浙江大学《概率论与数理统计》课件-第8章假设检验

第54讲假设检验的基本思想第8章假设检验E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410例1.

体重指数BMI是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准.

专家指出,

健康成年人的BMI

取值应在

18.55-

24.99

之间.某种减肥药广告宣称,

连续使用该种减肥药一个星期便可达到减肥的效果.2E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410为了检验其说法是否可靠,随机抽取9位试验者

(要求BMI

指数超过25、年龄在20-25岁女生),

先让每位女生记录没有服用减肥药前的体重,

然后让每位女生服用该减肥药,

服药期间,

要求每位女生保持正常的饮食习惯,

连续服用该减肥药

1周后,再次记录各自的体重.3E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410问题：根据目前的样本资料能否认为该减肥药广告中的宣称是可靠的？4测得服减肥药前后的体重差值(服药前体重-服药后体重)

(单位:

kg):1.5，

0.6，

-0.3，

1.1，

-0.8，

0，

2.2，

-1.0，

1.4E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410假设检验的目的是通过收集到的数据，来验证某个想要得到的结论。过程类似于法官的审判过程。你偷

东西了我从来不偷东西法官的立场基于“疑罪从无”：法官宣告被告“有罪”是需要充分的证据来推翻被告是“无罪”的假设；而宣判“无罪”,

是由于没有充分的证据支持被告“有罪”,

并不是有充分的证据支持被告“无罪”.5E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410第一步，建立两个完全对立的假设：原假设(零假设)H0，备择假设

(对立假设)

H1。原假设与备择假设是不对称的！决定谁是原假设，依赖于立场、惯例、方便性.6检验假设的过程是一个四步曲.E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B4101.

保护原假设.如果错误地拒绝假设A比错误地拒绝假设B带来更严重的后果——A选作原假设！例如：假设A:新药有某种毒副作用，假设B:新药无某种7毒副作用.——A选作原假设H0！“有毒副作用”错误地当成“无毒副作用”

比“无毒副作用”错误地当成“有毒副作用”带来的后果更严重。E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410原假设为维持现状.为解释某些现象或效果的存在性，原假设常取为“无效果”、“无改进”、“无差异”

等，拒绝原假设表示有较强的理由支持备择假设.例1中原假设H0:药物没有减肥效果.

备择假设

H1:

药物有减肥效果.原假设取简单假设.只有一个参数(或分布)的假设称为简单假设.如果只有一个假设是简单假设，将其取为原假设.8E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410参数假设的形式设θ是反映总体指标某方面特征的量,

是我们感兴趣的参数. 一般参数θ的假设有三种情形:H0：

0，H1：

0(左边检验）H0：

0，H1：

（0 右边检验）H0：

0，

H1：

（0 双边检验）9E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410在假设检验中H0：

0，H1：

（0H0：

0，H1：

（010左边检验）与左边检验）的检验法则与检验效果是一致的.同样的H0：

0，H1：

（0H0：

0，H1：

（0右边检验）与右边检验）的检验法则与检验效果也是一致的.E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410如何检验假设？根据收集的资料，针对假设，给出检验方法，然后对假设进行判断。判断方法有二种：临界值法.

P_值法.以例1为例来说明减肥药有效？还是无效？11E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410设服用减肥药前后体重差值X

~

N

(

，

2

),并假定方差

2

0.36.检验假设：H0

:

0,

H1

:

0,注意到：X是

的无偏估计，X的取值大小反映了

的取值大小，当原假设成立时，X取值应偏小。因此当X

C时，拒绝原假设H

0，当X

C时，接受原假设H

0，其中C是待定的常数.12E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410如果统计量T

T

(

X1,

,X

n

)的取值大小和原假设H0是否成立有密切联系，可将其称为对应假设问题的检验统计量，而对应于拒绝原假设H0时，样本值的范围称为拒绝域，记为W

,其补集W称为接受域.第二步：给出检验统计量，并确定拒绝域的形式.原假设本例中的检验统计量为X,拒绝域为W

(X1,

,

Xn

)

:

X

C

C如何选择？——关键问题.13E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410第I类错误：拒绝真实的原假设(弃真).

第II类错误：接受错误的原假设(取伪).原假设为真原假设不真根据样本拒绝原假设第I类错误正确根据样本接受原假设正确第II类错误由于样本的随机性，任一检验规则在应用时，都有可能发生错误的判断——两类错误.14E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410犯两类错误的概率相互制约

P{第I类错误}=P{拒绝H0|H0是真实的},

P{第II类错误}=P{接受H0|H0是错误的}.nX ~

N(1 1nn

,

),i

1H0

:

0

,

H1

:

1(

0

),

i例如：设总体X~

N(

,1),则X

拒绝域：X

C.

