《高考数学备考指南》教学课件-03函数

函数第三章第1讲函数概念及其表示高考要求考情分析1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段)高考中主要考查函数的定义域、值域、分段函数及其应用等问题，其中分段函数是高考命题的热点，涉及求值、解方程(零点)、解不等式、函数图象及其性质等问题，也可能会出现函数的新定义问题，考查数学抽象和直观想象的核心素养栏目导航01基础整合自测纠偏03追踪命题直击高考02重难突破能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11.函数的概念任意函数两个集合A，B设A，B是两个非空数集对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的________一个数x，在集合B中都有__________的数f(x)和它对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数记法函数y＝f(x)，x∈A唯一确定2.函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的________；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的________．(2)如果两个函数的________相同，并且__________完全一致，则这两个函数为相等函数．3.函数的表示法表示函数的常用方法有________、图象法和________．定义域值域定义域对应关系解析法列表法4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因__________不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的______，其值域等于各段函数的值域的________，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．对应关系并集并集1．解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则．2．误把分段函数理解为几个函数组成．重难突破能力提升2求函数的定义域【规律方法】(1)根据具体的函数解析式求定义域的策略已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可．(2)求抽象函数的定义域的策略①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．已知函数的定义域求参数【答案】D【规律方法】已知函数的定义域求参数问题的解题步骤：(1)调整思维方向，根据已知函数，将给出的定义域问题转化为方程或不等式的解集问题．(2)根据方程或不等式的解集情况确定参数的取值或范围．求函数解析式分段函数【规律方法】(1)根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，再选定相应的解析式代入求解．(2)已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．(3)当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．追踪命题直击高考3【典例精析】

典例．(2020年珠海模拟)已知函数f(x)满足f(x＋1)的定义域是[0,31)，则f(2x)的定义域是(

)A．[1,32)

B．[－1,30)C．[0,5)

D．(－∞，log230)【考查角度】与抽象函数有关的函数的定义域的求法．【考查目的】考查学生的抽象概括能力，体现数学抽象和数学运算的核心素养．【思路导引】由f(x＋1)的定义域求得f(x)的定义域，再由2x在f(x)的定义域内求得x的取值范围，即得答案．【解析】因为f(x＋1)的定义域是[0,31)，即0≤x＜31，所以1≤x＋1＜32，所以f(x)有意义须1≤x＜32，所以f(2x)有意义须20＝1≤2x＜32＝25，得0≤x＜5，即f(2x)的定义域是[0,5)．故选C．【答案】C【拓展延伸】1．函数表达式有意义的准则(1)分式中的分母不为0；(2)偶次根式的被开方数非负；(3)y＝x0要求x≠0；(4)对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1.2．函数解析式的求法(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消去法.

3．求函数定义域应注意的问题(1)如果没有特别说明，函数的定义域就是能使解析式有意义的所有实数x的集合．(2)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．【真题链接】

2．(2018年新课标Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y＝lnx

的图象关于直线x＝1对称的是(

)A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)【答案】B【解析】函数y＝lnx的图象与y＝ln(－x)的图象关于y轴对称，由于函数y＝lnx的图象与所求函数图象关于直线x＝1对称，则把函数y＝ln(－x)的图象向右平移2个单位即可得到y＝ln(2－x)，即所求的解析式为y＝ln(2－x)．故选B．函数第三章第2讲函数的单调性与最值高考要求考情分析1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义．2．会运用函数图象理解和研究函数的单调性函数单调性在历年考试中经久不衰，在高考中比例会有上升趋势，主要考查函数单调性的判断、求单调区间、比较大小、解不等式、求最值及不等式恒成立问题，以选择题、填空题为主，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现，考查直观想象和数学抽象的核心素养栏目导航01基础整合自测纠偏03追踪命题直击高考02重难突破能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11.函数的单调性(1)单调函数的定义：f(x1)<f(x2)增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有__________，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有__________，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数f(x1)>f(x2)

上升下降增函数减函数区间D

2.函数的最值f(x)≤M

前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意的x∈I，都有________；存在x0∈I，使得f(x0)＝M.对于任意的x∈I，都有________；存在x0∈I，使得f(x0)＝M.结论M为最大值M为最小值f(x)≥M

2．(2019年石家庄调研)若函数f(x)＝(m－1)x＋b在R上是增函数，则f(m)与f(1)的大小关系是(

)A．f(m)>f(1)

B．f(m)<f(1)C．f(m)≥f(1)

D．f(m)≤f(1)【答案】A【解析】因为f(x)＝(m－1)x＋b在R上是增函数，则m－1>0，所以m>1，所以f(m)>f(1)．4．函数f(x)＝lgx2的单调递减区间是________．【答案】(－∞，0)

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”．(

)(2)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在D上是增函数．(

)(3)函数y＝f(x)在[1，＋∞)内是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(

)重难突破能力提升2确定函数的单调性(区间)【答案】(1)D

(2)见解析【规律方法】(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间．单调区间不能用集合或不等式表达，且图象不连续的单调区间要用“和”“，”连接．(2)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法．(3)函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则．求函数的(值域)最值【规律方法】求函数值域或最值的四种常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．【答案】(1)A

