唐山学院《概率论与数理统计》课件-第8章-假设检验

第八章假设检验8.1假设检验的基本概念和思想8.2单正态总体的假设检验8.3双正态总体均值差与方差比的假设检验唐山学院《概率论与数理统计》E6636B02012BD195C019CE06C16E3034C13D02E32711A616D0819A103DE1B8FD8F0F4E03BC41BA965B4AD1F0472B73A72FC0F2BE2AA539FE6A05217F57FD945DBF2DB6715F2B3FB875C247674108.1假设检验的基本概念和思想

一、基本概念(一)两类问题1、参数假设检验

总体分布已知,参数未知,由观测值x1,…,xn检验假设H0：

=0；H1：≠02、非参数假设检验

总体分布未知,由观测值x1,…,xn检验假设H0：F(x)=F0(x;);H1：F(x)≠F0(x;)

E6636B02012BD195C019CE06C16E3034C13D02E32711A616D0819A103DE1B8FD8F0F4E03BC41BA965B4AD1F0472B73A72FC0F2BE2AA539FE6A05217F57FD945DBF2DB6715F2B3FB875C24767410

以样本(X1,…,Xn)出发制定一个法则,一旦观测值(x1,…,xn)确定后,我们由这个法则就可作出判断是拒绝H0还是接受H1,这种法则称为H0对H1的一个检验法则,简称检验法。样本观测值的全体组成样本空间S,把S分成两个互不相交的子集W和W*,即S=W∪W*,W∩W*=

假设当(x1,…,xn)∈W时,我们就拒绝H0；当(x1,…,xn)∈W*时,我们就接受H0。子集WS就称为检验的拒绝域(或临界域)。(二)检验法则与拒绝域E6636B02012BD195C019CE06C16E3034C13D02E32711A616D0819A103DE1B8FD8F0F4E03BC41BA965B4AD1F0472B73A72FC0F2BE2AA539FE6A05217F57FD945DBF2DB6715F2B3FB875C24767410(三)检验的两类错误

称

H0真而被拒绝的错误为第一类错误或弃真错误；称

H0假而被接受的错误为第二类错误或取伪错误。记p(I)=p{拒绝H0|

H0真};=p{接受H0|

H0假}对于给定的一对H0和H1,总可找出许多临界域,人们自然希望找到这种临界域W,使得犯两类错误的概率都很小。奈曼—皮尔逊(Neyman—Pearson)提出了一个原则：“在控制犯第一类错误的概率不超过指定值

的条件下,尽量使犯第二类错误

小”按这种法则做出的检验称为“显著性检验”,

称为显著性水平或检验水平。E6636B02012BD195C019CE06C16E3034C13D02E32711A616D0819A103DE1B8FD8F0F4E03BC41BA965B4AD1F0472B73A72FC0F2BE2AA539FE6A05217F57FD945DBF2DB6715F2B3FB875C24767410？怎样构造的拒绝域方可满足上述法则？如:对总体X~N(

,1),要检验H0：

=0；H1：

=1显著性检验的思想和步骤：(1)根据实际问题作出假设H0与H1；(2)构造统计量,在H0真时其分布已知；(3)给定显著性水平

的值,参考H1,令

P{拒绝H0|H0真}=,求出拒绝域W；(4)计算统计量的值,若统计量W,则拒绝H0,否则接受H0E6636B02012BD195C019CE06C16E3034C13D02E32711A616D0819A103DE1B8FD8F0F4E03BC41BA965B4AD1F0472B73A72FC0F2BE2AA539FE6A05217F57FD945DBF2DB6715F2B3FB875C247674108.2单正态总体的假设检验一、单总体均值的假设检验1、

2已知的情形---U检验

对于假设H0：

=

0；H1：

0,构造查表,计算,比较大小,得出结论E6636B02012BD195C019CE06C16E3034C13D02E32711A616D0819A103DE1B8FD8F0F4E03BC41BA965B4AD1F0472B73A72FC0F2BE2AA539FE6A05217F57FD945DBF2DB6715F2B3FB875C24767410说明：(1)H0：

