八年级数学新定义题型专题练习

八年级数学新定义题型专题练习在八年级数学的学习旅程中，我们时常会遇到一类颇具挑战性的题型——新定义题型。这类题目往往跳出课本上的常规知识范畴，通过创设一个全新的数学概念、运算规则或几何图形，要求我们在短时间内理解其内涵，并运用所学知识解决相关问题。它不仅考察我们对已有知识的掌握程度，更侧重于检验我们的阅读理解能力、抽象概括能力、即时学习能力和知识迁移应用能力。因此，攻克新定义题型，对于提升数学核心素养至关重要。一、新定义题型的解题策略与要点面对新定义题型，同学们首先要克服的是对“新”事物的陌生感和畏惧心理。这类题目虽然“外表新颖”，但内核往往还是我们熟悉的数学知识和思想方法。以下是解答此类题型的一般步骤和要点：1.逐字逐句，吃透定义：这是解决新定义题型的基石。拿到题目后，务必静下心来，仔细阅读新定义的每一个字、每一句话。要明确新定义的名称、符号（如果有的话）、前提条件、限制范围以及具体的规则或性质。对于关键的词语，如“如果…那么…”、“当且仅当”、“叫做”、“规定”等，要格外留意，它们往往揭示了定义的核心。可以尝试用不同颜色的笔标记出关键词，或者将定义分解成几个小的部分来理解。2.积极联想，建立联系：新定义并非空中楼阁，它往往是在我们已学知识的基础上延伸或组合而成的。在理解新定义的过程中，要主动将其与我们熟悉的概念、运算、图形或性质进行对比、联想和类比。思考：这个新定义与我们学过的哪个知识有点像？它们之间有什么相同点和不同点？这种联系能帮助我们更快地理解新定义的本质，并为后续的应用铺平道路。3.尝试举例，深化理解：仅仅“看懂”定义还不够，真正的理解在于能够运用它。在初步理解新定义后，可以尝试自己举出符合新定义的具体例子，也可以举一些“反例”（即不符合新定义的例子）来加深对定义中限制条件的理解。通过具体的例子，抽象的定义会变得更加直观和具体。4.运用定义，解决问题：这是最终目的。在解决问题时，要时刻牢记新定义的内容，严格按照新定义的规则进行操作和推理。不要受固有思维的束缚，比如遇到新的运算符号，就必须严格按照题目规定的运算规则进行计算，不能想当然地套用以前学过的四则运算定律。在解题过程中，要多问自己：“这里用到了新定义的哪个部分？”“这个条件是否符合新定义的前提？”5.及时总结，归纳方法：做完一道新定义题目后，不要就此罢休。花一点时间回顾一下解题过程：我是如何理解这个新定义的？在解题中遇到了哪些困难？是如何克服的？这个新定义题型与以前做过的哪类题目有相似之处？通过总结，我们可以积累解题经验，提炼解题方法，从而在遇到类似题目时能够更加得心应手。二、典型例题精析接下来，我们通过几个不同类型的典型例题，来具体感受一下新定义题型的解题思路和方法。例1：代数类新定义——新运算定义：对于任意实数a，b，我们规定一种新运算“※”：a※b=a²-2b+1。例如：2※3=2²-2×3+1=4-6+1=-1。问题：(1)计算：(-3)※4的值；(2)若x※(-1)=7，求x的值。分析与解答：这道题定义了一种新的运算符号“※”。我们首先要做的就是彻底理解这个运算的规则：a※b等于a的平方减去2倍的b，再加上1。这里的a和b是参与运算的两个数，要注意它们在运算式中的位置和作用。(1)计算(-3)※4：根据新定义，这里的a是-3，b是4。直接代入运算规则即可：(-3)※4=(-3)²-2×4+1=9-8+1=2。(2)若x※(-1)=7，求x的值：同样，这里a是x，b是-1。代入运算规则得到关于x的方程：x※(-1)=x²-2×(-1)+1=x²+2+1=x²+3。已知x※(-1)=7，所以x²+3=7。解这个方程：x²=4，所以x=2或x=-2。点评：代数类的新运算题型，关键在于严格按照定义的运算规则进行代入和计算。对于含有未知数的问题，通常是根据定义列出方程，然后解方程即可。例2：几何类新定义——新图形定义：我们把平面内到两个定点A，B的距离之和等于这两个定点间距离的点的轨迹叫做“等距线”。