(2)16函数单调性的应用【考向分析】函数单调性结合函数图象以及函数其他性质的应用是近几年高考命题的热点．试题常以选择题、填空题的形式出现，考查比较函数值大小、求最值、解含“f

”符号的不等式等问题，试题难度中档．常见的命题方向：(1)比较大小；(2)解不等式；(3)求参数范围．【规律方法】函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．比较函数值的大小时，应将自变量转化到同一个单调区间内进行比较．(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f

”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．追踪命题直击高考3【典例精析】

【考查角度】减函数的定义，一次函数、二次函数的单调性，分段函数的单调性的判断．【考查目的】考查应用意识和运算求解能力，体现数学运算的核心素养．【拓展延伸】1．函数单调区间的表示单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接.2．函数最值的有关结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．(2)开区间上的“单峰(单谷)”函数一定存在最大值(最小值).3．函数单调性的判断方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数．(3)导数法：利用导数研究函数的单调性．(4)图象法：利用图象研究函数的单调性.

【真题链接】

1．(2017年新课标Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(

)A．(－∞，－2)

B．(－∞，－1)C．(1，＋∞)

D．(4，＋∞)【答案】D【解析】由x2－2x－8＞0得x∈(－∞，－2)∪(4，＋∞)，令t＝x2－2x－8，则y＝lnt，x∈(－∞，－2)时，t＝x2－2x－8为减函数；x∈(4，＋∞)时，t＝x2－2x－8为增函数；y＝lnt为增函数，故函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)．故选D．函数第三章第3讲函数的奇偶性与周期性高考要求考情分析1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性函数的奇偶性主要和单调性、不等式、最值，三角函数等结合，与周期性、对称性、抽象函数等问题联系较多．体现了逻辑推理和直观想象的核心素养栏目导航01基础整合自测纠偏03追踪命题直击高考02重难突破能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11.函数的奇偶性f(－x)＝f(x)奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有____________，那么函数f(x)就叫做偶函数关于______对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有______________，那么函数f(x)就叫做奇函数关于______对称y轴f(－x)＝－f(x)原点[谨记常用结论]函数奇偶性的几个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有_____________，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个____________，那么这个__________就叫做f(x)的最小正周期．f(x＋T)＝f(x)最小的正数最小正数3．(2019年福建模拟)已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(x＋4)＝－f(x)，如果当x∈[－4,0)时，f(x)＝3－x，则f(985)＝(

)A．27

B．－27

C．9

D．－9【答案】B【解析】因为y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(x＋4)＝－f(x)，所以f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)．所以f(x)是周期为8的周期函数．因为当x∈[－4,0)时，f(x)＝3－x，所以f(985)＝f(123×8＋1)＝f(1)＝－f(－3)＝－33＝－27.故选B．1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，而不能说存在x0，使f(－x0)＝－f(x0)或f(－x0)＝f(x0)．3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．(

)(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(

)(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．(

)(4)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)也是偶函数．(

)(5)若T为函数f(x)的一个周期，那么nT(n∈Z且n≠0)也是函数f(x)的周期．(

)【答案】(1)×

(2)×

(3)√

(4)√

(5)√重难突破能力提升2函数奇偶性的判断方法二(定义法)：易知f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x>0时，f(x)＝x2－x，则当x<0时，－x>0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)；当x<0时，f(x)＝x2＋x，则当x>0时，－x<0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)．故f(x)是偶函数．方法三：f(x)可以写成f(x)＝x2－|x|(x≠0)，故f(x)为偶函数．【规律方法】判定函数奇偶性的方法(1)定义法：(2)图象法：【跟踪训练】1．(1)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(

)A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|·g(x)是奇函数C．f(x)·|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数【答案】(1)C

(2)B函数的周期性【解析】根据题意，函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数．当x∈(0,2]时，f(x)＝x－sinπx，则f(1)＝1－sinπ＝1，f(2)＝2－sin2π＝2.又由f(x＋2)＝－f(x)，得f(3)＝－f(1)＝－1，f(4)＝－f(2)＝－2，则有f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋[f(5)＋f(6)＋f(7)＋f(8)]＋…＋f(2019)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＝2.故选C．【规律方法】函数周期性问题的求解策略(1)判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．函数性质的应用【考向分析】函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们结合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．多以选择题、填空题形式出现．常见的考向：(1)奇偶性的应用；(2)单调性与奇偶性结合；(3)周期性与奇偶性结合；(4)单调性、奇偶性与周期性结合．【答案】(1)A

(2)C【答案】A【答案】D【解析】因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)．所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定义在R内的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R内是奇函数，所以f(x)在区间[－2,2]上是增函数．所以f(－1)<f(0)<f(1)，即f(－25)<f(80)<f(11)．故选D．【规律方法】函数性质应用问题的常见类型及解题策略(1)单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．函数性质的综合运用【规律方法】函数性质综合应用的注意点函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律，因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转化，再利用单调性解决相关问题．【答案】(1)2

