比较广泛，主要考查解决方程的根、解不等式、求参数等问题的能力，多以选择题、填空题的形式出现，考查直观想象的核心素养栏目导航01基础整合自测纠偏03追踪命题直击高考02重难突破能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11.描点法作图方法步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；④描点连线，画出函数的图象．2.图象变换(1)平移变换：f(x)＋k

f(x＋h)f(x－h)f(x)－k

－f(x)f(－x)－f(－x)logax

|f(x)|f(|x|)f(ax)af(x)[特别提醒]记住几个重要结论(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称．(3)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．1．(2019年西安月考)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)的解析式为(

)A．f(x)＝ex＋1 B．f(x)＝ex－1C．f(x)＝e－x＋1 D．f(x)＝e－x－1【答案】D【解析】依题意，与曲线y＝ex关于y轴对称的曲线是y＝e－x，于是f(x)相当于y＝e－x向左平移1个单位的结果，所以f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.4．若函数y＝f(x)在x∈[－2,2]上的图象如图所示，则当x∈[－2,2]时，f(x)＋f(－x)＝________.【答案】05．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________．【答案】(0，＋∞)判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(

)(2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同．(

)(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．(

)(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(

)(5)将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位得到函数y＝f(－x－1)的图象．(

)【答案】(1)×

(2)×

(3)×

(4)√

(5)×重难突破能力提升2函数图象的画法【规律方法】

函数图象的画法【跟踪训练】1．分别画出下列函数的图象．(1)y＝|lgx|；(2)y＝sin|x|.函数图象的识别【答案】D【规律方法】识别函数图象的两种方法：(1)抓住函数的性质，定性分析．①从函数的定义域，判断图象的左右位置；②从函数的值域，判断图象的上下位置；③从函数的单调性，判断图象的变化趋势；④从函数的周期性，判断图象的循环往复；⑤从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(2)抓住函数的特征，定量计算．从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．【跟踪训练】2．函数y＝x＋cosx的图象大致是(

)【答案】B函数图象的应用【考向分析】函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．常见的考向：(1)研究函数的性质；(2)确定方程根的个数；(3)求参数的值或取值范围；(4)求不等式的解集．【规律方法】函数图象应用的常见题型与求解策略(1)研究函数性质：①根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值；②从图象的对称性，分析函数的奇偶性；③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性；④从图象与x轴的交点情况，分析函数的零点等．(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解．(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．追踪命题直击高考3【典例精析】

【典型例题】(2020年吕梁一模)已知函数y＝f(x)的部分图象如下，试判断函数解析式为(

)A．f(x)＝xsinxB．f(x)＝x2＋cosxC．f(x)＝xsinx＋cosxD．f(x)＝(ex－e－x)sinx＋1【考查角度】利用函数图象确定函数解析式．【考查目的】考查识图读图能力和抽象概括能力，体现逻辑推理和直观想象的核心素养．【思路导引】由特殊点的函数值，运用排除法求解．【解析】f(0)＝1，可排除A；f(π)＜0，可排除B，D．故选C．【答案】C【拓展延伸】1．函数图象的对称问题(1)一个函数的图象关于原点对称与两个函数的图象关于原点对称不同，前者是自身对称，且为奇函数，后者是两个不同的函数图象对称．(2)一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称也不同，前者也是自身对称，且为偶函数，后者则是两个不同函数图象的对称关系．2．识辨函数图象的方法(1)知式选图：①从函数的定义域，判断图象左右的位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.②从函数的单调性，判断图象的变化趋势.③从函数的奇偶性，判断图象的对称性.④从函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)知图选式：①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域.②从图象的变化趋势，观察函数的单调性.③从图象的对称性，观察函数的奇偶性．④从图象的循环往复，观察函数的周期性.【真题链接】

【答案】B【答案】D函数第三章第8讲函数与方程高考要求考情分析1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解高考中，主要考查函数零点的区间和零点个数的判断以及利用零点的特征求参数的取值范围，难度较大，考查逻辑推理和直观想象的核心素养栏目导航01基础整合自测纠偏03追踪命题直击高考02重难突破能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)，我们把使________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与______有交点⇔函数y＝f(x)有________．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有__________，那么函数y＝f(x)在区间__________内有零点，即存在c∈(a，b)，使得________，这个c也就是方程f(x)＝0的根．f(x)＝0x轴零点f(a)·f(b)<0(a，b)f(c)＝02.二次函数图象与零点的关系(x1,0)，(x2,0)(x1,0)2103.二分法对于在区间[a，b]上连续不断且____________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间__________，使区间的两个端点逐步逼近______，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．f(a)·f(b)<0一分为二零点【答案】B【解析】由所给的函数值的表格可以看出x＝2与x＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)·f(3)<0，所以函数f(x)在(2,3)内有零点．2．(教材习题改编)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是(

)A．0 B．1C．2 D．3【答案】B3．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是(

)A．y＝cosx

B．y＝sinxC．y＝lnx

D．y＝x2＋1【答案】A4．(2019年西安调研)方程2x＋3x＝k的解在[1,2)内，则k的取值范围是________．【答案】[5,10)【解析】令f(x)＝2x＋3x－k，则f(x)在R上是增函数．当方程2x＋3x＝k的解在(1,2)内时，f(1)·f(2)<0，即(5－k)(10－k)<0，解得5<k<10.又当f(1)＝0时，k＝5.所以方程2x＋3x＝k的解在[1,2)内，则k的取值范围是[5,10)．5．函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．1．函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．2．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(

)(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(

)(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．(

)(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(

)(5)若函数f(x)在[a，b]内单调，图象连续不断且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．(