=

0；H1：

m0称为双边HT问题；而H0：

=

0；H1：

>

0(或

<

0),则称为单边问题；

(2)

H0：

0；H1：

>

0

或H0：

0；H1：u<u0

也称为单边HT问题,不过这是一个完备的HT问题。

(3)可证:完备的HT问题与不完备的HT问题有相同的拒绝域,从而检验法一致。·先考虑不完备的右边HT问题的解H0：

=

0；H1：

>0,E6636B02012BD195C019CE06C16E3034C13D02E32711A616D0819A103DE1B8FD8F0F4E03BC41BA965B4AD1F0472B73A72FC0F2BE2AA539FE6A05217F57FD945DBF2DB6715F2B3FB875C24767410现考虑完备的右边HT问题H0：

0；H1：

>0,若取拒绝域为则犯第一类错误的概率为E6636B02012BD195C019CE06C16E3034C13D02E32711A616D0819A103DE1B8FD8F0F4E03BC41BA965B4AD1F0472B73A72FC0F2BE2AA539FE6A05217F57FD945DBF2DB6715F2B3FB875C24767410于是故是H0：

0；H1：

>0,的水平为的拒绝域E6636B02012BD195C019CE06C16E3034C13D02E32711A616D0819A103DE1B8FD8F0F4E03BC41BA965B4AD1F0472B73A72FC0F2BE2AA539FE6A05217F57FD945DBF2DB6715F2B3FB875C24767410

例1：设某厂生产一种灯管,其寿命X~N(

,2002),由以往经验知平均寿命

=1500小时,现采用新工艺后,在所生产的灯管中抽取25只,测得平均寿命1875小时,问采用新工艺后,灯管寿命是否有显著提高。(=0.05)解:这里拒绝H0E6636B02012BD195C019CE06C16E3034C13D02E32711A616D0819A103DE1B8FD8F0F4E03BC41BA965B4AD1F0472B73A72FC0F2BE2AA539FE6A05217F57FD945DBF2DB6715F2B3FB875C24767410·左边HT问题H0：

=

0；H1：

<0,或H0：

0；H1：

<0,可得显著性水平为的拒绝域为E6636B02012BD195C019CE06C16E3034C13D02E32711A616D0819A103DE1B8FD8F0F4E03BC41BA965B4AD1F0472B73A72FC0F2BE2AA539FE6A05217F57FD945DBF2DB6715F2B3FB875C24767410(P173,5)已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.55,0.112).某日测得5炉铁水含碳量如下:4.28,4.40,4.42,4.35,4.37.如果标准差不变,该日铁水的平均含碳量是否显著偏低?(取

=0.05)解:得水平为的拒绝域为这里拒绝H0E6636B02012BD195C019CE06C16E3034C13D02E32711A616D0819A103DE1B8FD8F0F4E03BC41BA965B4AD1F0472B73A72FC0F2BE2AA539FE6A05217F57FD945DBF2DB6715F2B3FB875C24767410注:上题中,用双边检验或右边检验都是错误的.若用双边检验,H0：

=4.55；H1：

4.55,则拒绝域为由|U|=3.78>1.98,故拒绝H0,说明可以认为该日铁水的平均含碳量显著异于4.55.但无法说明是显著高于还是低于4.55.不合题意若用右边检验,H0：

4.55；H1：

>4.55,则拒绝域为由U=-3.78<-1.98,故接受H0,说明不能认为该日铁水的平均含碳量显著高于4.55.但无法区分是等于还是低于4.55.不合题意.E6636B02012BD195C019CE06C16E3034C13D02E32711A616D0819A103DE1B8FD8F0F4E03BC41BA965B4AD1F0472B73A72FC0F2BE2AA539FE6A05217F57FD945DBF2DB6715F2B3FB875C247674102、

