河南省焦作市2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题（解析版）

河南省焦作市2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题（解析版）考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。满分：150分考试时长：120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，，则（）A.B.C.D.答案：B解析：根据集合交集运算规则，结合集合取值范围可直接求得交集结果，故选B。2.椭圆的焦距为（）A.B.6C.D.2答案：C解析：由椭圆标准方程得，，由c2=a3.已知直线与垂直，则实数的值为（）A.1B.C.D.答案：A解析：两直线垂直的充要条件为斜率乘积为-1，代入列式计算，解得，故选A。4.从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机一次性抽取2张，则抽到的2张卡片编号之和为奇数的概率为（）A.B.C.D.答案：C解析：总抽法：C42=6种；和为奇数需一奇一偶，共C5.已知，，，则（）A.B.C.D.答案：A解析：利用幂函数单调性判断取值范围，结合对数函数图像性质对比大小，最终得，故选A。6.从点向圆引切线，则切线长的最小值为（）A.B.C.D.答案：D解析：设切点为T，圆心为C、半径r，由勾股定理|PT|=|PC7.在正方体中，、分别是棱、的中点，则异面直线与所成角的大小为（）A.B.C.D.答案：D解析：建立空间直角坐标系，求出两直线方向向量，利用向量夹角公式计算，得异面直线所成角，故选D。8.已知抛物线的焦点为，过点作直线与交于，两点，线段的中点为，过点作轴的垂线交于点，若，则的斜率为（）A.B.C.D.答案：B解析：联立直线与抛物线方程，利用中点坐标、抛物线性质结合已知条件列式，求解得直线斜率，故选B。二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.已知是复数的共轭复数，则下列说法正确的是（）A.若，则为纯虚数B.若，则为实数C.对任意的复数均有D.对任意的复数均有答案：BC解析：A选项：时，z=0，不是纯虚数，错误；B选项：共轭复数相等，虚部为0，z为实数，正确；C选项：复数模的性质恒成立，正确；D选项：举反例可证不成立，错误。故选BC。10.在直三棱柱中，，，为棱的中点，为棱上的动点（与端点不重合）。以为坐标原点，垂直于平面的直线为轴，直线、分别为、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则下列说法正确的是（）A.点关于平面的对称点的坐标为B.的取值范围为C.存在点，使得平面一个法向量为D.若，则点到平面的距离为答案：ACD解析：A选项：根据空间点关于坐标平面对称规则，坐标正确；B选项：设动点坐标，向量运算求得取值范围与选项不符，错误；C选项：代入验证存在符合条件的动点，正确；D选项：利用空间向量距离公式计算，结果正确。故选ACD。11.已知双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，，点在的右支上，直线与交于另一点，的中点为，为坐标原点，则下列说法错误的是（）A.存在点，使得直线的斜率为2B.存在点，使得C.存在点，使得D.存在点，使得点的横坐标为答案：AD解析：由离心率求出双曲线渐近线斜率，A选项：斜率2大于渐近线斜率，无交点，错误；B、C选项：存在符合条件的点，正确；D选项：点差法验证，不存在对应点，错误。故选AD。三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。12.已知向量，，若，则________。答案：解析：由向量垂直数量积为0，列式计算即可得出结果。13.抛物线的准线方程为________。答案：解析：化为抛物线标准方程，求出p值，代入准线公式得结果。14.已知圆，直线，若直线被圆截得的弦长为，则________。答案：解析：由弦长公式结合圆心到直线距离公式，列式求解得参数值。15.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是________。答案：解析：结合复合函数单调性、定义域约束条件，联立不等式求解取值范围。四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.（10分）已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点。（1）求圆的方程；（2）过原点的直线交圆于、两点，求面积的最大值。解析：（1）设圆心坐标，结合圆心在指定直线、圆心与切点连线垂直于切线两个条件，联立求出圆心坐标与半径，得圆的标准方程。（2）设直线方程，联立圆方程，利用弦长公式、点到直线距离公式表示出三角形面积，结合二次函数最值或不等式求解最大值。17.（12分）已知双曲线过点，且渐近线方程为。（1）求双曲线的标准方程；（2）过双曲线右焦点的直线与双曲线交于、两点，且，求直线的斜率。解析：（1）根据渐近线设双曲线方程，代入已知点坐标，求出参数，得到标准方程。（2）求出右焦点坐标，设直线方程并联立双曲线方程，利用弦长公式结合已知弦长，求解直线斜率，注意验证判别式大于0。18.（12分）如图，在直三棱柱中，，，为的中点。（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值。解析：（1）利用直三棱柱性质、线面垂直判定定理，证明一条直线垂直于另一平面，进而证得面面垂直。（2）建立空间直角坐标系，求出平面法向量与直线方向向量，利用线面角向量公式计算正弦值。19.（12分）已知椭圆的离心率为，且过点。（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆交于、两点，为坐标原点，求面积的最大值。解析：（1）结合离心率公式、椭圆过定点，联立、、关系，求出椭圆参数，得标准方程。（2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式表示面积，结合均值不等式或二次函数求最值。20.（12分）已知圆，圆。（1）求证：两圆相交；（2）求两圆公共弦所在直线方程及公共弦长；（3）过点作直线与两圆相交，截得的弦长相等，求直线方程。解析：（1）求出两圆圆心距与半径和、差对比，满足相交条件即可证明。（2）两圆方程作差得公共弦直线方程，结合圆心到直线距离、勾股定理求弦长。（3）分直线斜率存在与不存在两种情况，结合弦长相等条件，求解直线方程。21.（14分）已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，过点作准线的垂线，垂足为，且。（1）求抛物线的方程；（2）过点作斜率为的直线与抛物线交于、两点，直线、分别交抛物线于、两点，设直线的斜率为，证明：为定值。解析：（1）利用抛物线定义结合已知线段长度，求出p值，得抛物线方程。（2）联立直线与抛物线，利用韦达定理、点差法表示出对应斜率，化简验证比值为定值。五、试卷考