河南省南阳市六校2025-2026学年高二上学期第一次联考数学试题（解析版）

河南省南阳市六校2025-2026学年高二上学期第一次联考数学试题（解析版）考试时间：120分钟满分：150分适用版本：人教A版高二上册考查范围：空间向量与立体几何、直线与方程、圆与方程初步一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知空间向量a=(1,2,−1)，b=(2,1,1)，则A.3B.4C.5D.6答案：A解析：由空间向量数量积公式：a⋅2.直线2x−y+3=0的斜率和纵截距分别为（）A.2，3B.-2，3C.2，-3D.-2，-3答案：A解析：将直线化为斜截式y=2x+3，可得斜率k=2，纵截距b=3，故选A。3.若空间三点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则向量AB→与ACA.30∘B.45∘C.60答案：C解析：AB→=(−1,1,0)，AC→=(−1,0,1)，AB→⋅AC4.过点(2,−1)且与直线x+2y−1=0平行的直线方程为（）A.x+2y=0B.x+2y+1=0C.2x−y−5=0D.2x−y+5=0答案：A解析：平行直线斜率相同，设方程为x+2y+m=0，代入点(2,−1)得2−2+m=0，m=0，方程为x+2y=0，选A。5.已知向量m=(1,λ,2)，n=(2,−1,2)，若m⊥A.2B.4C.6D.8答案：B解析：向量垂直则数量积为0，m⋅n=2−λ+4=06.点P(1,2)到直线3x−4y+5=0的距离为（）A.15B.2答案：C解析：由点到直线距离公式d=|3×1−4×2+5|7.在空间直角坐标系中，已知A(2,3,1)，B(4,1,3)，则线段AB的中点坐标为（）A.(3,2,2)B.(2,1,2)C.(3,1,1)D.(3,2,3)答案：A解析：中点坐标公式：横、纵、竖坐标分别取两点平均值，得(3,2,2)，选A。8.已知直线l1:ax+y−1=0，l2:x+(a−1)y+2=0，若A.12B.−答案：A解析：两直线垂直满足a×1+1×(a−1)=0，即2a−1=0，解得a=1二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.下列关于空间向量的说法正确的有（）A.零向量与任意向量平行B.若a∥b，bC.向量的模一定是非负数D.相等向量一定是共线向量答案：ACD解析：B选项中，若b为零向量，结论不成立；ACD均为空间向量基本性质，正确。10.下列直线中，过定点的有（）A.kx−y+2k=0B.x+ky+1=0C.(k−1)x+y+3=0D.2x+3ky−6=0答案：ABD解析：A过(−2,0)；B过(−1,0)；D过(3,0)；C无固定定点，随k变化定点改变。11.已知空间向量a=(2,−1,3)，则与aA.(4,−2,6)B.(−2,1,−3)C.(1,−2,3)D.(2,1,3)答案：AB解析：共线向量为原向量的实数倍，A为2倍，B为-1倍，CD不满足比例关系。12.关于两条直线位置关系，下列说法正确的是（）A.两直线斜率相等，则两直线平行或重合B.两直线斜率乘积为-1，则两直线垂直C.不存在斜率的两条直线一定平行D.一条直线斜率为0，另一条斜率不存在，则两直线垂直答案：ABD解析：C选项，两条无斜率直线可能重合，不一定平行；ABD说法均正确。三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知向量a=(1,1,0)，b=(0,1,1)，则答案：\sqrt{5}解析：a+b=(1,2,1)14.直线y=kx+1的倾斜角为135∘，则k=答案：-1解析：k=tan15.已知A(1,2,3)，B(3,4,5)，则|AB答案：2\sqrt{3}解析：AB→=(2,2,2)，16.过点(1,0)且倾斜角为60∘答案：\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0解析：k=tan⁡60四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）已知空间向量a=(2,1,−2)，b（1）求a⋅b；（2）求a与解析与答案：（1）a⋅（2）|a|=4+1+4cos⁡θ=18.（12分）已知直线l过点P(3,−2)。（1）若直线l平行于直线2x−y+5=0，求l的方程；（2）若直线l垂直于直线x+3y−1=0，求l的方程。解析与答案：（1）平行直线斜率k=2，点斜式：y+2=2(x−3)，整理得2x−y−8=0；（2）已知直线斜率为−13，垂直直线斜率k=3，点斜式：y+2=3(x−3)，整理得19.（12分）在空间直角坐标系中，已知A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,2)。（1）求向量AC→、AD→的坐标；（2）求证：解析与答案：（1）AC→=(2,2,0)，（2）证明：AC→20.（12分）已知两条直线l1:x+my+6=0，（1）若l1∥l2，求m的值；（2）若解析与答案：（1）平行条件：1×3−m(m−2)=0且1×2m≠6(m−2)，解得m=−1；（2）垂直条件：1×(m−2)+m×3=0，解得m=121.（12分）已知点A(1,3)，B(3,1)。（1）求直线AB的方程；（2）求线段AB的垂直平分线方程。解析与答案：（1）kAB=1−33−1=−1（2）AB中点(2,2)，垂直平分线斜率为1，方程：y−2=x−2，即x−y=0。2