新疆大学《工程力学》课件-第6章扭转、扭矩

第6章扭转、扭矩新疆大学《工程力学》6.1扭转、扭矩与扭矩图6.1.1圆轴扭转的概念与实例工程中许多杆件承受扭转变形。汽车方向盘的操纵杆如图6.1所示，操纵杆的两端分别承受驾驶员两手加在方向盘上的外力偶和转向器反力偶的作用，使得操纵杆发生扭转变形。

图6.1方向盘操纵杆

图6.2所示为攻螺纹孔的丝锥杆等均是扭转变形的实例。

图6.2扭转变形的实例

以上两种情况都能简化为如图6.3所示的计算简图。

图6.3扭转变形的计算简图

从计算简图中可以看出，这些杆件的受力特点是：在垂直于杆轴线的两个平面内分别作用一个大小相等、方向相反的外力偶。变形特点是：杆件的各横截面绕轴线产生相对转动。这种变形称为扭转变形。以扭转变形为主的杆件称为轴。本章只讨论工程中常见的圆轴扭转问题。

6.1.2扭矩与扭矩图

1．外力偶矩的计算工程中，作用于轴上的外力偶矩一般不直接给出，而是给出轴的转速和轴所传递的功率，它们的换算关系为

（6.1）

式中，Me为外力偶矩，单位为N·m；P为轴传递的功率，单位为kW；n为轴的转速，单位为r/min。在确定外力偶矩转向时，输入力偶矩为主动力偶矩，其转向与轴的转向相同；输出力偶矩为从动力偶矩，其转向与轴的转向相反。

2．扭矩与扭矩图如图6.4（a）所示，等截面圆轴AB两端受到一对平衡外力偶矩Me的作用。现用截面法求圆轴横截面上的内力。

将轴从横截面m-m处截开，以左段为研究对象，如图6.4（b）所示。根据平衡条件，横截面m-m上必有一个内力偶矩与A端面上的外力偶矩Me平衡。该内力偶矩称为扭矩，用T表示，单位为N·m。

若取右段为研究对象，如图6.4（c）所示。求得的扭矩与以左段为研究对象求得的扭矩大小相等、转向相反，它们是作用与反作用的关系。

为了使取左段或右段求得的扭矩大小、转向都一致，对扭矩的正负号规定如下：按右手定则，四指顺着扭矩的转向握住轴线，大拇指的指向与横截面的外法线方向一致时，扭矩为正，反之为负，如图6.5所示。按此规定，图6.4（b）所示的扭矩为正，大小为

图6.4求圆轴横截面上的内力（a）圆轴扭转；（b）左段研究对象；（c）右段研究对象

图6.5扭矩正负号的规定（a）正扭矩；（b）正扭矩

计算时，当横截面上的扭矩的实际转向未知时，一般先假设扭矩为正。若计算结果为正，则表示扭矩实际转向与假设相同；若计算结果为负，则表示扭矩实际转向与假设相反。

通常，圆轴各横截面上的扭矩是不相同的。为了直观地表示圆轴上扭矩沿横截面的变化情况，以与轴线平行的x轴表示横截面的位置，以垂直于x轴的T轴表示扭矩，绘制出圆轴各横截面上的扭矩沿轴线方向变化情况的图形称为扭矩图。

例6.1绘制如图6.6（a）所示的阶梯轴的扭矩图。

解：（1）计算轴上各段横截面上的扭矩。将轴分为AB、BC两段，逐段计算扭矩。BC段：如图6.6（b）所示

AB段：如图6.6（c）所示

（2）绘制扭矩图。根据以上计算结果，按比例画出扭矩图，如图6.6（d）所示。从图中可以看出，在集中力偶作用面B处，扭矩值发生突变，其突变值等于该集中力偶矩的大小。最大扭矩发生在AB段内，其值|Tmax|=1

500kN·m。

图6.6绘制扭矩图（a）阶梯轴；（b）BC段的扭矩；（c）AB段的扭矩；（d）扭矩图6.2圆轴扭转时的应力与强度计算6.2.1圆轴扭转时横截面上的切应力为了研究圆轴横截面上应力分布的情况，可进行扭转实验。取一根圆截面直杆，在其表面上画出若干垂直于轴线的圆周线和平行于轴线的纵向线，两端施加一对平衡的外力偶Me，使圆轴扭转，如图6.7所示。

图6.7扭转实验（a）实验前；（b）实验后

当扭转变形很小时，可观察到：各圆周线的形状与大小以及任意两圆周线的间距均不改变，仅绕轴线作相对转动；纵向线仍为直线，且倾斜同一角度，使原来的矩形变成平行四边形。

根据上述现象可认为：扭转变形后，轴的横截面仍保持为平面，其形状和大小不变，这就是圆轴扭转的平面假设。由上述可推断：圆轴扭转时，其横截面上沿半径方向无切应力作用。

又因为相邻横截面的间距不变，故横截面上无正应力。但由于横截面发生绕轴线的相对转动，纵向线倾斜同一角度

，产生切应变，横截面上各点必然有切应力存在。

各点的切应变与该点至截面形心的距离成正比，称为剪切胡克定律，

=G

。根据剪切胡克定律，当切应力τ不超过材料的剪切比例极限

b时，切应力

与切应变

成正比，即

=G

，且垂直于半径呈线性分布，如图6.8所示。

圆轴扭转时横截面上的切应力具有以下两个特点。

（1）在横截面尺寸相同且扭矩相等的同一轴段内，与轴线距离相等的各点，其切应力相等。

（2）横截面上任一点的切应力计算公式为

式中，

ρ为横截面上任一点的切应力，单位为Pa；T为所求截面上的扭矩，单位为N·m；ρ为该点到截面中心的距离，单位为m；IP为横截面对圆心O点的极惯性矩，单位为m4或mm4。任一点的切应力如图6.9所示。