2未知的情形·双边检验:对于假设H0：

=

0；H1：

0由p{|T|t/2(n1)}=,得水平为的拒绝域为|T|t/2(n1),E6636B02012BD195C019CE06C16E3034C13D02E32711A616D0819A103DE1B8FD8F0F4E03BC41BA965B4AD1F0472B73A72FC0F2BE2AA539FE6A05217F57FD945DBF2DB6715F2B3FB875C24767410(P173,4)用热敏电阻测温仪间接温量地热勘探井底温度,重复测量7次，测得温度(℃):112.0113.4111.2112.0114.5112.9113.8而用某种精确办法测得温度为112.8(可看作真值),试问用热敏电阻测温仪间接测温有无系统偏差(设温度测量值X服从正态分布,取

=0.05)?解:H0：

=112.8；H1：

112.8由p{|T|t0.025(n1)}=0.05,得水平为

=0.05的拒绝域为|T|t0.025(8)=2.4489这里接受H0E6636B02012BD195C019CE06C16E3034C13D02E32711A616D0819A103DE1B8FD8F0F4E03BC41BA965B4AD1F0472B73A72FC0F2BE2AA539FE6A05217F57FD945DBF2DB6715F2B3FB875C24767410·右边HT问题H0：

=

0

；H1：

>

0,或H0：

0

；H1：

>

0,由p{Tt

(n1)}=,得水平为的拒绝域为Tt

(n1),E6636B02012BD195C019CE06C16E3034C13D02E32711A616D0819A103DE1B8FD8F0F4E03BC41BA965B4AD1F0472B73A72FC0F2BE2AA539FE6A05217F57FD945DBF2DB6715F2B3FB875C24767410(P173,7)某厂生产镍合金线，其抗拉强度的均值为10820(kg/mm2)今改进工艺后生产一批镍合金线，抽取10根,测得抗拉强度(kg/mm2)为:10512,10823,10888,10554,10778,10707,10557,10581,10888,10870.认为抗拉强度服从正态分布,取

=0.05,问新生产的镍合金线的抗拉强度是否比过去生产的合金线抗拉强度要高?解:H0：

=10820；H1：

>10820由p{Tt0.05(9)}=0.05,得拒绝域为Tt0.05(9)=1.8331这里接受H0E6636B02012BD195C019CE06C16E3034C13D02E32711A616D0819A103DE1B8FD8F0F4E03BC41BA965B4AD1F0472B73A72FC0F2BE2AA539FE6A05217F57FD945DBF2DB6715F2B3FB875C24767410·左边HT问题H0：

=

0

；H1：

<

0,或H0：

0

；H1：

<

0,由p{T-t

(n1)}=,得水平为的拒绝域为T-t

(n1)E6636B02012BD195C019CE06C16E3034C13D02E32711A616D0819A103DE1B8FD8F0F4E03BC41BA965B4AD1F0472B73A72FC0F2BE2AA539FE6A05217F57FD945DBF2DB6715F2B3FB875C24767410EX设正品镍合金线的抗拉强度服从均值不低于10820(kg/mm2)的正态分布,今从某厂生产的镍合金线中抽取10根,测得平均抗拉强度10800(kg/mm2),样本标准差为80.,问该厂的镍合金线的抗拉强度是否不合格?(=0.1)

解:H0：

10820；H1：

<10820由p{T

-t0.1(9)}=0.1,得拒绝域为T

-t0.1(9)=1.383这里接受H0E6636B02012BD195C019CE06C16E3034C13D02E32711A616D0819A103DE1B8FD8F0F4E03BC41BA965B4AD1F0472B73A72FC0F2BE2AA539FE6A05217F57FD945DBF2DB6715F2B3FB875C24767410二、单总体方差的假设检验假定

未知,·双边检验:对于假设E6636B02012BD195C019CE06C16E3034C13D02E32711A616D0819A103DE1B8FD8F0F4E03BC41BA965B4AD1F0472B73A72FC0F2BE2AA539FE6A05217F57FD945DBF2DB6715F2B3FB875C24767410得水平为的拒绝域为E6636B02012BD195C019CE06C16E3034C13D02E32711A616D0819A103DE1B8FD8F0F4E03BC41BA965B4AD1F0472B73A72FC0F2BE2AA539FE6A05217F57FD945DBF2DB6715F2B3FB875C24767410(P173,11.)电工器材厂生产一批保险丝，取10根测得其熔化时间（min）为42,85,75,78,59,57,88,54,55,71.问是否可以认为整批保险丝的熔化时间的方差小于等于80?(=0.05),熔化时间为正态变量.)得水平为

