哈尔滨理工大学《大学物理》课件-第6章振动

第六章振动1简谐运动的运动学；2简谐振动的动力学；3简谐振动的能量；4同方向的简谐振动的合成；5相互垂直的简谐振动的合成；6阻尼振动、受迫振动、共振。哈尔滨理工大学《大学物理》E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B410第六章

振

动自然界中有着各式各样的振动。物体在一定位置附近作重复的往返运动称为机械振动。如：钟摆的摆动、琴弦的振动、心脏的跳动、机器运转时的振动等。广义地说，任一物理量随时间的周期性变化都可以称为振动。如：交变电流、电磁振荡等。E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B410最简单、最基本的周期性振动是简谐振动，也叫简谐运动，它出现在许多物理现象中；任何复杂的振动形式都可分解为若干简谐运动之和；——我们从简谐运动开始学习振动。E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B410第六章主要内容(

1

)简谐运动的运动学；(

2

)简谐振动的动力学；(

3

)简谐振动的能量；(

4

)同方向的简谐振动的合成；(

5

)相互垂直的简谐振动的合成；(

6

)阻尼振动、受迫振动、共振。E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B41006.

1 简谐运动的运动学E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B4101、简谐运动的运动方程：以时间的余弦（或正弦）函数表示位移（或角位移）的运动称为简谐运动。本教程采用余弦函数。x

Acos(

t

)——简谐运动的运动学方程。l0x位移E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B4102、简谐运动的特征量：（1）振幅：振动物体离开平衡点最大位移的绝对值A。质点运动的位移一直在

x

A

和x

A之间来回变化，振幅给出了质点运动的范围。E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B410(2)

周期、频率、角频率

x

Acos(

t

)

Acos(

t

2

)

Acos

(

t

2

)

T

2

(单位：

s)频率ν

：单位时间内完成完全振动的次数。2

(单位：

Hz

1s

)——简谐运动的位移具有时间上的周期性。周期T

：完成一次完全振动所需时间。E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B410T

2

2

简谐振动的周期T和频率ν决定于ω。ω称为圆频率或角频率。简谐振动的运动方程也可写成：x

Acos(

2

t

)或Tx

Acos(

2

)t

T

2

2

s(单位：

rad )E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B410(3)

相位和初相位：加速度：简谐运动速度：由简谐运动的运动方程

x

Acos(

t

)

可得，dtv

dx

A

sin(

t

)dt22d

2x

A

cos(

t

)a

——

x、v、a都随着角度ωt+φ的变化而变化。ωt+φ：称为相位、周相或相位角。相位是决定振动物体运动状态的重要物理量，其中φ是

t

=0

时的相位，称为初相位。E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B410得：

x0tan

v0o0

2设

t

=0

时，x

=

x0、v

=

v0

，x0

Acos

则：v0

A

sin

v2A

x

2

由初始条件确定振幅A和初相位φ：E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B410

Oxxt

=

tt

=

0

0AA0

t+

t=0时，矢量

A

与x轴0夹角为初相位角φ，t=t时：

A

与x轴夹角为相角ωt+φ

，该质点在轴上的投影的坐标：x

Acos(ωt

φ)即为简谐运动方程。A

：振幅矢量或旋转矢量，A

的端点轨迹称为参考圆。3、简谐运动的矢量表示法：以圆心O为起点、长度为A的矢量

A

以角速度ω作逆时针旋转，·x·PE6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B410旋转矢量

A

在x轴上的投影就可以描述简谐运动位移的变化规律:旋转矢量

A

的长度A即振动的振幅；矢量旋转的角速度ω即振动的角频率；矢量与x轴的夹角ωt

φ为振动的相位，因而也称为相角。t=0时的夹角φ就是初相位。*此演示中初相位φ=0，简谐运动的运动方程为:x

Acos(ωt

)E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B410ωt+φ在第III象限：x<0,v>0ωt+φ在第IV象限：x>0

,

v>0振幅矢量旋转过程中x、v与相位ωt+φ的关系：此关系亦用于初相位角的确定x

AOxωt+φ

在第I象限：x>0,

v<0 ωt+φ在第II象限：x<0,v<0

AOx

OAAx

OE6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B410用相位表示简谐运动的状态：22ωt+φ= 3π

