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三角代换及其应用第1页几个常见的三角替换及其在解题中的应用广东顺德李兆基中学唐秋生（5283000）《高中数学必修四》三角函数的平方关系为，这个等式结果简单，学生也容易掌握，但教师在教学中要善于研究和发现它的灵活运用则不那么简单，在高三复习中，强调知识的综合性，我们完全可以把这个问题进行拓展和引申。这里不凡称之为三角替换换，下面仅介绍几个常见的替换，并谈谈它在几个典型问题中的应用，以供教学中参考。[替换模型一]，则可作替换[替换模型二]，则可作替换[替换模型三]，可作替换，，一、利用三角代换研究有理函数的最值[例1].已知满足，求的最值解：由条件可作替换：则：显然[例2].已知，求的最值解：由条件可作替换：则：0再令0则如图，由于所以，当时，当时，[例3].求函数的值域解：设则满足方程，即动点在单位圆上0MAB-1所以0MAB-1设点，则，如图，由平面几何知识容易求得[例4].已知（），求的最大值和最小值法1：(三角化)由条件可作替换则，xy0而，所以xy0所以法2：（几何化）（）的图象是上半圆，如图所示，令，即它表示斜率为的平行直线系当直线与半圆有公共点时，易求得[例5].已知实数满足（1）求的最大值和最小值（2）求的最大值和最小值法1：（三角化）原方程化为：作替换：则xy0CDAxy0CDAB所以当时，所以法2：（几何化）如图，作圆设是圆上任意一点则当落在愿点时，即当落在点时，即（2）令作直线系，设直线系中有两条切圆于两点，由即所以[例6].设，是正的常数，且，求的最小值法1：（用1代换）因为，，是正的常数，所以法2：因为，，是正的常数，所以可作替换：则利用三角代换研究相等与不等关系[例7].已知，求证：证明：由可作替换：则不等式因，所以，，成立，故原不等式成立[例8].已知，求证：解：由，又于是可作替换：则不等式这是显然成立的，故原不等式成立[例9].求使不等式恒成立的最小值解：由条件知，可作替换：则原不等式等价于（注意到）于是问题等价于不等式恒成立，注意到故，当时，不等式恒成立补充（学案P111练习5）设，试比较与2的大小提示：特殊探路，取知由条件知所以，可作替换：则利用三角代换研究根式函数的最值[例10].求函数的值域法1：（三角代换）由条件可令则，即因为，所以所以法2：（几何化）将函数化为把看作因变量，看作自变量，看作参数则函数的图象为

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