0

1C

0

P

(

X

C)1

P

(

X

C)15E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410Neyman-Pearson原则：首先控制犯第I类错误的概率不超过某个常数

（0,1），再寻找检验，使得犯第II类错误的概率尽可能小.

称为显著水平.常取

0.01,

0.05,

0.1等.16E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B4100X0.6/ 9当H

:

0成立时,

~

N(0,1),

统计量的分布

犯第I类错误的概率可如下计算：C

1

0.05.

/n

0.05

z

1.645.

C

0.329.0.6

/

9C

X CP{X

C

0}

P

0

n

n

第三步，根据显著水平和统计量的分布确定临界值——临界值法在例1中，取显著水平

0.05，

0.05

0.05

z17E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410根据Neyman

Pearson原则，为使犯第II类错误的概率尽可能小，应取C

0.329.因此,拒绝域W

{X

0.329}.第四步：根据样本得出结论.根据实际样本资料，得x

0.522

0.329.当原假设H0成立时，样本落在拒绝域的概率不超过0.05，是小概率事件。根据实际推断原理，有充分的理由拒绝原假设，认为厂家的宣传是可靠的.同理，若

0.01,拒绝域W

{X

0.465}，拒绝原假设.18E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410P

值：当原假设H0

成立时，检验统计量取比观察到的结果更为极端的数值的概率.概率这么小的事件！竟然发生了！！拒绝原假设！！！0.6

/P

P{X

x

0.522

|

0}

1

( 0.522 )

0.0045第三’步：计算最小显著水平——P_值法9

0.05第四’步：比较P_值与显著水平，得出结论.X

0.32919拒绝区

0.05P_

0.00450.329

0.522E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410P

值与显著水平

的关系：(1)若P

，等价于样本落在拒绝域内，因此，拒绝原假设，称检验结果在水平

下是统计显著的.20(2)若P

，等价于样本不落在拒绝域内，因此，不拒绝（接受）原假设，称检验结果在水平

下是统计不显著.E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410临界值法处理假设检验问题的基本步骤21根据实际问题提出原假设和备择假设；提出检验统计量和拒绝域的形式；在给定的显著水平

下，根据Neyman-Pearson原则求出拒绝域的临界值;根据实际样本观测值作出判断.E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410P_值法处理假设检验问题的基本步骤根据实际问题提出原假设和备择假设；提出检验统计量和拒绝域的形式；（3/）计算检验统计量的观测值与P

值；（4/）根据给定的显著水平

，作出判断.22E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410第55讲：单个正态总体均值的假设检验（标准差已知，Z检验）E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410设总体X

~

N

(

,

2

),

2已知2X1

,

X

2

,...,

X

n是来自总体N

(

,

)

样本.2x1

,

,

xn是X1

,

,

X

n的样本观测值.考虑假设问题(显著水平为

)H0

:

0

,

H1

:

0

,H0

:

0

,

H1

:

0

,H0

:

0

,

H1

:

0

,其中

0是已知的常数.E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410双边假设问题H0

:

0

,

H1

:

0

,其中

0是已知的常数.n

X

检验统计量为

Z

00

n

X

.

zW

|

Z

|

/2

检验拒绝域z

2接受域

z

23

2

2拒绝域E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410P_值的计算0

n对给定的样本观察值x1,

,

xn

,记检验统计量Z的取值z

x

0

，

000(|

z |)).HP

P|

Z

|

|

z

|

2(1

当P

时，拒绝原假设

当P

时，接受原假设.

z

20

|z

|红色区域概率值：P_值蓝色区域概率值：

P_值<

,

拒绝H

0

.z

20|z

|4E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410左边假设问题：H0

:

0

,

H1

:

0,其中

0是已知的常数.

n检验统计量为

Z

X

00

n

X

z

.

检验拒绝域W

Z

n

H0 0 0 0P

P

Z

z

(z

).

其中z

x

0

.接受域

z

z0P_值P_值<

,拒绝H0.5E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410右边假设问题：H0

:

0

,

H1

:

0,其中

0是已知的常数.

n检验统计量为

Z

X

0

n

X

0

z

.

检验拒绝域W

Z

P

PH

Z

z0

1

(z0

).00

n其中z

x

0

.z

接受域P_值P_值>

,接受H0.

z0

6E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410例1：为了了解A高校学生的消费水平,随机抽取225位学生调查其月消费(近6个月的消费平均值),

得到该225位学生的平均月消费为1530元.