或

π

：x=0,

v=+ωA

(最大)ωt+φ=0：x=A,v=0 ωt+φ=

π

：x=0,v=

ωA

(最大)ωt+φ=π：x=

A

,v=0xA2

π2O

xAOxA

πOx

2

π23πOAE6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B4104、两同频率简谐运动的相位差：x1

A1

cos(

t

1

)x2

A2

cos(

t

2

)

(

t

2

)

(

t

1

)

2

1相位差：x

t+

1

A12A

t+

2O

两同频率振动：两同频简谐运动的相位差等于它们的初相位之差。（亦即两旋转矢量的夹角）E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B410同相和反相（1）当

=

2k

(

k

=0,1,2,…)时

两振动步调完全相同——同相t-

A2

-A1xA1A2Ox1x2Tx1A2A

OE6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B410（2）当

=

(2k+1)

(

k

=0,1,2,…)时两振动步调相反——

反相tx2x

A1

A2x1Tx O-

A2-A1A12A

OE6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B410超前和落后若

=

2-

1>0,称

x2比

x1超前(或

x1比

x2落后)若

=

2-

1<0,称

x1比

x2超前

(或

x2比

x1落后)超前、落后常以

φ

π 来判断E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B410速度dtmv

dx

A

sin(

t

)

v cos(

t

)dt

2d

2x

A

2

cos(

t

)加速度

a

ωtx,v,a0x=Acos(ωt+φ)υaam

A

加速度幅值2mvm

A

速度幅值

a cos(

t

)5、简谐振动的速度和加速度及相位关系：

2

a比v超前π/2

，与x反相2v比x超前π/2E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B410例6-1：一质点沿x轴作简谐振动，A

=

0.1m，T

=

2s

。t

=

0

时x0=0.05m，且v0>0，求：(1)质点的振动方程；

(3)若某时刻质点在

x=–0.05m处且沿x轴负向运动，质点从该位置第一次回到平衡位置的时间是多少？×

解：(1)

设振动方程为：x

Acos(

t

),s

2

rad已知：

A

0.1m,由旋转矢量图，初相位角在第IV象限，3

3

x

0.1

cos(

t

) mTt

0

时，

x0

A

2

, v0

0oxAω3

x0A

3

故E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B410(3)若某时刻质点在

x=–0.05m处且沿x轴负向运动，质点从该位置第一次回到平衡位置的时间是多少？xo-AωA2π/33π/2-0.05mA第一次回到平衡位置：

相位ωt2+φ

=

3π/2两位置相位之差：2 3 612

t )

3π

2π

5π

φ

ω(t(

s

)

6

6

t

5

1

5解法一：

x

=

–0.05m，v

<

0

时: 相位ωt1+φ

=

2π/3质点从该位置第一次回到平衡位置的时间即旋转矢量转过Δφ所需时间，E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B410(3)若某时刻质点在

x=–0.05m处且沿x轴负向运动，质点从该位置第一次回到平衡位置的时间是多少？3π/2xo-AωA2π/3-0.05mA解法二：11

)

1

3

2t

时刻：cos(

t11t

1s

2

3 3

t232t

时刻：

cos(

t

)

06t22

11

s

3

3 2

t62 1所以：

t

t

t

5 sE6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B41006.

2

简谐运动的动力学E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B410简谐运动的运动学方程x

Acos(

ω

t

φ)加速度2d2

xa

Aω

cos(ωt

φ)dt

2a

ω2

x因此简谐运动的质点在运动中所受的力为f

ma

mω2

x与位移x大小成正比，方向相反——线性回复力质点在线性回复力作用下围绕平衡位置的运动就是简谐运动。2ω x

0dt

2d2

x简谐运动的动力学方程E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B4101、弹簧振子：弹簧质量不计，小球与水平面间无摩擦。小球仅在弹性力和惯性作用下运动——