图6.8应力分布图（a）实心圆轴截面；（b）空心圆轴截面

图6.9圆轴扭转时任一点的切应力

显然当

=0时，

=0；当

=R时，切应力最大，即圆轴横截面上边缘处各点的切应力最大。其值为

令，则上式可写成

（6.2）式中，WP称为抗扭截面系数，单位为m3或mm3。

6.2.2IP与WP的计算

实心圆截面如图6.10（a）所示，其IP和WP分别为：式中，d为实心圆截面的直径。

图6.10圆的截面（a）实心圆截面；（b）空心圆截面

空心圆截面如图6.10（b）所示，其IP和WP分别为

式中，D、d分别为空心圆截面的外径和内径；。

6.2.3圆轴扭转时的强度计算为了保证圆轴工作时不致因强度不够而破坏，最大扭转切应力τmax不得超过材料的扭转许用切应力[

]，即

（6.3）

对于等截面圆轴，则有

（6.4）

对于阶梯轴，由于各段的WP不同，

max不一定发生在|T|max所在的截面上，应综合考虑WP和T两个因素来确定。扭转强度条件同样可以用来解决强度校核、截面设计和确定许可载荷等三类扭转强度问题。

例6.2一阶梯轴如图6.11（a）所示，轴上受到的外力偶矩M1=6kN·m，M2=4kN·m，M3=2kN·m。轴材料的许用切应力[

]=60MPa，试校核该轴的强度。

图6.11阶梯轴及其扭矩图（a）阶梯轴；（b）扭矩图

解：（1）绘制扭矩图如图6.11（b）所示。由于AB段、BC段的扭矩和直径都不相同，整个轴的最大切应力所在截面的位置无法确定，因此需分段校核其强度。

（2）校核AB段强度

（3）校核BC段强度所以强度满足要求。

例6.3由无缝钢管制成的汽车传动轴AB，外径D=90mm，壁厚t=2.5mm，材料为45钢，许用切应力[

]=60MPa，工作时最大转矩M=1.5kN·m。

（1）试校核AB轴的强度。（2）将AB轴改为实心轴，试在相同条件下确定实心轴的直径。（3）比较实心轴和空心轴的重量。

解：（1）校核AB轴的强度。由已知条件可得

故 故AB轴满足强度要求。

（2）确定实心轴的直径。实心轴与空心轴的强度相同。设实心轴的直径为D1，则有取

D1=51mm

（3）比较空心轴和实心轴的重量。两轴的材料和长度均相同，它们的重量比等于其横截面面积之比。

设A1为实心轴的横截面面积，A2为空心轴的横截面面积，则有故

计算结果说明，在强度相同的情况下，空心轴的重量仅为实心轴重量的33.6％，节省材料的效果明显，这是因为切应力沿半径呈线形分布，圆心附近各点应力较小，材料未能充分发挥作用。改为空心轴相当于把轴心处的材料移向边缘，从而提高了轴的强度。但是空心轴加工工艺高，价格昂贵，一般情况下不采用。6.3圆轴扭转的变形及刚度计算6.3.1圆轴扭转时的变形公式扭转变形是用两个横截面绕轴线的相对扭转角

来表示的，如图6.12所示。对于T为常值的等截面圆轴，由于

很小，由几何关系可得

图6.12扭转变形的表示法

所以

=

l/R将剪切胡克定律代入上式，得

（6.5）

式（6.5）表明，扭转角

与扭矩T、轴长l成正比，与GIP成反比。乘积GIP称为圆轴截面的扭转刚度。对于阶梯状圆轴以及扭矩变化的等截面圆轴，需分段计算相对转角，然后求代数和。

例6.4传动轴及其所受的载荷如图6.13（a）所示，IP=3×105mm4，轴材料的剪切弹性模量G=80GPa。试计算该轴的总扭角

AC（即截面C对截面A的相对转角）。

解：画出轴的扭矩图，如图6.13（b）所示，AB和BC段的扭矩分别为

TAB=180N·m，TBC=−140N·m

图6.13传动轴及其扭矩图（a）传动轴所受的载荷；（b）扭矩图

AB段的相对转角

BC段的相对转角

由此得轴的总转角

AC=

AB

+

BC

=0.86°−0.67°=0.19°

6.3.2圆轴扭转的刚度条件设计轴时，除应考虑强度要求外，对于许多轴，常常对其变形还有一定的限制。例如机器转轴发生过大变形，就会影响机器的精度或使机器产生较大的振动。

因此，圆轴扭转时除了强度要求外，有时还有刚度要求。在工程实际中，通常是限制单位长度的扭转角

，使它不超过规定的许用值[

]。即

≤[

] （6.6）

对于等截面圆轴，则有式中，

和[

]的单位为rad/m。

工程上，许用扭转角[

]的单位为°/m，考虑单位的换算，则得

（6.7）不同类型轴的[

]值可从有关工程手册中查得。

例6.5一空心轴外径D=100mm，内径d=50mm，G=80GPa，[

]=0.75°/m。试求该轴所能承受的最大转矩Tmax。

解：由式（6.7）

得

故该轴所能承受的最大转矩为9.63kN·m。

例6.6传动轴如图6.14（a）所示。已知该轴转速n=300r/min，主动轮输入功率PC=50kW，从动轮输出功率PA=PB=20kW，PD=10kW，材料的切变模量G=80GPa，许用应力[

]=40MPa，单位长度许可转角[

]=1°/m。试按强度条件及刚度条件设计此轴的直径。

图6.14传动轴及扭矩图（a）传动轴；（b）扭