12.3.2 等腰三角形的判定 教学教学课件2026-2027学年华东师大版八年级数学上册

12.3.2等腰三角形的判定问题1

等腰三角形和等边三角形的定义分别是什么？都有哪些性质？知识回顾，温故知新图形定义性质等腰三角形等边三角形有两条边相等的三角形①等边对等角

②三线合一③轴对称图形（有1条对称轴）有三条边相等的三角形①三个角都相等(60°)

②三线合一③轴对称图形（有3条对称轴）知识回顾，温故知新

同学们，这是海南黎族传统工艺—黎锦，它被誉为“人类纺织史上的活化石”，已存续三千年，其纹样中藏着丰富的几何元素，大家能从纹样里找出熟悉的几何图形吗？创设情境，引入新课

村里的黎锦传承人李奶奶说，织这种三角形纹样时，为了保证对称美观，会先固定三角形两个角，让它们完全相等，这样织出来的两条侧边就一样长.

图案自然就对称了.请问对吗？创设情境，引入新课问题2

在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边会有什么关系吗？请同学们画一画、量一量、折一折，你发现了什么？活动1动手操作：①在纸上画一条线段

BC

；②分别以

B、C为顶点，BC

为一边，在

BC

的同一侧用量角器作出两个相等的角(小于90°)，两角的另一边交于点A

；③用刻度尺测量AB和AC的长度并比较（或者将三角形剪下来,沿∠BAC的角平分线对折，观察AB与AC是否完全重合）.动手操作，深入探究问题2

在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边会有什么关系吗？请同学们画一画、量一量、折一折，你发现了什么？猜想：

如果一个三角形中有两个角相等，那么它们所对的边也相等，该三角形为等腰三角形.动手操作，大胆猜想活动2利用数学软件进行演示，支持猜想.动画演示，验证猜想猜想

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.

求证：AB=AC.分析：要证AB=AC全等三角形的对应边相等构造两个全等三角形添加辅助线小组合作，证明猜想猜想

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.

求证：AB=AC.小组合作，证明猜想猜想

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.

求证：AB=AC.

∴

△BAD

≌

△CAD（AAS)

.证明

如图，作∠BAC的平分线AD.在△BAD和△CAD中，∵

∠B

=∠C，

∠1=∠2，AD=AD，

∴

AB=AC

(全等三角形的对应边相等）.小组合作，证明猜想

想想看，还可以添加什么辅助线证明这一结论？猜想

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.

求证：AB=AC.

∴

△BAD

≌

△CAD（AAS)

.证明

过点A作AD⟂BC，垂足为点D.在△BAD和△CAD中，∵

∠B

=∠C，

∠ADB=∠ADC，AD=AD，

∴

AB=AC

(全等三角形的对应边相等）.小组合作，证明猜想等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.(简写成“等角对等边”)

符号语言：在△ABC中，∵

∠B=

∠C，∴AB=AC(等角对等边）.∴△ABC是等腰三角形（等腰三角形的定义）.【注意】“等角对等边”的前提是在同一个三角形中.等边等角性质追问：等腰三角形的性质与判定有区别和联系吗？判定归纳总结

∴

∠C

=∠B.

∴

AB=AC(等角对等边）.初步应用，巩固新知问题：情景中的李奶奶的话对吗？你能运用所学知识解释吗？（2）村里的黎锦传承人李奶奶说，织这种三角形纹样时，为了保证对称美观，会先固定三角形两个角，让它们完全相等，这样织出来的两条侧边就一样长.

图案自然就对称了.请问对吗？答案：李奶奶的说法正确.初步应用，巩固新知

猜想

①三个角都相等的三角形是等边三角形.②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.类比探究，拓展新知.

求证：△ABC是等边三角形.

∴

AC=AB(等角对等边）.证明：∵

∠A=∠B(已知)，

∴

BC=AC(等角对等边）.∵

∠B=∠C(已知).证明猜想

①三个角都相等的三角形是等边三角形.类比探究，拓展新知.

求证：△ABC是等边三角形.证明：∴

BC=AC=AB(等量代换）.

∴

△ABC是等边三角形.证明猜想

①三个角都相等的三角形是等边三角形.类比探究，拓展新知.

求证：△ABC是等边三角形.

∠A=60°(已知），证明：∵

AB=AC(已知)，

∴

∠B=∠C(等边对等角）.

证明猜想

②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.类比探究，拓展新知.