无阻尼自由振动

——

简谐振动。E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B410fff=0l0物体所受的合外力是弹性力f=0fOO:平衡位置E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B410由胡克定律和牛顿第二定律：此微分方程的解即为简谐振动的运动学方程：f

kx

ma得dt

2d

2

x

2

x

0x

Acos(

t

)m

2

k令xOl0xaf

=

-kx弹簧振子的动力学方程k

mω即为角频率

ω

——固有角频率E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B410弹簧振子的周期和频率：m

kωT

2π

2πν

ω

1 k2π 2π m——固有周期——固有频率弹簧振子的运动学方程中：x

Acos(ω

t

φ)ω决定于系统本身的m和k，A和φ决定于初始条件。E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B410得：

x0tan

v0o0

2设

t

=0

时，x

=

x0、v

=

v0

，x0

Acos

则：v0

A

sin

v2A

x

2

由初始条件确定振幅A和初相位φ：E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B4102、单摆（数学摆）：绳长

l

>>

小球直径，绳质量不计忽略所有阻尼作用。由转动定理：mldt

22

d

2

mgl

sin

得：dt

2 l sin

0d

2

g单摆的动力学方程重力产生的恢复力矩：M

mgl

sin

“–”号表示力矩与角位移方向相反。ocmlTmg

0

E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B410当单摆做小角度摆动（θ

<

5°）时：sin

得：2dt

22d

l

0

2

g方程的解：

0

cos(

t

)可见：当摆角很小时，单摆的运动近似为简谐运动。振动的周期：l

g

T

2

2

——单摆振动周期与摆锤质量无关，只和摆线长度及当地重力加速度有关。θ

θ0

cos(ω

t

φ)摆角E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B410伽利略第一个发现摆的振动的等时性惠更斯制成了第一个摆钟E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B4103、复摆（物理摆）：重力产生的恢复力矩：M

mgb

sin

由转动定理，并考虑小角度摆动（θ<5°）：d

2

I 2

mgb

sin

mgb

dt或：2dt

22

0d

I

2

mbg当摆角很小时，复摆的运动近似为简谐运动。mgoCbθE6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B410mgoCbθoml0Imbg

复摆：T

2

2

g

单摆：

T

2

2

l0

等效Imb0l

等值摆长E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B410CI

mR2例题6-4：半径为R的圆环悬挂在一细杆上，求圆环的振动周期和等值摆长。圆环对垂直中心轴C的转动惯量为：OCR由平行轴定理，圆环对O点的转动惯量为：I

IC

mR

2mR2 2所以，圆环对O点摆动时的周期为：gmgbI

2

2

RT

2

等值摆长为：mRI 2mR2

2

Rl0

mb

E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B41006.

3

简谐运动的能量一、如何确定简谐运动的运动方程二、简谐运动的能量E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B410一、如何确定简谐运动的运动方程？先确定振动系统的平衡位置，并以平衡位置为坐标原点，建立坐标系；然后分析物体偏离平衡位置的受力情况，根据牛顿运动定律，列出简谐运动的动力学方程，求出通解；最后再由初始条件确定振幅和初相位。E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B410设

t

=0

时，x

=

x0、v

=

v0

，则：得：

x0tan

v00v0

A

sin

x

Acos

o0

2v2A

x

2

由初始条件确定振幅A和初相位φ：因正切函数和余弦函数的周期不同，故初相位φ的值还要根据x0和v0的具体情况做进一步的确定。E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B410v0

0v0

0xoωA？

x0？由参考圆知，除了速度为零的两个最远端外，对于同一个初位移x0，都会有2个速度、也就是有两个相位角与之对应。

φ=?再用初速度的方向确定φ：oxAA×

v0

0若

v0

0

，

则φ=φ1 若v0

0

，则φ=φ2ωox0ωAxAv0

0

×φ1

x0φ2E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B410（1）由旋转矢量图得：3

v0

0若t

0

时，

x0

A

2

,（2）由（参见例6-1）×

oxAω3

x0A

3

20

v0

Aω

sin

φ

0

x

Acos

φ

A

3

sin

φ

0得：

φ

π3

φ

πE6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B410例题1：垂直悬挂的轻弹簧下端系一质量为m的小球，静止时弹簧伸长量为b

