合工大材料成形原理教案14应力分析

中的分量，可以使冗长繁杂的公式在形式上变得简洁明了。如直角坐标系的三根轴x、y、z，可写成x1、x2、x3，用角标符号简记为xi（i＝1，2，3空间直线的方向余弦l、m、n可写成lx、ly、lz，简记为li（i＝x、y、z）。如果一个坐标系带有m个角标，每个角标取n个值，则该角标符号代表着nm个元素，例如σij(i，j=x，y，z)就包含有9个元素,即9个应力分量。为了省略求和记号Σ,可以引入如下的求和约定：在算式的某一项中，如果有某个角标重复出现，就表上述重复出现的角标叫哑标，而在用角标表示的算式中位移、速度和力等，需要用空间坐标系中的三个分量来表示。张量是矢量的推广，可定义为由若干个当坐标系阶张量，有32=9个分量。xkxix1x2x3x1,x2,l2,1l2,2l2,3x3,l3,2l3,3坐标轴关于原坐标系xi的方向余弦可记为lki或llj(k,l=1,,2,,3'；i,j=1,2,3）。由于cos(xk,xi)=cos(xi,xk)，所以lki=lik，llj=ljl。坐标系xk中的九个分量Pkl之间存在下列线性变换关系：P张量是满足一定的坐标转换关系的分量所组1）张量不变量张量的分量一定可以组成某些函数J(Pij)，这些函数值与坐标轴无关，它不随坐标而2）张量可以叠加和分解几个同阶张量各对应的3）张量可分为对称张量、非对称张量、反对称张量若张量具有性质Pij=Pji，就叫对称张量；若张量具有性质Pij=_Pji，且当i=j时对应的分量为0，则叫反对称张量；如果张面力或接触力，可以是集中力，也可以是分布力。另一类是S2=σ2+τ2若将截取的下半部分放入空间坐标系Oxyz中，并使截面F的法线方向N平行于y轴（图14-2b则全应力S在三个坐标轴上的投影称为应力分量，它们是σy、τyx、τyz。其棱边分别平行于三坐标轴。在互相垂直的微分面上的全应力它们是σxx,σyy,σzz,τxy,τyx,τyz,τzy，τzx,τxz。它们可以完整地描述一点的应力状态，如图14-3所示。可简写为σx；两个下角标不同的是切应力分量，例如τxy表示x面上平行于y轴的切应力分量。将9个应力作用在作用在x面上作用在y面上τxyσyτzyτyxLτzx|xzyzττσzxdFx=ldF；dFy=mdF；dFz=ndFSxdF_σxdFx_τyxdFy_τzxdFz=0用角标符号简记为Sj=σijli(i，j=x，y，z)显然，全应力S2=S+S+S斜微分面上的正应力σ为全应力S在法线N方向的投影，它等于Sx,Sy,Sz在N方向上的投影之和，即σ=Sl+Sm+Snxyz斜切微分面上的切应力为τ2=S2_σ2三坐标轴的分量为Tx、Ty、Tz，其值据式（14-6）为为已知，则过该点的斜微分面上的正应力σ和切应力τ都将随法的主平面，面上的切应力为0，正应力即令上式可写成σ3_J1σ2_J2σ_J3=0（14-13）J2、J3也应是单值的，而不随坐标系而变。由此得出重要结（14-12）组成的函数值是不变的，所以将J1、J2、J3称为应力张量第一、第二、第三不变量。σ2m2+σ3n2τ2=S2_σ2=σl2+σm2+σn2_(σ1l2+σ2m2+σ3n2)2（14-16）面而与另两个主平面交角为45°的平面就是主切应力平面，如图主切应力角标表示与主切应力平面呈450相交的两主平面的编号。三个主切应力平面也是互相正交。主应力值和主切应力值，即l0m0n0222σm=(σ1+σ2+σ3)=(σx+σy+σz)=J1σm是不变量，与所取的坐标无关。对于一个确定的应,xxm,yym,zzm14-21）力球张量，其任何方向都是主方向，且主应力相同，均为平均应力σm。球应力状态的特点是在任何切平面张量相同。因此，应力偏张量只使物体产生形状变在力学分析中，材料的各种极限值，如σs、σb，通常是在单向拉伸、压缩试验中测出的。为了使塑性变形中的复杂应力状态能与这些极限值相比较，人们引入“等等效应力不能在特定微分平面上表示出来，但它可以在一般认为，应力是坐标的连续函数，即σij=f(x,y,z)。ij同理，由ΣPy=0和ΣPz=0，可得质点的应力平衡微分方程的另外两个等式，合并写为2）将各应力分量代入应力张量不变量的式J1=5