假设学生月消费服从正态分布,

标准差为σ=120.已知B高校学生的月平均消费为1550

元,

是否可以认为A高校学生的消费水平要低于B高校?本例的Excel计算见实验18.7E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410步骤1：提出检验假设步骤2：确定检验规则H0

:

1550,

H1

:

1550

n8检验统计量为

Z

X

1550.

取显著水平

0.05,由备择假设的形式知，这是左边检验，因此检验规则为：当Z

z

z0.05

1.645时，拒绝H0.E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410步骤3:计算检验统计量的值将样本均值x

1530,

120,

n

225,9代入检验统计量，计算得Z

X

1550

1530

1550

2.5

1.645.

n 120 225步骤4：根据实际情况作出判断因此，根据检验规则，做出拒绝原假设H0的判断.即认为A高校学生的生活水平低于B高校.E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410利用P_值进行假设检验步骤3’:计算P_值P_

P(

X

1550

1530

1550

1550)

n 120 225

P(Z

2.5)

0.006步骤4’:根据显著水平作出判断P_

0.006

0.05,同样做出拒绝原假设H0

:

1550的判断.10E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410例2：据健康统计中心报告35至44岁的男子平均心脏收缩压为128,标准差为15.

现根据某公司在35至44岁年龄段的72位员工的体检记录,计算得平均心脏收缩压为126.07(mm/hg).问该公司员工的心脏收缩压与一般人群是否存在差异呢?（假设该公司员工的心脏收缩压与一般中年男子的心脏收缩压具有相同的标准差）。(α=0.05)11E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410步骤1：提出检验假设步骤2:计算检验统计量的观测值.H

0

:

128,

H1

:

128012z

x

0

126.07

128

1.09

n 15 72E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410步骤3:

计算P_值13步骤4：根据实际情况作出判断P_=0.2758>0.05，因此，没有充分理由拒绝原假设。P

2(1

(|

z0

|))

2(1

(1.09))

0.2758.E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410假设检验与区间估计14作区间估计时，对参数是未知，并且没有先验的认

识，但参数是固定不变的，所以区间估计的目的是：根据样本对参数进行估计；作假设检验时，对参数有一个先验的认识（例如μ=μ0），但由于某种情形的出现（如工艺改良

等），猜测真实参数值可能发生了变化，所以假设检验的目的是：根据样本确认参数是否真的发生了改变。但置信区间与假设检验的拒绝域之间又有密切的关系。E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410考虑总体X

~

N

(

,

2

),

2已知时

的统计推断设X1

,

X

2

,...,

X

n

是来自总体N

(

,

)

样本.2X

zn

2

的置信水平为1

的置信区间由下式得到，

n

的枢轴量为

X

~

N

(0,1),

X

nn15

2

2z

X

z .等价为E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410

0

XW

z

n

2

显

著

性

水

平

为

的

检

验

拒

绝

域

为,00n

X

n

2

X

W

z

n

2

z

X

z

2

接受域为H0

:

0

H1

:

0

,假设检验问题将

0改为参数

16就是置信区间！E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410第56讲：单个正态总体均值的假设检验（标准差未知,t检验）E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410例1

可乐制造商为了检验可乐在贮藏过程中其甜度是否有损失，请专业品尝师对可乐贮藏前后的甜度进行评分.10位品尝师对可乐贮藏前后甜度评分之差为2.0,0.4,0.7,2.0,-0.4,2.2,-1.3,1.2,1.1,2.32问：这些数据是否提供了足够的证据来说明可乐贮藏之后的甜度有损失呢？设总体服从正态分布，标准差未知.E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410例1中,只有采集到的数据，并不知道总体的方差。如何根据这些数据得出所需要的结论呢？3设总体X

~

N(

,

2

),

2未知——t检验法考虑假设问题(显著水平为

)H0

:

0

,

H1

:

0

,H0

:

0

,

H1

:

0

,H0

:

0

,

H1

:

0

,其中

0是已知的常数.E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410双边假设问题H0

:

0

,

H1

:

0用

的估计量S代替

，采用T

X

0 作检验统计量。S n4E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410~

t

n

1

X

0S n当原假设成立时,S n

2X

T

0

t

(n

1)根据Neyman-Pearson原则，可得拒绝域为t

2(n

1)1

2

2

t

2(n

1)S n5X

0

k.即检验拒绝域的形式为E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410P

值的计算0x

s n对给定的样本观察值x1,

,

xn

,记检验统计量T的取值为t

0

，则有

当P

时，拒绝原假设，否则，接受原假设.P

PH

|

T

|

|

t0

|

0

2P

t(n

1)

|

t0

|

.P_值<

,

拒绝H

0

.P_值

t

2(n

1)t

2(n

1)60

|

t ||

t0

|E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B4107左边假设问题H0

:

0

,H1

:

0

，

其中

0已知

X

0S n拒绝域为W

t (n

1)

TP

值为P

P

T

t0

P

t(n

1)

t0

.P_值

t

(n

1)P_值<

,拒绝H0.t0E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B4108右边假设问题H0

:

0

,H1

:

0

，

其中

0已知

X

0S n拒绝域为W

t

(n

1)

TP

值为P

P

T

t0

P

t(n

1)

t0

.t

(n

1)t0P_值P_值>

,

接受H

0

.E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410例1的具体计算过程：步骤1:

提出假设步骤2:

计算检验统计量的值.H0

:

0(甜度没有损失),

H1

:

0(甜度有损失).由样本得出，x

1.02,

s

1.196.t

x

090

1.02

0

2.70.s n 1.196 10E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410步骤3:

计算P_值步骤4：根据实际情况作出判断由右边检验P_的计算方法，得P_

P(t(9)

2.70).查表得：P_=0.0122.10如果显著水平取α=0.05，则有充分的理由拒绝原假设。如果显著水平取α=0.01，则还没有充分的理由拒绝原假设。E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410例2

要求某种元件的平均使用寿命不得低于1000

小时，生产者从一批这种元件中随机抽取25件，

测得其平均寿命为950小时，标准差为100小时。已知这批元件的寿命服从正态分布。试在显著

性水平0.05下确定这批元件是否合格？本例的Excel计算见实验19.11E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410H1

:

1000.解：按题意需检验H0

:

0

1000，

t

(n

1).拒绝域为：

t

X

0S nn

25,

t0.05

(24)

1.7109.12x

950,

s

100E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B4100130.05(24).s nt

x

0

2.5

1.7109

t计算得：t0落在拒绝域内，故拒绝原假设，认为这批元件的平均寿命小于1000小时。结论：不合格。E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B4100P

PH

T

t0

P

t(24)

2.5

P

值为

0.000866

0.05因此拒绝原假设，判断结果与前面一致！14E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410第57讲：单个正态总体参数的假设检验（成对数据t检验和参数σ的检验）E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410配对研究的数据是一对一对地收集得到的,

所以也称为成对数据的研究.

由于配对研究采用了比较的思想,

比通常的单个样本推断更让人信服.

这种方法在医学和生物研究领域中广泛存在,

成对数据检验的基本思想是将两样本问题转为单样本问题.21.成对数据t检验E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410为比较两总体均值是否有显著差异，可考虑如下的检验问题：3H0

:

D

0,

H1:

D

0假设成对数据(X1,Y1),

,(Xn

,Yn

)设差值

Di

Xi

Yi

,i

1,

,

n.)的样本2D D差值可以看成来自正态总体N(

,

E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B41022nniDini

1i

1S

(D

D) ,

1 n

1

记 D

1

D

,则检验统计量为T

nD

,SD检验的拒绝域为W

|

T

|

t

/2

(n

1)

，

000|

T

|

|

t |

2P

t(n

1)

|

t |

.H

P

PP

值为:04sd观察值为t

nd

，E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410例1：为了试验两种不同谷物种子的优劣，选取了十块土质不同的土地，并将每块土地分为面积相同的两部

分，分别种植这两种种子。设在每块土地的两部分人

工管理等条件完全一样。下面给出各块土地上的产量。5种子A(xi)

23352942392937343528种子B(yi)

26393540382436274127E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410di=xi-yi -3 -4 -6 2 1 5 1 7 -6 1问：这两种种子种植的谷物产量是否有显著的差异（取显著性水平为0.05)? 本例的Excel计算见实验20.6E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410解：检验假设

H0

:

D

0,

H1

:

D

0分别将D

,

D

,...,

D

的样本均值和样本方差记为D,S2

,1 2 n DD7

t

2

n

1

,SD n拒绝域为：

查表得：t0.025

9

2.2622E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410

0.142

2.26228d计算得：

d

0.2,

sd

4.442,sd n结论：不能拒绝原假设，认为两种种子产量没有显著差异。P

PH

|

T

|

|

t

|

2P

t(n

1)

0.142

0.89.0 0E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B4102.参数σ的检验（假设μ未知）2 22200 0 1双边检验:H

:

,

H

:

(n

1)S

2

292~

（n

1)20其中

是已知常数。此时

2的无偏估计量为样本方差S

2，且有:设总体X

~

N

(

,

2

),

,

2未知，X

,

,

X1 n是总体X的样本，E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B4102

(n

1)S

220因此,可取检验统计量为

20

(n

1)

S

2 (n

1)

S

2

k

2

.20检验拒绝域形式为:

k1

,

或2010

n

1

S

2~

2

n

1

.在原假设成立时,E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B4102200

(n

1)S

2

n

1

S

2

P

k1

2

,

P

k2

2

.