=0.05的拒绝域为这里接受H0E6636B02012BD195C019CE06C16E3034C13D02E32711A616D0819A103DE1B8FD8F0F4E03BC41BA965B4AD1F0472B73A72FC0F2BE2AA539FE6A05217F57FD945DBF2DB6715F2B3FB875C24767410设保险丝的融化时间服从正态分布，取9根测得其熔化时间（min）的样本均值为82,标准差为10.(1)是否可以认为整批保险丝的熔化时间服从N(80,92)?(=0.05)(2)是否可以认为整批保险丝的熔化时间的方差显著大于70?(=0.05)EX答:(1)|t|=0.8<2.308,接受80;2.18<X2=9.877<17.535,接受10(2)X2=11.42<15.507,认为方差不显著大于70E6636B02012BD195C019CE06C16E3034C13D02E32711A616D0819A103DE1B8FD8F0F4E03BC41BA965B4AD1F0472B73A72FC0F2BE2AA539FE6A05217F57FD945DBF2DB6715F2B3FB875C247674108.3双正态总体均值差与方差比的假设检验一、均值差的假设检验E6636B02012BD195C019CE06C16E3034C13D02E32711A616D0819A103DE1B8FD8F0F4E03BC41BA965B4AD1F0472B73A72FC0F2BE2AA539FE6A05217F57FD945DBF2DB6715F2B3FB875C24767410而对应的单边问题拒绝域为拒绝域为E6636B02012BD195C019CE06C16E3034C13D02E32711A616D0819A103DE1B8FD8F0F4E03BC41BA965B4AD1F0472B73A72FC0F2BE2AA539FE6A05217F57FD945DBF2DB6715F2B3FB875C24767410P174,19.比较甲,乙两种安眠药的疗效。将20名患者分成两组,每组10人.其中10人服用甲药后延长睡眠的时数分别为1.9,0.8,1.1,0.1,-0.1,4.4,5.5,1.8,4.8,3.4;另10人服用乙药后延长睡眠的时数分别为0.7,-1.8,-0.2,-1.2,-0.1,3.4,3.7,0.8,0.0,2.0.若服用两种安眠药后增加的睡眠时数服从方差相同的正态分布.试问两种安眠药的疗效有无显著性差异?(=0.10)解:E6636B02012BD195C019CE06C16E3034C13D02E32711A616D0819A103DE1B8FD8F0F4E03BC41BA965B4AD1F0472B73A72FC0F2BE2AA539FE6A05217F57FD945DBF2DB6715F2B3FB875C24767410这里:拒绝H0认为两种安眠药的疗效有显著性差异E6636B02012BD195C019CE06C16E3034C13D02E32711A616D0819A103DE1B8FD8F0F4E03BC41BA965B4AD1F0472B73A72FC0F2BE2AA539FE6A05217F57FD945DBF2DB6715F2B3FB875C24767410上题中,试检验是否甲安眠药比乙安眠药疗效显著?EX1这里:t=1.88>1.3304,故拒绝H0,认为甲安眠药比乙安眠药疗效显著EX2上题中,试检验是否乙安眠药比甲安眠药疗效显著?E6636B02012BD195C019CE06C16E3034C13D02E32711A616D0819A103DE1B8FD8F0F4E03BC41BA965B4AD1F0472B73A72FC0F2BE2AA539FE6A05217F57FD945DBF2DB6715F2B3FB875C24767410二、方差比的假设检验两样本独立,给定检验水平