)【答案】(1)×

(2)×

(3)×

(4)√

(5)√重难突破能力提升2函数零点的确定与求解【考向分析】求解函数零点的个数及零点存在的区间的确定是高考的热点问题，常常与函数的图象与性质交汇命题，主要考查函数与方程、数形结合思想的应用，题型以选择题、填空题为主．常见的考向：(1)函数零点所在的区间；(2)函数零点个数的判断；(3)求函数的零点．【解析】方法一(利用零点存在性定理)：因为函数f(x)是增函数，且f(2)＝ln2－1<0，f(3)＝ln3>0，所以由零点存在性定理得函数f(x)的零点位于区间(2,3)上．故选C．方法二(数形结合)：函数f(x)＝x＋lnx－3的零点所在区间转化为g(x)＝lnx，h(x)＝－x＋3的图象的交点横坐标所在范围．作出h(x)和g(x)的图象如图所示，可知f(x)的零点在(2,3)内．【解析】f(x)＝lgx－sinx的零点个数，即函数y＝lgx的图象和函数y＝sinx的图象的交点个数．画出两函数的图象如图所示，由图可知函数y＝lgx的图象和函数y＝sinx的图象的交点个数为3.故选C．【规律方法】(1)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法．(2)判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理结合函数的性质；③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数．函数零点的应用【规律方法】(1)解决已知函数零点的存在情况求参数的取值范围问题时，应该根据零点的存在情况，利用函数零点的存在性定理、二次函数的判别式等得到关于参数的不等式(组)，然后求解即可．破解此类题的关键点：①转化，把已知函数零点的存在情况转化为方程的解或两函数图象的交点的情况；②列式，根据零点存在性定理或结合函数图象列式；③下结论，求出参数的取值范围或根据图象得出参数的取值范围．(2)已知根或零点的区间求参数，要根据区间建立不等关系，其关键点为：①构造方程或函数(反解参数)；②利用零点区间，求解函数的值域或不等式；③确定参数范围．二次函数的零点问题【规律方法】解决与二次函数有关的零点问题：(1)利用一元二次方程的求根公式．(2)利用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系．(3)利用二次函数的图象列不等式组．【跟踪训练】2．已知函数f(x)＝x2＋(a＋2)x＋5＋a，a∈R.(1)若方程f(x)＝0有一正根和一个负根，求a的取值范围；(2)当x＞－1时，不等式f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．追踪命题直击高考3【典例精析】

典例．(2020年杭州模拟)设x1，x2分别是函数f(x)＝xax－1和g(x)＝xlogax－1的零点(其中a＞1)，则x1＋2x2的取值范围是(

)A．[2，＋∞)

B．(2，＋∞)C．[3，＋∞)

D．(3，＋∞)【考查角度】函数零点与函数图象的关系，涉及函数单调性等知识点．【考查目的】考查应用意识，体现直观想象和数学抽象的核心素养．【拓展延伸】1．函数零点的两个易错点(1)函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的实根．(2)函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．2．判断函数零点个数的方法(1)直接求零点；(2)零点的存在性定理；(3)利用图象交点的个数.

3．有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过一重零点时(不是二重零点)，函数值变号；通过二重零点时，函数值可能不变号．【真题链接】

函数第三章第9讲函数模型及其应用高考要求考情分析1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等模型)在社会生活中的广泛应用函数的实际应用问题，常常以选择题、填空题的形式出现，如果出现在解答题中，便是和导数结合在一起考查，考查数学建模和数学运算的核心素养栏目导航01基础整合自测纠偏03追踪命题直击高考02重难突破能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11.几类函数模型及其增长差异(1)几类函数模型：(2)三种函数模型的性质：递增函数y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)内的增减性单调______单调______单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与______平行随x的增大逐渐表现为与______平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax递增y轴x轴2.解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)解模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．以上过程用框图表示如下：1．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据如下表：则对x，y最适合的拟合函数是(

)A．y＝2x

B．y＝x2－1C．y＝2x－2

D．y＝log2x【答案】Dx0.500.992.013.98y－0.990.010.982.002．下所示是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是(

)3．某商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若零售价每降低(升高)0.5元，则可多(少)销售40瓶，每月的进货在当月销售完的前提下，为获得最大利润，销售价应定为________元/瓶．【答案】64．(2019年枣阳高级中学期中)拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m>0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元．【答案】4.24【解析】因为m＝6.5，所以[m]＝6，则f(m)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.1．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以要正确理解题意，选择适当的函数模型．2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．(4)在(0，＋∞)内，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)的增长速度．(

)(5)指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)的增长速度越来越快．(

)(6)指数函数模型，一般用于解决变化较快、短时间内变化量较大的实际问题．(

)【答案】(1)√

(2)×

(3)×

(4)√

(5)×

(6)√重难突破能力提升2一次函数、二次函数模型

据气象中心观察和预测：发生于沿海M地的台风一直向正南方向移动，其移动速度v(单位：km/h)与时间t(单位：h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积为时间t内台风所经过的路程s(单位：km)．(1)当t＝4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；【规律方法】一次函数、二次函数模型问题的常见类型及解题策略：(1)直接考查一次函数、二次函数模型．解决此类问题应注意三点：①二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；②确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；③解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．(2)以分段函数的形式考查．解决此类问题应关注以下三点：①实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解；②构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏；③分段函数的最值是各段的最大(最小)值的最大者(最小者)．【跟踪训练】1．(2020年商丘二中检测)如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，并求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM面积的最大值．【跟踪训练】2．某村