。用手将重物托起使弾簧保持自然长度后放手，（1）求证放手后小球作简谐振动；（2）写出其振动方程。x自然长度x+bxObOx

b自然长度小球受到的是线性回复力的作用，因此它做的是简谐运动。（1）此为竖直方向弹簧振子。静止悬挂时，

mg=kb取小球静力平衡时的位置（平衡位置）为坐标原点O，x轴向下为正，小球由初始位置开始运动，当它相对于原点的位移为x时,弹簧形变为x+b,小球受力为

F

=mg-k(b+x)=-kxE6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B410（2）由牛顿运动定律d2

xF

kx

mdt2得小球运动的动力学方程为dt

2d

2

x

2

x

0

ω2mk令mk

g

b其中

ω

其通解为

x

Acos(ω

t

φ)又t=0时，x0=

-b且v0=0

A

b, φ=π振动的运动学方程为bg

t

π)x

b

cos(例题1：垂直悬挂的轻弹簧下端系一质量为m的小球，静止时弹簧伸长量为b

。用手将重物托起使弾簧保持自然长度后放手，（1）求证放手后小球作简谐振动；（2）写出其振动方程。x

0dt2 md2

x

k，得E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B410例2：一密度为ρ、边长为L的正方体木块浮在水面上，静止时水面以下高度为b。现用外力将木块慢慢地再压下h0的深度后放手，若水的密度为ρ´，不计水的阻力，（1）求证木块作的是简谐运动，（2）写出其简谐运动方程。bρ'COxρ静止时ρL3

g

ρ'

L2bg将此时木块质心的位置C设为坐标原点O，x轴向下为正，bρ'Oxx

Cρ当木块相对于坐标原点的位移为x时,

F

ρL3

g

ρ'

L2

(b

x)g

ρ'

L2

gx木块所受合外力满足线性回复力的条件，因此木块作简谐运动E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B410例2：一密度为ρ、边长为L的正方体木块浮在水面上，静止时水面以下高度为b。现用外力将木块慢慢地再压下h0的深度后放手，若水的密度为ρ´，不计水的阻力，（1）求证木块作的是简谐运动，（2）写出其简谐运动方程。23

d2

xdt

2 ρL

x

0d2

x

ρ'

g2ρLρ'

gdt2d2

x

ω2

x

0x

A

cos(

ω

t

φ

)0ρLρ'

g t

)x

h cos(（2）由

F

ma得

ρL

ρ'

L

gxdt

2即令

ω则ρLρ'

g方程通解为 其中角频率

ω

又t=0时，x0=h0，v0=0，故A=h0，φ=0，木块作简谐运动的运动学方程为E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B410动

能：总机械能：弹性势能：

Ep

1

kx2

1

kA2

cos2

(

t

)2 22 2kE

1

mv

2

1

m

2

A2

sin2

(

t

)2

1

kA2

sin2

(

t

)2m2 22121212mvkA

E

Ep

Ek

m

A

m(

2

k )二、简谐运动的能量

以水平弹簧振子为例：

任意时刻

t

：——机械能守恒E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B410x=Acos(ωt+φ)T/4T/23T/4T0xt21

kA2t0EEk、Ep周期性变化的频率为简谐振动的两倍。总机械能

E

=

Ek

+Ep

=

常量

。(3)2k pE

E

1

EpE

kA2

cos2

(

t

)21k2EpEk

E

1

kA2

sin2

(

t

)E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B410例题3：一质量为0.25kg的物体在弹性力作用下作简谐运动，弾簧的劲度系数为25N/m。如果开始振动时系统具有势能0.06J和动能0.02J，求（1）振动的振幅；（2）动能等于势能时物体的

位移；（3）经过平衡位置时物体的速度。 解：（1）简谐运动的总能量2k pE

E

E

1

kA2所以21

kA2

0.08J代入k的值解得A=0.08m。2

1

E

0.04J（2）动能等于势能时，势能

Ep2

1

kx2

0.04J,代入k的值解得位移x=±0.57m。（3）过平衡位置时，势能为零，所以动能212kE

mv

0.08J,代入质量的值得到v=±0.8m/s.E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B410质点在线性回复力作用下围绕平衡位置的运动就是简谐振动，简谐运动的位移随时间的变化为x=Acos(ωt+φ)；简谐运动的三个特征量中，振动周期决定于振动系统本身的性质，振幅决定于振动的能量，而初相则决定于时间原点的选择；质点做简谐运动时，动能和势能都随时间变化，动能和势能在相互转换，但总能量保持不变。小

