苏州大学《统计学》课件-第四章 假设检验

统计学苏州大学2026/5/2812026/5/282/93第四章假设检验2026/5/283/93§4.1假设检验的基本概念

对总体的概率分布或分布参数作出某种“假设”，根据抽样得到的样本观测值，运用数理统计的分析方法，检验这种“假设”是否正确，从而决定接受或拒绝“假设”，这就是本章要讨论的假设检验问题。2026/5/284/931、什么是假设？假设：定义为一个调研者或管理者对被调查总体的某些特征所做的一种假定或猜想。是对总体参数的一种假设。常见的是对总体均值或比例和方差的检验；在分析之前，被检验的参数将被假定取一确定值。我认为到KFC消费的人平均花费2.5美元！2026/5/285/932、市场调研中常见的假设检验问题一项跟踪调查的结果表明，顾客对产品的了解程度比6个月前所做的类似调查中的显示要低。结果是否明显降低？是否低到需要改变广告策略的程度？一位产品经理认为其产品购买者的平均年龄为35岁。为检验其假设，他进行了一项调查，调查表明购买者平均年龄为38.5岁。调查结果与其观点的差别是够足以说明此经理里的观点是不正确的？2026/5/286/933、问题在哪里？

某广告商宣称其代理的A产品的合格率达到99%，质检人员为了验证，随机抽取了一件产品，发现是一件次品。质检人员会是什么反应呢？2026/5/287/934.小概率原理

小概率原理是假设检验的基本依据，即认为小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的。当进行假设检验时，先假设H0正确，在此假设下，若小概率事件A出现的概率很小，例如P（A）=0.01，经过取样试验后，A出现了，则违反了上述原理，我们认为这是一个不合理的结果。2026/5/288/93

这时，我们只能怀疑作为小概率事件A的前提假设H0的正确性，于是否定H0。反之，如果试验中A没有出现，我们就没有理由否定假设H0，从而做出接受H0的结论。下面我们通过实例来说明假设检验的基本思想及推理方法。2026/5/289/935.假设检验的基本思想及推理方法

例1某车间为了提高零件的强度进行了技改，已知零件强度X（单位：kg/mm2）服从正态分布N（52.8，0.82

），其中μ0=52.8kg/mm2

是零件强度，现进行了技改后，抽取n=16的样本，测得强度为：（kg/mm2）

51.953.452.954.353.852.453.754.052.452.553.551.354.952.854.552.9

假设

2=0.82

不变，试问技改后零件强度是否发生了实质性变化？

2026/5/2810/93

我们的问题就是：已知总体，且要求检验下面的假设：（4-1）通常把H0称为原假设或零假设，把H1称为备择假设或对立假设。从取样结果看，样本均值与总体均值之间存在差异，这种差异是因为抽样的随机性导致的不可避免的误差，还是因为技改而导致的实质性差异？

2026/5/2811/93

为了回答这个问题，首先给定一个小概率

，称为显著性水平，

通常取较小的值，如0.05，0.01。在本例中，我们选取。选取统计量，它包含待检验参数，当H0为真时，它的分布是已知的，本例中，选取（4-2）

于是有

2026/5/2812/93其中，Z/2

为临界值，查表得Z0.025=1.96。

|z|的拒绝域为：（1.96，

）将抽样值代入4-1式得：

|z|落入拒绝域中，即小概率事件竟然出现，于是否定假设H0，认为技改后零件强度发生了变化。2026/5/2813/93

应当注意的是，上面例1的结论是在显著性水平的情况下得出的，如果，则，代入观察值，则会得出，技改后零件强度无实质变化的相反结论。可见，原假设取舍与否与

的取值直接相关，当我们倾向于不要轻易否定H0时，

可取小一些；反之，取大一些。2026/5/2814/936、原假设和备择假设原假设是关于总体均值而非样本统计量的假设总是假设原假设是正确的原假设可能被接受也可能被拒绝备择假设是原假设的对立备择假设可能被接受也可能被拒绝备择假设是试图要建立的检验2026/5/2815/93建立假设的三种情况：新型汽化器提高燃料效率的评估2026/5/2816/93检验某项声明的有效性：制造商对产品质量的承诺2026/5/2817/93决策情况下的检验：质量把关的依据2026/5/2818/937.单边检验

