山西师范大学《大学物理》课件-第9章振动

第九章振动

山西师范大学《大学物理》主要内容1、简谐振动简谐振动特征及其表示简谐振动的矢量图法简谐振动的能量*3、阻尼振动和受迫振动共振4、电磁振荡2、简谐振动的合成振动（广义）：一切物理量随时间的周期性变化。如钟摆的摆动；水上浮标的浮动；担物行走时扁担的颤动；在微风中树梢的摇摆；振动的音叉、锣、鼓、琴弦等都是机械振动。振动的时空特性：时间上的周期性和空间上的重复性。机械振动：物体在一定位置附近来回往复的运动。波动是振动在空间的传播过程，简称波。

机械振动在弹性介质中的传播称为机械波，如声波、水波、地震波等。

交变电磁场在空间的传播称为电磁波，如无线电波、光波等。说明：波动是振动状态的传播，伴随着能量的传递。

简谐运动最简单、最基本的振动谐振子作简谐运动的物体简谐运动复杂振动合成分解物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角位移）按余弦函数（或正弦函数）的规律随时间变化---简谐振动.§1简谐振动一.简谐振动的特征及其表示（1）以弹簧谐振子为例，设弹簧原长为坐标原点。由牛顿第二定律：令

简谐振动微分方程这一微分方程的解为:令：简谐振动的表示积分常数，根据初始条件确定（2）物体作简谐振动的速度和加速度：具有加速度a与位移的大小x成正比,而方向相反特征的振动称为简谐运动图图图取

图二.简谐振动的振幅、周期、频率和相位(1)振幅A

离开平衡位置的最大位移的绝对值。(2)周期和频率周期T：完成一次完整振动所经历的时间。频率：单位时间内物体所作的完全振动的次数。系统的周期性固有的性质称固有频率…圆频率角频率频率周期（3）相位和初相对于弹簧振子：简谐振动表示可改写为：是t=0时的相位，----初相位当A和一定时，是决定简谐振动运动状态的物理量，----相位。（4）常数和的确定初始条件

对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件决定.三.简谐振动的矢量图示法（1）旋转矢量

自Ox轴的原点O作一矢量，使它的模等于振动的振幅A，并使矢量在Oxy平面内绕点O作逆时针方向的匀角速转动，其角速度与振动角频率相等，这个矢量就叫做旋转矢量.

以

为原点旋转矢量的端点在轴上的投影点的运动为简谐运动.旋转矢量——确定

和研究振动合成很方便xv0<0v0>00x0A/2例如，已知x参考圆(circleofreference)

AA

t+

ox

tt=0

x=Acos(

t+

)

·则由左图给出

（旋转矢量旋转一周所需的时间）用旋转矢量图画简谐运动的

图讨论

相位差：表示两个相位之差.1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间.2）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它们间步调上的差异.（解决振动合成问题）第二个振动超前第一个振动第二个振动落后第一个振动用旋转矢量表示相位关系

同相反相3)关于旋转矢量法的理解:

旋转矢量本身并不做简谐运动,只是用其投影点的运动来表示谐振动,各物理量直观.

在旋转矢量法中,相位表现为角度,处理方便,但不是角度.相位的物理含义在于可据以描述物体在任一时刻的运动状态.

例一质量为0.01kg的物体作简谐运动，其振幅为0.08m，周期为4s，起始时刻物体在x=0.04m处，向ox轴负方向运动（如图）.试求

（1）t=1.0s时，物体所处的位置和所受的力；

代入解已知求（1）代入上式得可求（1）

（2）由起始位置运动到x=-0.04m处所需要的最短时间.

法一设由起始位置运动到x=-0.04m处所需要的最短时间为t法二起始时刻

时刻END单摆扭摆复摆电流四.几种常见的简谐振动复摆（物理摆）的振动对比谐振动方程知：但若做小幅度摆动即当由转动定律得动力学方程一般情况不是简谐振动时满足的方程：简谐振动的动力学特征

回复力或力矩动力学方程弹簧振子单摆复摆扭摆

谐振子回复力或力矩与离开平衡位置的位移或角位移成正比，方向相反。五、简谐振动的能量

以弹簧振子为例，在任意时刻，振动系统的动能和弹性势能分别为：简谐运动势能曲线简谐运动能量守恒2简谐振动的合成合振动一、同方向同频率简谐振动的合成设分振动式中

两个同方向同频率简谐运动合成后仍为同频率的简谐振动1、相位差

讨论2、相位差（3）一般情况加强减弱小结（1）相位差（2）相位差二、同方向不同频率简谐振动的合成

设分振动合振动两个分振动频率不等时，合振动不再是简谐振动。合振动合振动的振幅和角频率都是时间的函数若分振动

频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍.合振动频率振幅部分拍频（振幅变化的频率）单位时间内合振动加强或减弱的次数叫拍频测未知频率的一种方法三、相互垂直的同频率简谐振动的合成设两个相互垂直的简谐振动方向分别沿x轴和y轴该式为一般椭圆方程讨论注：1）和2）仍为简谐振动注：两种情况的转动方向不同。

用旋转矢量描绘振动合成图两垂直振动合成的旋转振幅矢量法

附：相互垂直振动的合成（1）（2）（3）（4）四、不同频率垂直振动的合成－李萨如图3阻尼振动谐振子是理想化模型，实际上还存在阻力。就一维阻尼振动而言，振动方程为讨论xto过阻尼临界阻尼欠阻尼

三种阻尼

受迫振动.共振1.振动方程及其解由得振动方程2.受迫振动的稳态解将上式代入原微分方程，比较等式两边在阻力较小的情况下解的形式为：注意：稳态时的受迫振动的表式与无阻尼自由振动的表式形式相同，但实质不同！受迫振动的频率稳态时振动物体的速度从能量角度看，在受迫振动中，振动物体因驱动力做功而获得能量，同时又因阻尼作用而消耗能量。3.共振振动系统受迫振动时，振幅达到极大值的现象叫位移共振。令阻尼较小阻尼=0阻尼较大共振频率为当阻尼较小时：受迫振动的速度在一定条件下也会发生共振------速度共振严格的说，驱动力的频率等于系统的固有频率是速度共振的条件。在阻尼很小的情况下，速度共振和位移共振可以不加区分。小号发出的波足以把玻璃杯振碎1940年华盛顿的塔科曼大桥建成同年7月的一场大风引起桥的共振桥被摧毁4电磁振荡先使电源给电容器充电，然后将电键接通LC回路，两极板间的电压、极板上的电量、电路中的电流等都将随时间变化。电磁振荡：电路中电压和电流的周期性变化。振荡电路：产生电磁振荡的电路------LC回路。1.无阻尼自由振荡

当电路中的电流为

i时，自感电动势为AB电磁振荡电路对比振动的物理量是电量固有周期和固有频率为:﹡

无阻尼自由振荡中的电荷和电流随时间的变化

O﹡电场能量和磁场能量分别为总能量为

在无阻尼自由电磁振荡过程中，电场能量和磁场