问题：(1)请判断：平面内到两个定点A，B的距离之和等于这两个定点间距离的点的轨迹，是否为我们学过的某种图形？如果是，请指出是什么图形；如果不是，请说明理由。(2)若点P是线段AB上的任意一点，点P是否在“等距线”上？请说明理由。分析与解答：这个问题定义了一个新的几何图形“等距线”。我们需要仔细理解其定义：“平面内到两个定点A，B的距离之和等于这两个定点间距离的点的轨迹”。关键词是“到两个定点的距离之和”、“等于这两个定点间距离”、“点的轨迹”。(1)我们学过，平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数（且大于|F1F2|）的点的轨迹是椭圆。但这里的条件是“距离之和等于这两个定点间距离”，即PA+PB=AB。我们来思考一下：对于平面内任意一点P，根据三角形两边之和大于第三边的性质，有PA+PB≥AB，当且仅当点P在线段AB上时，等号成立（此时PA+PB=AB）。因此，满足PA+PB=AB的点P的轨迹，就是线段AB本身。所以，“等距线”其实就是线段AB。(2)由(1)的分析可知，“等距线”是线段AB。因此，线段AB上的任意一点P，都满足PA+PB=AB，所以点P在“等距线”上。点评：几何类的新定义题型，需要我们结合已有的几何知识（如公理、定理、图形性质等）来理解新定义。可以通过画图、利用基本事实进行推理等方式，将新定义与熟悉的图形联系起来，从而判断其属性或解决相关问题。三、专题练习题理解了方法，分析了例题，接下来就需要通过练习来巩固和提升。请同学们尝试解决以下新定义题型，注意运用我们前面讲到的解题策略。练习1(代数新定义-新数)：定义：我们将一个两位数，十位数字记为a，个位数字记为b，若a-b=3，则称这个两位数为“顺差数”。例如：41，因为4-1=3，所以41是“顺差数”。(1)请写出两个“顺差数”；(2)一个“顺差数”的十位数字与个位数字之和为9，求这个“顺差数”。练习2(代数新定义-新集合)：定义：对于一个由若干整数组成的集合M，若其中任意两个元素的和都不在M中，则称集合M为“安全集”。例如：集合{1,2}，1+2=3不在集合中，所以{1,2}是“安全集”；而集合{1,3,4}，1+3=4在集合中，所以不是“安全集”。(1)判断集合{2,3}是否为“安全集”，并说明理由；(2)若集合{1,x}是“安全集”，求整数x的值（写出所有可能）。练习3(几何新定义-新位置关系)：定义：在平面直角坐标系中，对于点P(x,y)，我们把点P'(y+1,-x+1)叫做点P的“关联点”。(1)已知点A的坐标为(2,3)，求点A的“关联点”A'的坐标；(2)已知点B的“关联点”B'的坐标为(-1,2)，求点B的坐标；(3)点C在第四象限，且点C到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，求点C的“关联点”C'所在的象限。练习4(综合类新定义)：定义：若一个正整数n，使得n+(n+1)+(n+2)的结果的各位数字之和等于n的各位数字之和，则称n为“和谐数”。例如：n=1，1+2+3=6，6的各位数字之和为6；1的各位数字之和为1，6≠1，所以1不是“和谐数”。n=22，22+23+24=69，69的各位数字之和为6+9=15；22的各位数字之和为2+2=4，15≠4，所以22不是“和谐数”。（请自行寻找一个“和谐数”并验证，或证明不存在较小的“和谐数”，此为思考题）四、总结与提升新定义题型，乍一看似乎高深莫测，但只要我们掌握了正确的方法——耐心阅读，精准理解定义；联系旧知，搭建认知桥梁；动手实践，通过实例验证；规范解题，严格依据定义——就能化“新”为“旧”，化“难”为“易”。这类题型的核心在于考察我们的学习能力和应变能力。在平时的练习中，我们要注意积累不同类型新定义题目的解题经验，培养自己快速抓住事物本质、灵活运用新知识解决问题的能力。遇到不理解的定义，不要慌张，多花一点时间，逐字逐句推敲，把定义“翻译”成自己能