为计算方便，习惯上取221)

(n

21

1

2

2

(n

1)

2201120

(n

1)S2(n

1)S2

P

k2

.20P{拒绝H0

当H0为真}

k1,

或E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410221)

(n

21

21

2

(n

1)

22222200

2

1

2

(n

1)S(n

1)S2(n

1)拒绝域为：(n

1),

或

2检验法212122

21

2k

n

1

，k

n

1

.E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410

20220,

(n

1)S2(n

1)s2

P

(n

1)2020

记：p

PP

值计算：2220

nii

1(n

1)s2

1 n

120其中，

s

(x

x

)

，

221)

(n

21

1

2

2

(n

1)

2P

220

P

2

min(

p,1

p)当P

，拒绝原假设，当P

，接受原假设.13P_值>

,接受H0.E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B41022220 10

,

H

:

0左边检验：H

:

220

1

(n

1)S2(n

1);拒绝域为：

220

(n

1)S2(n

1)s2

P

PH

P

(n

1)

,

0

2200

当P

，拒绝原假设，当P

，接受原假设.21

(n

1)P

20

014P_值>

,接受H

.E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B41022220 10

,

H

:

0右边检验：H

:

220

(n

1)S2

(n

1);拒绝域为：

22022

(n

1)S2(n

1)s2

P

(n

1)

,P_

P

2

0

0 0

当P

，拒绝原假设，当P

，接受原假设.2

(n

1)P

20

P_值<

,拒绝H0.15E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410希望从资料得出“支持的结论”即：新品种苹果的重量差异小。本例的Excel计算见实验21.例2

一个园艺科学家正在培养一个新品种苹果，这种苹果除了口感好和颜色鲜艳外，另一个重要特征是单个重量差异不大（对照品种的方差

2

=7).为了评估新苹果，他随机挑选了25个测试重量（单位：克），其样本方差为S2

4.25 .问新品种的方差是否比对照品种方差小？

(

0.05)16E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410解：H

0

:

7, H :

72 21220

1

(n

1)S

2(n

1)拒绝域：2170

25

1

4.257

14.57

13.848计算得：

20.95

24

13.848,查表得：

E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410结论：不拒绝原假设，即认为新品种的方差并不比对照组的小。P

值计算：计算P

_

P{

2

(24)

14.57}

0.0673

0.05.作出同样判断。18E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410第58讲：两个正态总体参数的假设检验(比较两个正态总体均值的检验)E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410例1：通常认为男女的脉搏率是没有显著差异的.

现在随机地抽取年龄都是25岁的16位男子和13位女子,

测得他们的脉搏率如下:男:

61,

73,

58,

64,

70,

64,

72,

60,

65,

80,

55,72,

56,

56,

74,

65,女:

83,

58,

70,

56,

76,

64,

80,

68,

78,

108,76,

70,

97.问题：假设男女脉搏率都是服从正态分布,这些数据能否认为男女脉搏率的均值相同?2E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410

232n1X1

,

X

2

,

,

X

Y1

,Y2

,

,Yn221 1,

22假设：是来自N

,

的样本,是来自N

的样本，

两样本相互独立.并记X

,Y

,

S

2

,S

2分别为两样本的均值和方差.1检验假设

H0

:

1

2

, H1

:

1

2

,

显著水平

.E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B410221 21. 当

和

已知时n1 n2检验统计量X

Y

, 拒绝域形式

X

Y

C.

2

2当H0成立时，X

Y ~

N

(0，

1

2

）.

2

2 1

2

记:

Z

X

Y

n1 n2则检验拒绝域为：

Z

z

2

z检验4E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B41005

2

2 1

2

P

PH

Z

z

2(1

(

z ),0 0 0n1 n2其中:

z

x

y .E6636B02012BD195C019CE06C16E3014C33D0DEC2711A616D0819A133DEFA8FC8F6FE103BC41BA967B4EDBF0472B73A72FC0F2BE2AA530FE690F217257F581FDBF2DB6715F2B3FBA7EC2436B41022 21 22. 当

=

=

但未知时首先利用合样本给出参数

2的无偏估计量

21 1 2122 .wn

1

S

n

1

S

2S

2

n

n

21

16wSn1 n2可取检验统计量为：

T

X

Y

E6636B02012BD195C019CE06C16E30