结E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B410思考题在竖直方向弹簧振子的简谐运动中，除了有弹性势能的变化外，还有重力势能的变化，那它来表达（式子中x为质点相对于平衡位置的位移）？如果能，则重力势能的零点应选在哪里？2的势能是不是也能用

pE

1

kx2E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B41006.

4 同方向简谐振动的合成一、同方向同频率简谐振动的合成二、同方向不同频率简谐振动的合成

拍E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B410xφ1x20x10x020010At=0A1AA2x1xx2t=t

A1、同方向、同频率简谐振动的合成：故合振动仍为简谐振动x

Acos(

t

)两同方向同频率分振动：

tφ2x1

A1

cos(

t

1

)x2

A2

cos(

t

2

)合位移：x

x1

x2

A1

cos(

t

1

)

A2

cos(

t

2

)两分振动振幅矢量

A1和A2夹角

φ

φ2

φ1

不变，合矢量

A 长度不变，并以角速度ω逆时针旋转，

A

E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B410A

A2

A2

2

A

A cos(

)1 2 1 2 2 1由

t

=0时的旋转矢量图可得：A1

cos

φ1

A2

cos

φ2tan

φ

A1

sin

φ1

A2

sin

φ2xβ1φ

φx2x1x合振动振幅决定于分振动振幅和两分振动相位差。A2φ2A1A(1)

Δφ=

φ2–φ1=

±2kπA1A2Ax(2)

Δφ=

φ2–φ1=

±(2k+1)πAxA2π同相反相Amax=A1+A2A1Amin=｜A1–A2｜，(3)其余情况

A1

A2

A

A1

A2相位差起重要作用E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B410N个同方向、同频率简谐振动合成的结果：是一个与分振动同方向同频率的简谐振动E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B4106162例题1：已知两同方向、同频率谐振动为

x

0.04cos(2t

π

)

m,x

0.03cos(2t

5π

)

m, 求它们合振动的方程。x

Acos(2t

φ)解法一：设合振动方程为1A2A2

2

A

A

cos(φ

φ

)2 1 2 2 1由

A

A1

cos

φ1

A2

cos

φ2得 A

0.01

m由tan

φ

A1

sin

φ1

A2

sin

φ23得

tanφ

3由于两振动反相且A1大于A2，所以

φ

π

/

6合振动方程为x

0.01cos(2t

π

/

6)

mE6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B4106解法二：用旋转矢量法：61

A1所以合振动方程为：2Ax5πφ2

6两振动反相。合矢量长度即合振幅，

A

A1

A2

0.01

mAφ6x

0.01cos(2t

π

/

6)

mt=0时合矢量和x轴夹角即初相位，

φ

πE6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B4102、同方向、不同频率简谐振动的合成：设两分振动：x1

A1

cos(ω1t

φ1

)x2

A2

cos(ω2t

φ2

)合振动：

x

x1

x2

A1

cos(ω1t

φ1

)

A2

cos(ω2t

φ2

)因为两分振动振幅矢量旋转的角速度不同，它们的夹角随时间变化，因此合矢量的长度不再，合振动不再是简谐振动，而是一种复杂的振动。

A

A1

A2恒定，A1

A2E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B410图解法求合振动：x

x1

x2x1x2xx1x2x合振动不再是简谐振动E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B410

拍22

1

t

)

2

Acos(

2

1

t

)cos(

2随

t

缓慢变化随

t

较快变化若两分振动x1

Acos(

1

t

)x2

Acos(

2

t

)角频率

ω1

和

ω2

非常接近。设

ω2

ω1

,

则

ω2

ω1

ω2

ω1合振动：

x

x1

x2

A(cos

1

t

cos

2

t

)拍现象视频E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B4102cos(

ω1

ω2

t)tt22

A

cos(

2 1

t)ω

ω2ν2

ν1频率：21

ν

ν2频率：

ννν

2 1慢xx

2Acos(

ω2

ω1

t)

cos(

ω2

ω1

t)2 22将2

Acos(

2

1

t)

