第32课时　圆的有关概念及性质

第六章圆第32课时圆的有关概念及性质

人教：九上P79～P91；华P46；

北P88.圆在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆.固定的端点O叫作①

，线段OA叫作②

；圆的位置由圆心O确定，大小由半径r确定.圆可以看作所有到③的距离等于④

的点的集合考点1圆的有关概念圆心半径定点O定长r弦连接圆上任意两点的线段叫作弦，经过圆心的弦叫作直径.⑤是圆内最长的弦弧圆上任意两点间的部分叫弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作⑥

.⑦

半圆的弧叫优弧，⑧

半圆的弧叫劣弧，在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等弧等圆能够重合的两个圆是等圆直径半圆大于小于例1如图，在△ABC中，∠C＝90°，求证：A，B，C三点在同一个圆上.证明：如图，取AB的中点O，连接OC.∵∠C＝90°，

∴A，B，C三点在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上.根据圆的定义判定三点共圆是一种常用的方法.变式1如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，求证：A，B，C，D四点在同一个圆上.证明：如图，连接AC，取AC的中点O，连接OB，OD.∵∠ABC＝∠ADC＝90°，

∴OB＝OA＝OC＝OD.∴A，B，C，D四点在同一个圆上.考点2垂径定理及其推论对称性(1)圆是⑨图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴；(2)圆又是⑩

图形，圆心是它的对称中心垂径定理(1)垂直于弦的直径⑪

弦，并且平分弦所对的两条⑫

；(2)平分弦(不是直径)的直径⑬

这条弦，并且平分弦所对的两条⑭.轴对称中心对称平分弧垂直于弧例2如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于点E.(1)若OE＝5，⊙O的半径为13，则CD的长为_____.24(2)若CD＝16，BE＝4，求⊙O的半径.解：∵AB⊥CD，

设CO＝x，则OE＝OB－BE＝x－4.在Rt△CEO中，∵CO2＝CE2＋OE2，∴x2＝82＋(x－4)2.解得x＝10.∴⊙O的半径为10.遇到弦长计算或证明时，往往是构造以半径，弦心距和半弦为三边的直角三角形，再利用勾股定理解直角三角形.变式2如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB＝1m，CD＝2.5m，则拱门所在圆的半径为(

)A.1.25m

B.1.3mC.1.4m

D.1.45mB图示

圆心角顶点在圆心上的角叫作圆心角.如图，∠AOB，∠COD定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧⑮

，所对的弦也⑯

.结论如图，在⊙O中有三个等量关系：∠AOB＝∠COD，＝，AB＝CD.只要其中一个结论成立，其他两个结论也成立考点3弧、弦、圆心角之间的关系相等相等

证明：如图，连接OE.∵CE∥AB，∴∠BOC＝∠C，∠AOE＝∠E.∵OC＝OE，∴∠C＝∠E.∴∠BOC＝∠AOE.

变式3如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD等于(

)A.100°

B.110°C.120°

D.130°C考点4圆理及其推论重点圆顶点在圆，并且两边都与圆相交的角定理一条弧所对的圆于它所对的圆心角的⑰

.推论同弧或等弧所对的圆⑱

；半圆(或直径)所对的圆⑲

；90°的圆对的弦是⑳.圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角㉑

.一半相等直角直径互补例4如图，AB是⊙O的直径，D是弦AC的延长线上一点，且CD＝AC，DB的延长线交⊙O于点E.(1)求证：CD＝CE；解：证明：如图，连接BC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即BC⊥AD.∵CD＝AC，∴BC垂直平分AD.∴AB＝BD.∴∠A＝∠D.∵∠A＝∠E，∴∠D＝∠E.∴CD＝CE.(2)连接AE，若∠D＝26°，求∠BAE的度数.解：如图，连接AE.∵∠D＝26°，∴∠BAC＝∠D＝26°.∵∠ABE是△ABD的一个外角，∴∠ABE＝∠BAC＋∠D＝52°.∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°.∴∠BAE＝90°－52°＝38°.作弦(或直径)构造出直径所对的圆常见的辅助线.

66°

解：证明：∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°.

∴OD⊥AC，即∠AEO＝90°.∴∠ACB＝∠AEO＝90°.∴OD∥BC.(2)若∠B＝70°，求∠CAD的度数.解：如图，连接OC.∵OD∥BC，∠B＝70°，∴∠AOD＝∠B＝70°.

∴∠COD＝∠AOD＝70°.

例5如图，在⊙O中，∠BOD＝80°，则∠C的度数是_______.140°

C

圆中平行弦与比例关系的证明例6如图，在圆O中，AB和CD是弦，半径OA，OB分别交CD于点E，F，且CE＝DF.(1)求证：AB∥CD；证明：如图，连接OC，OD.∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC.在△OCE和△ODF中，

∴△OCE≌△ODF(SAS).∴OE＝OF.∵OA＝OB，

又∠EOF＝∠AOB，∴△OEF∽△OAB.∴∠OEF＝∠OAB.∴AB∥CD.

证明：如图，连接OD，BD.

∴∠AOB＝∠BOD，AB＝BD.又OA＝OB＝OD，∴△AOB≌△BOD(SAS).∴∠OAB＝∠OBD.由(1)可得AB∥CD.∴∠OBA＝∠BFD.∴△OAB∽△DBF.

∴AB∙DF＝BF∙OB.∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.∴∠DBF＝∠DFB.∴BD＝DF.∴DF＝AB.∴AB2＝BF∙OB.1.(2022福建，T21节选)如图，△ABC内接于⊙O，AD∥BC交⊙O于点D，DF∥AB交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF.求证：AC＝AF.命题点圆理及推论7年4考证明：∵AD∥BC，DF∥AB，∴四边形ABED为平行四边形.∴∠B＝∠D.又∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，∴∠AFC＝∠ACF.∴AF＝AC.2.(2025福建，T25节选)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD，BC的延长线相交于点E，AC，BD相交于点F.G是AB上一点