《高考数学备考指南》教学课件-08立体几何(下)

立体几何第八章第5讲空间向量及其运算高考要求考情分析1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．2．会推导空间两点间的距离公式．3．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．4．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．5．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．6．理解直线的方向向量与平面的法向量．7．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系这一部分往往作为后面学习的基础，在高考中往往作为一个工具，考查直观想象和数学运算的核心素养栏目导航01基础整合自测纠偏03追踪命题直击高考02重难突破能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11．空间向量及其有关概念(1)空间向量的有关概念空间向量在空间中，具有______和______的量叫做空间向量相等向量方向______且模______的向量共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相___________的向量共面向量____________________的向量大小方向相同相等平行或重合平行于同一个平面(2)空间向量的有关定理共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在唯一一个λ∈R，使a＝λb共面向量定理若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc2．两个向量的数量积(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.3．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a1b1＋a2b2＋a3b3

a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3

a1b1＋a2b2＋a3b3＝0

3．(2019年高安期末)已知空间向量a＝(－1，x,1)，b＝(3,1，y)，c＝(z,0,0)，a＋b＝c，则xyz的值为(

)A．±2

B．－2

C．2

D．0【答案】C

4．(一题两空)已知向量a＝(1，－1,2)，b＝(0,1,1)，则|a－b|＝________，cos〈a，b〉＝________.5．(2020年上海模拟)已知向量a＝(7，－1,5)，b＝(－3,4,7)，则|a＋b|＝________.【答案】13

用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理．如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线平行，只需证明直线的方向向量共线即可．若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)空间中任意两非零向量a，b共面．(

)(2)对任意两个空间向量a，b，若a·b＝0，则a⊥b.(

)(3)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量．(

)(4)若a·b＜0，则〈a，b〉是钝角．(

)【答案】(1)√

(2)×

(3)×

(4)×重难突破能力提升2空间向量的线性运算共线定理、共面定理的应用

已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量方法求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)BD∥平面EFGH.空间向量数量积的应用

如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点．(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的长；(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值．【跟踪训练】3．如图所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC1的长；(2)求证：AC1⊥BD；(3)求BD1与AC夹角的余弦值．追踪命题直击高考3【典例精析】

典例．已知向量a＝(1,2,3)，b＝(x，x2＋y－2，y)，并且a，b同向，则x，y的值分别为__________．【考查角度】共线向量与共面向量．【考查目的】考查方程思想、空间向量及应用，体现数学运算的核心素养．【思路导引】根据向量a与b共线，列出方程组求x，y的值，验证a与b是否同向即可．特别注意，不要将a，b同向和a∥b混淆，a∥b的意义是a，b方向相同或相反．【拓展延伸】1．基底意识用向量解决立体几何问题应树立“基底”意识．2．基向量法和坐标法用向量解决立体几何问题时，可用基向量的运算求解，适于建系的可用坐标运算求解．3．利用向量解决立体几何问题应注意的问题(1)注意向量夹角的确定，避免首尾相连的向量夹角确定错误；(2)注意向量夹角与两直线夹角的区别；(3)注意向量共线与两直线平行与重合的区别．【真题链接】

1．(2014年广东)已知向量a＝(1,0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是(

)A．(－1,1,0)

B．(1，－1,0)C．(0，－1,1)

D．(－1,0,1)【答案】B

立体几何第八章第6讲立体几何中的向量方法(一)高考要求考情分析1.理解直线的方向向量及平面的法向量．2．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系．3．能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理证明平行与垂直是高考每年必考内容，是高考的热点，考查直观想象和逻辑推理的核心素养栏目导航01基础整合自测纠偏03追踪命题直击高考02重难突破能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11．两个重要向量直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有______个平面的法向量直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有______个，它们是共线向量无数无数2．空间中平行、垂直关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则线线平行l∥m⇔a＝kb(k∈R)线面平行l∥α⇔a⊥n1⇔a·n1＝0面面平行α∥β⇔n1∥n2⇔n1＝kn2(k∈R)线线垂直l⊥m⇔a·b＝0线面垂直l⊥α⇔a∥n1⇔a＝kn1(k∈R)面面垂直α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝02．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(3,2，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于(

)A．2

B．3

C．4

D．5【答案】C

3．若直线l∥平面α，直线l的方向向量为s，平面α的法向量为n，则下列结论正确的是(

)A．s＝(－1,0,2)，n＝(1,0，－1)B．s＝(－1,0,1)，n＝(1,2，－1)C．s＝(－1,1,1)，n＝(1,2，－1)D．s＝(－1,1,1)，n＝(－2,2,2)【答案】C

【解析】因为直线l∥平面α，直线l的方向向量为s，平面α的法向量为n，所以s·n＝0.对于A，s·n＝－1－2＝－3；对于B，s·n＝－1－1＝－2；对于C，s·n＝－1＋2－1＝0；对于D，s·n＝2＋2＋2＝6.故选C．4．在平面ABC中，A(0,1,1)，B(1,2,1)，C(－1,0，－1)，若a＝(－1，y，z)，且a为平面ABC的法向量，则y＋z＝________.【答案】1

5．(2019年日照期末)设平面α的一个法向量为n1＝(1,2，－2)，平面β的一个法向量为n2＝(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝________.【答案】4