(2)①②④(2)f(x＋y)＝f(x)＋f(y)对任意x，y∈R恒成立．令x＝y＝0，得f(0)＝0.令x＋y＝0，得y＝－x，所以f(0)＝f(x)＋f(－x)，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．因为f(x)在x∈[－1,0]上为增函数，又f(x)为奇函数，所以f(x)在[0,1]上为增函数．由f(x＋2)＝－f(x)⇒f(x＋4)＝－f(x＋2)⇒f(x＋4)＝f(x)，所以周期T＝4，即f(x)为周期函数，①正确；f(x＋2)＝－f(x)⇒f(－x＋2)＝－f(－x)，又f(x)为奇函数，所以f(2－x)＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，②正确；由f(x)在[0,1]上为增函数，又关于直线x＝1对称，所以f(x)在[1,2]上为减函数，③错误；由f(x＋2)＝－f(x)，令x＝0，得f(2)＝－f(0)＝f(0)，④正确．综上，①②④正确．追踪命题直击高考3【典例精析】

典例．(2020年深圳模拟)已知函数f(x)是R上的偶函数．若对于x≥0都有f(1－x)＝f(1＋x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2019)＋f(2020)的值为(

)A．－2

B．－1

C．1

D．2【考查角度】函数奇偶性的性质以及函数的周期性的判断及其应用．【考查目的】考查运算求解能力和逻辑推理能力，体现逻辑推理的核心素养．【思路导引】先利用f(x)的奇偶性求出f(x)的周期T＝2，再借助f(x)的奇偶性和周期性将f(－2019)和f(2020)转化到区间[0,2)上进行求值即可．【解析】因为f(x)为R上的偶函数，所以f(x)＝f(－x)，又因为对于x≥0，都有f(1－x)＝f(1＋x)，令t＝1－x，则x＝1－t，所以f(t)＝f(2－t)，即f(x)＝f(2－x)，所以f(－x)＝f(2－x)．所以函数f(x)的周期T＝2，f(－2019)＋f(2020)＝f(2019)＋f(2020)＝f(1)＋f(0)＝log2(1＋1)＋log2(0＋1)＝1.故选C．【答案】C【拓展延伸】1．奇、偶函数定义域的特点(1)奇、偶函数的定义域关于原点对称．(2)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件.2．奇、偶函数的两个性质(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．3．与周期性和对称性有关的三条结论(1)若对于R内的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若对于R内的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中a<b)，则y＝f(x)是以2(b－a)为周期的周期函数．(3)若对于定义域内的任意x都有f(x＋a)＝－f(x＋b)(a≠b)，则函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2|a－b|.

【真题链接】

【答案】C2．(2017年山东)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.【答案】6【解析】因为f(x＋4)＝f(x－2)，所以f(x＋6)＝f(x)，即f(x)的周期为6.因为919＝153×6＋1，所以f(919)＝f(1)．又f(x)为偶函数，所以f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6.3．(2019年新课标Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x＜0时，f(x)＝－eax.若f(ln2)＝8，则a＝________.【答案】－3【解析】因为f(x)是奇函数，所以f(－ln2)＝－8.又因为当x＜0时，f(x)＝－eax，所以f(－ln2)＝－e－aln2＝－8，解得－aln2＝ln8，解得a＝－3.4．(2019年北京)设函数f(x)＝ex＋ae－x(a为常数)．若f(x)为奇函数，则a＝________；若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是________．【答案】－1

(－∞，0]【解析】根据题意，函数f(x)＝ex＋ae－x，若f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，即e－x＋aex＝－(ex＋ae－x)，得(1＋a)(ex＋e－x)＝0.因为ex＋e－x>0，所以1＋a＝0，解得a＝－1.由f(x)＝ex＋ae－x，得f′(x)＝ex－ae－x.若f(x)是R上的增函数，则f′(x)≥0在R上恒成立，即a≤e2x恒成立，所以a≤0，即a的取值范围为(－∞，0]．函数第三章第4讲二次函数与幂函数栏目导航01基础整合自测纠偏03追踪命题直击高考02重难突破能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式ax2＋bx＋c(a≠0)a(x－h)2＋k(a≠0)

a(x－x1)(x－x2)(a≠0)

(2)二次函数的图象和性质：2.幂函数(1)定义：形如________(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)幂函数的图象比较：(3)常见的5种幂函数的性质3．(2019年福建模拟)已知a＝0.40.3，b＝0.30.4，c＝0.3－0.2，则(

)A．b＜a＜c

B．b＜c＜aC．c＜b＜a

D．a＜b＜c【答案】A【解析】因为1＞a＝0.40.3＞0.30.3＞b＝0.30.4，c＝0.3－0.2＞1，所以b＜a＜c.故选A．4．函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1,1]，则y的最小值是________．【答案】－15．若f(x)＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a