在上面例中，我们关心的是总体均值μ是否比μ0大，我们要确定是接受假设，还是接受另一假设，即技改后，零件的强度是否得到了提高。这样，问题就是要检验下面的假设：

这一假设检验称为右边检验，同样存在左边检验，统称单边检验。

2026/5/2819/93例2在例1中，是否可以认为技改后，零件的强度有明显的提高？（）解：依题意假设：选择统计量

查表得拒绝域为（）将

2=0.82

，代入得所以，拒绝H0，接受H1，认为零件的强度技改后有明显的提高。2026/5/2820/938.两类错误

小概率原理是假设检验的基本依据，然而，对于小概率事件，无论其概率多么小，还是可能发生的，所以，利用小概率原理为基础的假设检验方法进行检验，可能会做出错误的判断，主要有两种形式（1）原假设H0实际是正确的，但却错误地拒绝了H0，这样就犯了“弃真”的错误，通常称为第一类错误。由于仅当所考虑的小概率事件A发生时才拒绝H0，所以犯第一类错误的概率就是条件概率：（2）原假设H0实际是不正确的，但是却错误地接受了H0，这样就犯了“取伪”的错误，通常称为第二类错误。犯第二类错误的概率记为

。2026/5/2821/93

第一类错误与第二类错误的比较2026/5/2822/93我们自然希望犯这两类错误的概率越小越好。但当样本容量n确定后，犯这两类错误的概率不可能同时被控制，通常在我们根据历史经验选取恰当的显著性水平

后，通过扩大样本容量n的方式来使第二类错误的概率减小。2026/5/2823/939、假设检验的基本步骤（1）根据实际问题提出基本假设H0和备择假设H1。（2）选取适当的显著性水平

，通常

=0.05或

0.01

等。（3）根据H0选取适当的统计量，当H0为真时，该统计量的分布应为已知。（4）求出此检验的拒绝域，记作w。（5）根据样本观察值，计算统计量

的观察值。（6）作出判断，若

0落在拒绝域内，则拒绝H0，接受H1，否则接受H0。2026/5/2824/93显著性水平与拒绝域2026/5/2825/93§4.2单个正态总体均值和方差的检验

我们首先讨论单个正态总体中参数的假设检验问题。设从总体抽取样本容量为n的样本，

其中2026/5/2826/931.

2已知，关于

的检验（z检验）z检验法在上一节例1中，已讨论过正态总体，当

2已知时，关于

=

0的检验问题。在这些问题中，我们都是利用H0为真时服从N（0，1）分布的统计量来确定拒绝域的，这种检验法常称为z检验法。（利用服从正态分布的统计量z进行的假设检验称为z检验法）z检验的步骤（同前）2026/5/2827/93z检验的决策准则如下（1）双侧检验：当时，拒绝原假设H0；否则接受原假设H0。（2）左侧检验：当时，拒绝原假设H0；否则接受原假设H0。（3）右侧检验：当时，拒绝原假设H0；否则接受原假设H0。2026/5/2828/932.

2未知，关于的

检验（t检验）t检验法设总体，其中

2

未知，是来自总体x的样本。因为

未知，不能用统计量进行检验，当H0成立时，我们可以使用此统计量

来进行在

未知的情况下

的检验。利用服从正态分布的统计量t

进行的假设检验称为t检验法2026/5/2829/93

t检验的决策准则如下（1）双侧检验：当时，拒绝原假设H0；否则接受原假设H0。（2）左侧检验：当时，拒绝原假设H0；否则接受原假设H0。（3）右侧检验：当时，拒绝原假设H0；否则接受原假设H0。2026/5/2830/93解：依题意假设：例3

某种电子元件寿命x（以小时计）服从正态分布，

2未知，现抽取9只元件测得寿命如下：105999710096，98，103104107问：是否可以认为元件的寿命大于100小时？选取统计量2026/5/2831/93

对于给定的，查表得临界值，拒绝域为（1.753，）计算

t没有落入拒绝域，故接受H0，认为元件的寿命不超过100小时。

2026/5/2832/933.未知，检验关于的假设（检验法）

设总体，其中未知，是来自于总体x的样本。假设，，为已知常数当H0成立时，统计量

2026/5/2833/93对于给定的显著性水平，查表得：拒绝域为2026/5/2834/93其单边检验情况如下：右边检验：假设拒绝域：左边检验：假设拒绝域：计算s代入得如果落入拒绝域，则否定H0，否则接受H0。

2026/5/2835/93例4

假设钢板重量总体近似服从正态分布，按照规定，这种钢板的方差不得超过0.016kg2，现随机抽取n=25的钢板样本，测得其样本，试问：是否可以认为这批钢板不合规格？2026/5/2836/93