1．用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理．如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线平行，只需证明直线的方向向量共线即可．若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外．2．用向量证明立体几何问题，写准点的坐标是关键，要充分利用中点、向量共线、向量相等来确定点的坐标．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)直线的方向向量是唯一确定的．(

)(2)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．(

)(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行或重合．(

)(4)若空间向量a垂直于平面α的法向量，则a所在直线与平面α平行．(

)【答案】(1)×

(2)√

(3)√

(4)×重难突破能力提升2利用空间向量证明平行问题

如图所示，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．求证：(1)PB∥平面EFH；(2)PD⊥平面AHF.【规律方法】用向量证明平行的方法：(1)线线平行：证明两直线的方向向量共线．(2)线面平行：①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行．(3)面面平行：①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题．【跟踪训练】1．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.利用空间向量证明垂直问题

如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.证明：(1)PA⊥BD；(2)平面PAD⊥平面PAB.【证明】(1)取BC的中点O，连接PO.因为平面PBC⊥底面ABCD，△PBC为等边三角形，所以PO⊥底面ABCD.以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．【规律方法】用向量证明垂直的方法：(1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零．(2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示．(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示．【跟踪训练】2．如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.【证明】如图所示，取BC的中点O，连接AO.因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC.因为平面ABC⊥平面BCC1B1，AO⊂平面ABC，所以AO⊥平面BCC1B1.利用空间向量解决探索性问题

如图所示，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求证：BD⊥AA1；(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由．【规律方法】立体几何开放性问题求解方法：(1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，然后再加以证明，得出结论．(2)假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，根据题目进行求解，若能求出参数的值且符合已知限定的范围，则存在这样的点或线，否则不存在．【跟踪训练】3．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，求证：直线BC1∥平面EFPQ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ⊥平面PQMN？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．追踪命题直击高考3【典例精析】

典例．(2020年岳麓区校级模拟)如图，直三棱柱ABC－DEF的底面是边长为2的正三角形，侧棱AD＝1，P是线段CF的延长线上一点，平面PAB分别与DF，EF相交于M，N.(1)求证：MN∥平面CDE；(2)求当PF为何值时，平面PAB⊥平面CDE.【考查角度】线面平行的判定及性质，考查面面垂直的判定．【考查目的】考查逻辑推理能力及运算求解能力，体现数学运算和直观抽象的核心素养．【思路导引】(1)利用线面平行的性质可得AB∥MN，进一步得到DE∥MN，由此得证；(2)方法一：取线段AB，DE的中点G，H，分析可得若PG⊥CH，则平面PAB⊥平面CDE，由此利用解三角形知识求解；方法二：建立空间直角坐标系，利用向量知识得解．【解析】(1)因为AB∥DE，AB在平面DEF外，则AB∥平面DEF.因为平面PAB∩平面DEF＝MN，则AB∥MN，从而DE∥MN.因为MN在平面CDE外，所以MN∥平面CDE.【拓展延伸】1．用向量方法证明平行与垂直的思路用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：①建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；②通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；③根据运算结果的几何意义来解释相关问题．2．空间向量与立体几何的联系用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理．如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线l1∥l2，只需证明向量a＝λb(l1，l2的方向向量分别为a，b，λ∈R)即可．若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外．【真题链接】

2．(2019年新课标Ⅰ)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．(1)证明：MN∥平面C1DE；(2)求点C到平面C1DE的距离．立体几何第八章第7讲立体几何中的向量方法(二)——求角高考要求考情分析1.能用向量方法解决直线与直线，直线与平面，平面与平面的夹角的计算问题．2．了解向量方法在研究立体几何问题中的应用利用空间向量求角，在高考中，几乎每年会出现大题中的一问，考查数学运算和直观想象的核心素养栏目导航01基础整合自测纠编03追踪命题直击高考02重难突破能力提升04配套训练基础整合自测纠编1[特别提醒]1．线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sinθ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为cosθ＝|cos〈a，n〉|.2．二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补．1．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为(

)A．45°

B．135°C．45°或135°

D．90°【答案】C

2．(2019年海口期末)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则AA1与平面AB1C1所成的角为(

)【答案】A

【答案】A【答案】30°

1．利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为各空间角．因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同．2．求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角．【答案】(1)×

(2)×

(3)×

(4)√重难突破能力提升2利用空间向量求异面直线所成的角【规律方法】(1)向量法求异面直线所成的角的两种方法：①基向量法：利用线性运算．②坐标法：利用坐标运算．(2)向量的夹角与异面直线所成角的区别：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角．【答案】(1)C

(2)A利用空间向量求直线与平面所成的角

(2016年新课标Ⅲ)如图所示，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)求证：MN∥平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【规律方法】利用平面的法向量求线面角的注意点：(1)求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角即为所求．(2)若求线面角的余弦值，要注意利用平方关系sin2θ＋cos2θ＝1求出其值．不要误认为直线的方向向量与平面的法向量所夹角的余弦值为所求．利用空间向量求二面角

(2019年惠州模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，PA⊥PB，PC＝2.(1)求证：平面PAB⊥平面ABCD；(2)若PA＝PB，求二面角A－PC－D的余弦值．【规律方法】利用向量求二面角的方法：(1)分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．(2)分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直且以垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．追踪命题直击高考3【典例精析】

【考查角度】平面与平面垂直与直线与平面所成的角．【考查目的】考