求证：△ABC是等边三角形.证明：

∴

∠B=∠C=

∴

∠A=∠B=∠C(等量代换）.∴

△ABC是等边三角形.证明猜想

②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。类比探究，拓展新知等边三角形的判定定理：①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.

符号语言：在△ABC中，①∵∠A=∠B=∠C，∴

AB=AC=BC.②∵AB=AC，∠A=60°，∴AB=AC=BC.归纳总结任意的三角形问题5

你能说说等腰三角形和等边三角形在判定方面的异同吗？归纳总结两边条相等或两个角相等等腰三角形等边三角形三条边相等或三个角相等有一个角等于60°问题6

（1）如图，AB//CD，∠1=

∠2.

①求证：AB=AC.

∴

∠B

=∠1.①证明

∵

AB//CD，

∴∠B=

∠2

(两直线平行，同位角相等）又∵∠1=

∠2，

∴

AB=AC(等角对等边）.典例精析，深化理解问题6

（1）如图，AB//CD，∠1=

∠2.

①求证：AB=AC.②需再增加什么条件，可使得△ABC是等边三角形？典例精析，深化理解解

②需再增加条件：∠1=60°

，或∠2=60°，

或∠A=60°，

或∠B=60°，或AB=BC，或AC=BC，或∠A=∠B，或∠ACB=∠B.（2）如图，Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠ACB=

∠A′C′B′=90°

，AB=A′B′，AC=A′C′.求证：Rt△ABC

≌

Rt△A′B′C′.B′C′A′BABCC′(C)A′(A)典例精析，深化理解

在△A′B′B中，

证明：∵∠A′C′B=

∠A′C′B′=90°，∴

∠B′C′B

=∠A′C′B′+∠A′C′B=180°，即点B′、C′、B在同一条直线上.

∵

A′B′

=AB=A′B，（2）如图，Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠ACB=

∠A′C′B′=90°

，AB=A′B′，AC=A′C′.求证：Rt△ABC

≌

Rt△A′B′C′.C′(C)A′(A)B′B典例精析，深化理解

∵∠B

=∠B′，∠ACB=

∠A′C′B′，AC=A′C′

，

证明：∴

∠B

=∠B′(等边对等角）.

在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，

∴

Rt△ABC

≌

Rt△A′B′C′（AAS)

.（2）如图，Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠ACB=

∠A′C′B′=90°

，AB=A′B′，AC=A′C′.求证：Rt△ABC

≌

Rt△A′B′C′.C′(C)A′(A)B′B典例精析，深化理解

∵∠B

=∠B′，∠ACB=

∠A′C′B′，AC=A′C′

，

证明：∴

∠B

=∠B′(等边对等角）.

在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，

∴

Rt△ABC

≌

Rt△A′B′C′（AAS)

.（2）

如图，Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠ACB=

∠A′C′B′=90°

，AB=A′B′，AC=A′C′.求证：Rt△ABC

≌

Rt△A′B′C′.

这样，我们就证明了前面已给出的判定直角三角形全等的HL判定定理.典例精析，深化理解问题7

（1）如图，∠A

=72°

，∠B

=36°

，CD平分∠ACB.试指出图中的哪些三角形是等腰三角形，并说明理由.

解：图中，△BAC、△DBC、△CAD均为等腰三角形.

理由如下:由∠A=72°，∠B=36°，得∠BCA=72°=∠A∴BA=BC

.课堂训练，巩固提升

问题7

（1）如图，∠A

=72°

，∠B

=36°

，CD平分∠ACB.试指出图中的哪些三角形是等腰三角形，并说明理由.

解：图中，△BAC、△DBC、△CAD均为等腰三角形.理由如下:又∵∠CDA=∠B+∠DCB=72°=∠A，∴CD=CA

.课堂训练，巩固提升（2）如图，已知点D为BC的中点，DE⟂AB，DF⟂AC，点E、F为垂足，且BE=CF，∠BDE=30°.求证：△ABC是等边三角形.

证明：∵点D为BC的中点，DE⟂AB，DF⟂AC，∴BD=BC

，∠BED=

∠CFD

=90°

，

在Rt△BED

和Rt△CFD中,∴Rt△BED≌

Rt△CFD(HL).课堂训练，巩固提升（2）如图，已知点D为BC的中点，DE⟂AB，DF⟂AC，点E、F为垂足，且BE=CF，∠BDE=30°.求证：△ABC是等边三角形.

证明：∴

∠B

=∠C，