,由观测值假定

1,

2未知E6636B02012BD195C019CE06C16E3034C13D02E32711A616D0819A103DE1B8FD8F0F4E03BC41BA965B4AD1F0472B73A72FC0F2BE2AA539FE6A05217F57FD945DBF2DB6715F2B3FB875C24767410由p{FF1/2(n11,n21)或FF/2(n11,n21)}=F1/2F/2得拒绝域FF1/2(n11,n21)或FF/2(n11,n21)E6636B02012BD195C019CE06C16E3034C13D02E32711A616D0819A103DE1B8FD8F0F4E03BC41BA965B4AD1F0472B73A72FC0F2BE2AA539FE6A05217F57FD945DBF2DB6715F2B3FB875C24767410而对应的单边问题拒绝域为FF

(n11,n21)FF1(n11,n21)拒绝域为E6636B02012BD195C019CE06C16E3034C13D02E32711A616D0819A103DE1B8FD8F0F4E03BC41BA965B4AD1F0472B73A72FC0F2BE2AA539FE6A05217F57FD945DBF2DB6715F2B3FB875C24767410P174,21.有甲乙两种机床,加工同样产品,从这两台机床加工的产品中随机地抽取若干产品,测得产品直径为(单位:mm):甲:20.5,19.8,19.7,20.4,20.1,20.9,19.8,19.9.乙:19.7,20.8,20.5,19.8,19.4,20.8,19.2.假定甲,乙两台机床的产品直径都服从正态分布,试比较甲,乙两台机床加工的精度有无显著差异?(=0.05)解:拒绝域为FF10.025(7,8)=1/5.12=0.1953或FF0.025(7,8)=5.7这里:接受H0E6636B02012BD195C019CE06C16E3034C13D02E32711A616D0819A103DE1B8FD8F0F4E03BC41BA965B4AD1F0472B73A72FC0F2BE2AA539FE6A05217F57FD945DBF2DB6715F2B3FB875C2476741033第八章复习E6636B02012BD195C019CE06C16E3034C13D02E32711A616D0819A103DE1B8FD8F0F4E03BC41BA965B4AD1F0472B73A72FC0F2BE2AA539FE6A05217F57FD945DBF2DB6715F2B3FB875C2476741034§1.假设检验一.基本思想:例1.某车间用一台包装机包装葡萄糖,包得的袋装糖重是一个随机变量,它服从正态分布.当机器正常时,其均值为0.5公斤,标准差为0.015公斤.某日开工后为检验包装机是否正常,随机地抽取它所包装的9袋,称得净重为(公斤)0.4970.5060.5180.5240.4980.5110.5200.5150.512问机器是否正常?E6636B02012BD195C019CE06C16E3034C13D02E32711A616D0819A103DE1B8FD8F0F4E03BC41BA965B4AD1F0472B73A72FC0F2BE2AA539FE6A05217F57FD945DBF2DB6715F2B3FB875C2476741035假设检验所采用的方法是一种反正法:先假设结论成立,然后在这个结论成立的条件下进行推导和运算,如果得到矛盾,则推翻原来的假设,结论不成立,这里的矛盾是与实际推断原理的矛盾,即如果“小概率事件在一次试验中发生了”,则认为原假设不成立,因此,假设检验是一种带有概率性质的反证法.基本思想二.基本概念与术语:1.称给定的(0<<1)为显著性水平.E6636B02012BD195C019CE06C16E3034C13D02E32711A616D0819A103DE1B8FD8F0F4E03BC41BA965B4AD1F0472B73A72FC0F2BE2AA539FE6A05217F57FD945DBF2DB6715F2B3FB875C2476741036说明E6636B02012BD195C019CE06C16E3034C13D02E32711A616D0819A103DE1B8FD8F0F4E03BC41BA965B4AD1F0472B73A72FC0F2BE2AA539FE6A05217F57FD945DBF2DB6715F2B3FB875C24767410375.假设检验的一般步骤：E6636B02012BD195C019CE06C16E3034C13D02E32711A616D0819A103DE1B8FD8F0F4E03BC41BA965B4AD1F0472B73A72FC0F2BE2AA539FE6A05217F57FD945DBF2DB6715F2B3FB875C2476741038三.假设检验的两类错误:1.第一类错误:如果原假设H0成立,而观察值落入拒绝域,从而作出拒绝H0的结论,称作第一类错误,又称“弃真”的错误.由定义知,显著性水平恰好是犯第一类错误的概率.2.第二类错误:如果原假设H0不成立,而观察值未落入拒绝域,从而作出接受H0的结论,称作第二类错误,又称“取伪”的错误,通常记作.接受域通常人们只控制第一类错误,而不考虑犯第二类错误,这种检验问题,称为显著性检验问题.说明E6636B02012BD195C019CE06C16E3034C13D02E32711A616D0819A103DE1B8FD8F0F4E03BC41BA965B4AD1F0472B73A72FC0F2BE2AA539FE6A05217F57FD945DBF2DB6715F2B3FB875C2476741039四.