作为合振动的振幅，则其在

0~2A

之间变化合振动的振幅大小发生变化tE6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B410因两个分振动频率不同而使合振动振幅时而加强，时而减弱的现象称为拍，合振幅变化的频率称为

拍频。E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B410t22

A

cos(

2 1

t)ω

ω2x

2Acos(

ω2

ω1

t)

cos(

ω2

ω1

t)T慢2T2频率：

ννν

2 1慢故合振幅大小变化频率：ν

2ν慢

ν2

ν1txν

ν2

ν12合振幅变化的频率即拍频：T慢

=

2T438Hz和442Hz的声振动，合成后的声音具有440Hz的振动频率，和442-438等于4Hz的拍频。E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B41006.5相互垂直简谐振动的合成振动的分解E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B410一、相互垂直简谐振动的合成1、同频率垂直简谐振动的合成2、不同频率垂直简谐振动的合成E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B4101、同频率垂直简谐振动的合成：A

AA2 A21 2 1 2cos(

)

sin2

(

)2 1 2 12

xyx

2

y2设两个同频率简谐振动分别沿

x

和

y

方向：x

A1

cos(

t

1

)y

A2

cos(

t

2

)消去

t

后得轨迹方程：合振动轨迹为椭圆，运动限制在x方向±A1和y方向±

A2的矩形范围内。E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B4101

2

1

2k

y

A2

xA1y

A2

xA1A2 A21 2

1x

2

y2I、III象限中直线II、IV象限中直线正椭圆

2

1

(

2k

1

)

2

1

(

k

2

)

其他情况：斜椭圆E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B410xyA1A2xttyy

A2

xA1I、III象限中直线(1)

2

1

2k

E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B410xyA1A2xty

A2

xA1II、IV象限中直线ty(2)

2

1

(

2k

1

)

E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B410xyA1A2xt正椭圆φx

φ1

0ty2φ

φ

πy 2)

12(3)

2

1

(

k

A2 A21 2

1x

2

y222 1φ

π当

φ，2φ

φ

πx y即时，t1t1

t2t1t3t2t2t3t3顺时针运动

（右旋）E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B410xyA1A2xt正椭圆t)

12(3)

2

1

(

k

A2 A21 2

1x

2

y2φx

φ1

022y

φ

φ

πy22 1当φ

φ

π ，π即

φx

φy

2 时，逆时针运动（左旋）t1t1t1

t2t2t2t3t3t3E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B410xyA1A2xtty(4)

其他情况：斜椭圆E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B410I、III象限中直线正椭圆(4)

其他情况：斜椭圆(1)

2

1

2k

(2)

2

1

(

2k

1

)

22 1(3)

(

k

1

)

II、IV象限中直线xyA1A2-A2-A1E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B410几种不同相位差的合运动轨迹E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B4102、不同频率垂直简谐振动的合成：设两个频率不同的简谐振动分别沿

x

和

y

方向：x

A1

cos

1ty

A2

cos(

2

t

)则相位差：

2

1

(

2

1

)t

E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B410（1）两个振动的角频率ω1、ω2有很小的差异两振动相位差就随时间慢慢变化，合运动的轨道将不断地按照图上的顺序在矩形范围内由直线逐渐变成椭圆，又由椭圆逐渐变成直线，并重复进行。E6636B02012BD195C019CE06C16E30A4CE3D06EC2711A616D0819A193DE758F18FA3C403BC41BA960B46DCF0472B73A72FC0F2BE2AA531FE690C217D57FD7FDDBF2DB6715F2B3FBA75C2416B410（2）当两个分振动频率ω1、ω2成简单整数比时，合振动轨迹是稳定的封闭曲线，称为李萨如图。2个周期比为1:2的振动合成的图形：2个周期比为1:3的振动合成的图形：φ1

φ2

0π4π23

π4