解：依题意，假设选取统计量对于给定的显著性水平，查表得将样本值代入得：

落入拒绝域中，拒绝假设H0，即钢板不合规格。

2026/5/2837/93§4.3两个正态总体均值与方差的检验1.关于两个正态总体均值的检验（t检验）

设总体，，

分别是来自总体x与Y的样本，且两样本独立。均未知，但假设两总体的方差是相等的。2026/5/2838/93

检验假设

当H0成立时，统计量

其中

2026/5/2839/93

对于给定的显著性水平，查表得

其拒绝域为

代入样本值，如果t落入拒绝域，则否定H0，接受H1；否则接受H0。2026/5/2840/93

其单边检验情况如下：右边检验：假设拒绝域为左边检验：假设拒绝域为

2026/5/2841/93

例5

某种物品在处理前与处理后的含脂率样本值如下：处理前：0.190.180.210.300.410.120.27

处理后：0.150.130.070.240.190.060.080.12

假定处理前后的含脂率都服从正态分布，且标准差不变，问处理前后含脂率的总体均值有无变化？2026/5/2842/93

解：依题意假设选取统计量对于给定的显著性水平，查表得拒绝域为。

2026/5/2843/93将样本观测值代入得t落入拒绝域中，故拒绝H0，认为处理后含脂率变化了。

2026/5/2844/932.关于两个正态总体方差的假设检验（F检验）设总体，，与分别是来自总体X与Y的样本，且两样本独立，其样本方差分别为，均未知。2026/5/2845/93

检验假设当H0成立时，统计量对于给定的显著性水平，查表得其拒绝域为

2026/5/2846/93

将样本值代入，如果落入拒绝域中，则否定H0，否则接受H0。其单边检验情况如下：右边检验假设拒绝域为，左边检验：假设拒绝域为，

2026/5/2847/93解：依题意假设

例6

对于例5中，处理前后含脂率的方差是否有显著差异？选取统计量2026/5/2848/93

对于给定的，查表得

拒绝域为将，代入得未落入拒绝域，故接受H0，认为处理前后标准差无明显差异。2026/5/2849/93§4.4非参数假设检验（简介）1.2检验主要检验（1）分布拟合（2）独立性此处仅介绍独立性检验两变量分类列联表的基本格式如下2026/5/2850/93假设A、B相互独立，Ai

、Bj同时发生的期望频数即理论频数为独立性检验的统计量为：判断准则：（给定显著水平

）若拒绝原假设，否则接受原假设。2026/5/2851/93例题7为了了解居民文化程度和年收入之间是否存在关系，随机访问了2764人，要求他们回答收入与文化程度两项指标，具体结果整理如下表，试判断收入与文化程度是否相互关联（

=0.1）2026/5/2852/93解：H0

：收入与文化程度不关联，

H1：收入与文化程度关联计算理论频数，结果列于表中相应括号内查表因47.9>20.09，故拒绝H0。可以认为收入与文化程度是相互关联。2026/5/2853/932.符号检验包括单一样本中位数检验、成对样本符号检验、不成对样本符号检验。成对样本符号检验假设分别来自总体2026/5/2854/932026/5/2855/93例题8用两种不同的饲料养猪，试验期结束后称得猪的增加重量如下表，试检验两种饲料喂猪的效果是否一样。（

=0.05）2026/5/2856/932026/5/2857/93解：假设：H0：两种饲料喂养效果无差异

H1：两种饲料喂养效果有差异采用符号检验，具体计算过程见上表。即认为两种饲料喂养效果有差异2026/5/2858/933.秩和检验符号检验只考虑样本之间的差别，没有考虑差别的大小，威尔科克森秩和检验考虑差别的大小，所以检验的准确性要比符号检验更好些。假设分别来自总体把混合在一起，从小到大的顺序排列并统一编号，规定每个数据在排列中所对应的序数为该数的秩，相同的值，用它们序数的平均数为秩。令容量较小的样本观察值的秩为统计量T，给定显著水平，若T1<T<T2，接受H0；否则接受H1。2026/5/2859/932026/5/2860/93例题9某企业市场开发部想了解在两个地区的产品推销是否有差异，从甲地区和乙地区分别随机确定10名和8名推销员作为受试对象，每个推销员半年内完成的推销额资料如下表，试判断两地区销售水平是否存在差异。（

=0.05）2026/5/2861/93解：假设：H0:两地区销售水平没有差异，

H1:两地区销售水平有差异根据威尔科克森秩和检验法，计算过程如下表

T=1+2+4+8+9+10+13+16=63，

=0.05

，n=8，m=10，查表知T1=57，T2=95，因57<T<95，故接受H02026/5/2862/93当n，m比较大时，可以用正态分布做检验，可以证明T近似服从检验统计量：2026/5/2863/934.多个样本的非参数检验克-瓦单项秩次方差分析判断k个独立样本是否来自同一总体。把个观察值混合在一起，按从小到大的顺序排列，根据次序位置评分，最小的观察值给1，第二小的给2，依次类推。相同观察值按排列序号的平均数给分。2026/5/2864/93可以证明，当样本容量比较大，样本来自同一总体，统计量其中2026/5/2865/93例题10