双边假设检验和单边假设检验:E6636B02012BD195C019CE06C16E3034C13D02E32711A616D0819A103DE1B8FD8F0F4E03BC41BA965B4AD1F0472B73A72FC0F2BE2AA539FE6A05217F57FD945DBF2DB6715F2B3FB875C2476741040E6636B02012BD195C019CE06C16E3034C13D02E32711A616D0819A103DE1B8FD8F0F4E03BC41BA965B4AD1F0472B73A72FC0F2BE2AA539FE6A05217F57FD945DBF2DB6715F2B3FB875C2476741041§2正态总体均值的假设检验一.已知

2,检验:二.未知

2,检验:E6636B02012BD195C019CE06C16E3034C13D02E32711A616D0819A103DE1B8FD8F0F4E03BC41BA965B4AD1F0472B73A72FC0F2BE2AA539FE6A05217F57FD945DBF2DB6715F2B3FB875C2476741042例1.某种电子产品的寿命x(以小时记)服从正态分布,,2均未知,现测得16只元件的寿命如下:159280101212224379179264222362168250149260485170问：是否有理由认为元件的平均寿命大于225小时?E6636B02012BD195C019CE06C16E3034C13D02E32711A616D0819A103DE1B8FD8F0F4E03BC41BA965B4AD1F0472B73A72FC0F2BE2AA539FE6A05217F57FD945DBF2DB6715F2B3FB875C2476741043例2.某种元件的电阻值长期以来服从

分布.现从一批这种电子元件中随机抽取25个，测得平均电阻值，均方差,问：在下能否认为这批电子元件的电阻均值有显著变化？E6636B02012BD195C019CE06C16E3034C13D02E32711A616D0819A103DE1B8FD8F0F4E03BC41BA965B4AD1F0472B73A72FC0F2BE2AA539FE6A05217F57FD945DBF2DB6715F2B3FB875C2476741044三.两个正态总体均值差的检验(t-检验):2.对于12,22已知时,可用“u-检验方法”检验.单侧检验“H0:

1≤2”和“H0:

1≥2”,可以类似地推出.注E6636B02012BD195C019CE06C16E3034C13D02E32711A616D0819A103DE1B8FD8F0F4E03BC41BA965B4AD1F0472B73A72FC0F2BE2AA539FE6A05217F57FD945DBF2DB6715F2B3FB875C2476741045例2.在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的建议是否会增加钢的得率,试验是在同一只平炉上进行的.每炼一炉钢时除操作方法外,其它条件都尽可能做到相同.先用标准方法炼一炉,然后手建议的方法炼一炉,以后交替进行,各炼了10炉,其得率分别为:标准方法:78.172.476.274.377.478.476.075.576.777.3新方法:79.181.077.379.180.079.179.177.380.282.1设这两个样本相互独立,且分别来自正态总体N(

1,2)和N(

2,2),1,

2,2均未知.问建议的新的操作方法能否提高得率?E6636B02012BD195C019CE06C16E3034C13D02E32711A616D0819A103DE1B8FD8F0F4E03BC41BA965B4AD1F0472B73A72FC0F2BE2AA539FE6A05217F57FD945DBF2DB6715F2B3FB875C2476741046四.基于成对数据的检验(t-检验):设X和Y是两个正态总体,均值分别为

1和2.X和Y不是相互独立的,取成对样本:(X1,Y1),(X2,Y2),…,(Xn,Yn).要检验H0:1=2,