某公司培训部为了解四种训练员工方案的效果，决定将新招收的30名大学应届毕业生随机分成4组，分别按不同的方案进行培训。A和B组研究7个课题，C和D组研究8个课题，训练时间为1个月，训练结束后举行测试，所得成绩见下表。在显著水平

=0.05下，检验训练方案效果是否存在差异。2026/5/2866/932026/5/2867/93解：假设H0：训练方案效果没差异，H1：训练方案效果有差异计算结果见下表：2026/5/2868/93

查表，因H=8.19>7.815，故拒绝H0，即认为训练方案效果有差异。2026/5/2869/935.秩相关检验斯皮尔曼秩相关系数检验其中：d表示对应等级之差；n表示等级对的数目-1≤rs≤1且｜rs｜越大说明两列等级之间线性关系越密切。2026/5/2870/932026/5/2871/93例11根据下表，计算rs并对其进行显著性检验。2026/5/2872/93解：假设H0：ρs=0H2:ρs≠0

选α=0.05,n=7查表∵∴接受H1，即认为rs=0.82显著，表明两次抽查7个学生宿舍卫生状况的评分登记之间具有较高的相关关系。2026/5/2873/93肯达尔一致性系数(1)肯达尔一致性系数的计算①当每组等级中没有相同等级时公式1：式中：W表示肯达尔一致性系数；０≤W≤1； 表示每两组rs的平均数；

m表示等级的组数2026/5/2874/93公式2：

式中：S为Li实际离差平方和；Li为第i个对象等级之和；n为对象个数；m为等级组数公式3：2026/5/2875/93②当每组等级中有相同等级时式中：tij为某个等级重复的次数(2)对肯达尔一致性系数的统计检验当n≤7时，查表Sα，然后比较S与Sα的大小判定当n＞7时，用x2检验法，统计量为x2=Wm(n-1)2026/5/2876/932026/5/2877/93例12根据表12-24，计算三位经理给六个应聘者评定等级的一致性程度。2026/5/2878/93解：法一：因为m=3，共需计算3个斯皮尔曼系数。

2026/5/2879/93三个斯皮尔曼系数的平均数为：肯达尔一致性系数为：2026/5/2880/93法三：法二：2026/5/2881/93检验W的显著性假设已知S=61.5，m=3，n=6，选择

=0.05，S0.05=103.9

因为S<S0.05，所以接受原假设H0，即W=0.39不显著，表明三个经理给六个应聘者的评定等级之间为零相关。2026/5/2882/93例13根据表12-26，计算7位评委给10名歌手评定等级的一致性程度，并进行统计检验。

.2026/5/2883/93解：2026/5/2884/93假设H0：W=0H1:W＞0

2=Wm(n-1)=0.7986×7×(10-1)=50.3选α=0.01,n-1=10-1=9，查表

20.01(9)=21.7∵

2

＞

20.01(9)∴接受H1，即W=0.7986显著,表明7位评委给10名歌手评定等级之间具有较高的一致性程度。2026/5/2885/93§4.5利用Excel进行假设检验本节所有的分析数据存于“假设检验.xls’’的文件中。一个总体平均数的假设检验某汽车厂商宣称他们所生产的汽车，平均而言每公升的汽油可跑15公里。他的对手怀疑这个广告不实，所以随机抽样15辆汽车，并记录其每公升汽油的公里数，如图所示。在显著水平为0.05之下，可否拒绝“每公升的汽油可跑15公里’’的零假设?已知总体方差为1.5。2026/5/2886/93总体方差已知的Z检验1.将调查的资料存放于A2到A16的字段中，如上图所示。2.由于样本平均数为14.4(这可用AVERAGE函数求得)，2026/5/2887/93因此利用公式得p值为0.0578(这可键入“=NORMSDIST(-1.897)*2”求得)之所以乘以2的原因是双侧检验，是由于z的值-1.897未超过0.05显著水平的临界值±1.96，或p值大于0.05，因此不拒绝零假设。2026/5/2888/93Excel提供更为简便的函数ZTEST可直接计算p值，按下图键入数据，即得p值0.97l。其中A2：A16是数据存放的地址，15是所欲检验的总体参数值，SQRT(1.5)是已知总体的标准差。由于采用0.05显著水平，右上图所传回的双侧z检验的双侧p值若落在0.025以下或0.975以上的话，才可拒绝零假设。而0.971还不到0.975，因此不拒绝零假设。2026/5/2889/93总体方差未知的Z检验：大样本1．如果样本数够大，且总体是正态分布，即使不知道总体方差是多少，仍可利用ZTEST的统计函数来进行假设检