棱锥与棱台课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

第十一章立体几何初步11.1.4棱锥与棱台《人教B版2019高中数学必修第四册》棱锥中，是多边形的那个面称为棱锥的底面，有公共顶点的各三角形称为棱锥的侧面，各侧面的公共顶点称为棱锥的顶点，相邻两侧面的公共边称为棱锥的侧棱.如果一个多面体有一个面是多边形，且其余各面是有一个公共顶点的三角形，则称这个多面体为棱锥.棱锥可以按底面的形状分类，例如底面是三角形、四边形、五边形的棱锥，可分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥．因此，图11-1-31中，(2）是一个四棱锥，(3）是一个三棱锥，(4）是一个五棱锥．棱锥可以用顶点与底面各顶点的字母来表示．例如，如图11-1-32所示的是一个四棱锥，这个四棱锥可以记作棱锥P-ABCD或棱锥P-AC.过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线，所得到的线段（或它的长度）称为棱锥的高.棱锥所有侧面的面积之和称为棱锥的侧面积.图11-1-32中，PO为棱锥P-ABCD的高，因此PO⊥面ABCD， 从而可知∠POA=∠POB=∠POC=∠POD=90o如果棱锥的底面是正多边形，且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面，则称这个棱锥为正棱锥.可以看出，正棱锥的侧面都全等，而且都是等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高也都相等，称为棱锥的斜高.

解（1）直线PA与直线CD异面，直线PA∩平面ABCDEF=A.

一般地，用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，所得截面与底面间的多面体称为棱台.原棱锥的底面与截面分别称为棱台的下底面与上底面，其余各面称为棱台的侧面，相邻两侧面的公共边称为棱台的侧棱.棱台可用上底面与下底面的顶点表示.例如，如图11-1-35所示的棱台ABCD-A1B1C1D1，可以看成是从棱锥P-ABCD上截去棱锥P−A1B1C1D1得到的.同棱柱一样，过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段（或它的长度）称为棱台的高.棱台所有侧面的面积之和称为棱台的侧面积.由正棱锥截得的棱台称为正棱台.不难看出，正棱台上、下底面都是正多边形，两者中心的连线是棱台的高；而且，正棱台的侧面都全等，且都是等腰梯形，这些等腰梯形的高也都相等，称为棱台的斜高.棱台可以按底面的形状分类.例如，图11-1-34(2）是一个四棱台，(3）是一个三棱台．例2

如图11-1-36所示是一个正三棱台，而且下底面边长为2，上底面边长和侧棱长都为1.O与O＇分别是下底面与上底面的中心．（1）求棱台的斜高；（2）求棱台的高．

假设正三棱台A′B′C′−ABC是由正棱锥V-ABC截去正棱锥V−A′B′C′得到的，则由已知可得VO是棱锥V-ABC的高，VO＇是棱锥V−A′B′C′的高，O'O是所求棱台的高.

练习A①设计一个平面图形，使它能够围成一个所有面都是等边三角形的正三棱锥.②写出棱锥中任意两个侧面的位置关系.③写出棱锥中任意一条侧棱与底面的位置关系.①写出棱台中上底面与下底面的位置关系.⑤写出棱台中任意两条侧棱的位置关系.连接正△ABC的各边中点D，E，F.沿DE，EF，DF翻折至A，B，C重合，就形成一个正三棱锥.相交相交平行相交，延长后交于同一点练习B

小结一、棱锥1.棱锥定义有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的多面体叫做棱锥。多边形面：底面有公共顶点的三角形面：侧面相邻侧面公共边：侧棱各侧面公共顶点：顶点顶点到底面的垂线段长度：棱锥的高2.棱锥分类按底面多边形边数划分：三棱锥、四棱锥、五棱锥……特殊：三棱锥也叫四面体，四个面全是三角形。小结3.正棱锥定义底面是正多边形，顶点在底面的投影是底面正多边形中心的棱锥。正棱锥性质所有侧棱长度相等；各个侧面是全等的等腰三角形；侧面等腰三角形底边上的高叫做斜高，所有斜高相等；棱锥的高、斜高、底面正多边形边心距构成直角三角形；如图四棱锥可以记作棱锥P-ABCD或棱锥P-AC.4.棱锥的表示小结二、棱台1.棱台定义用平行于棱锥底面的平面截取棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台。原棱锥底面：下底面（面积大）截取形成的截面：上底面（面积小）侧面：梯形相邻侧面公共边：侧棱上下底面之间的垂线段长度：棱台的高2.棱台分类由三棱锥截得：三棱台；四棱锥截得：四棱台，以此类推。小结3.正棱台定义由正棱锥截取得到的棱台。正棱台性质上下底面是相似的正多边形；所有侧棱长度相等；各侧面是全等的等腰梯形；等腰梯形的高为棱台斜高，全部斜高相等；棱台的高、斜高、上下底面边心距之差构成直角梯形；4.棱台的表示可用上底面与下底面的顶点表示.如图所示的棱台ABC-A'B'C'.巩固提升1.下图中的几何体是不是棱台?为什么?都不是图1侧棱延长后没交于一点图2须用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥图1图2巩固提升2.下面说法中，正确的是()A.上下两个底面平行且是相似四边形的几何体是四棱台B.棱台的所有侧面都是梯形C.棱台的侧棱长必相等D.棱台的上下底面可能不是相似图形A错误：除了要求上下底面平行且相似外，棱台还必须满足各侧棱的延长线交于一点这一关键条件.B正确：棱台由平行于棱锥底面的平面截得，因此其所有侧面都是梯形.C错误：只有正棱台的侧棱长才相等，一般棱台的侧棱长不一定相等.D错误：棱台的上下底面是由平行平面截取棱锥形成的，因此它们一定是相似图形.B巩固提升3.下列描述中,不是棱锥的结构特征的是(

)A.三棱锥有4个面是三角形B.棱锥的侧面都是三角形C.棱锥都有两个互相平行的多边形面D.棱锥的侧棱交于一点4.若一个正棱锥的各侧棱长和底面边长均相等,则该棱锥一定不是(

)A.正三棱锥B.正四棱锥C.正五棱锥D.正六棱锥C因为正六边形的顶点到中心的距离等于底面边长,所以正六棱锥的侧棱长必定大于底面边长.D巩固提升5.在正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点中任取4个,构成的正三棱锥的个数为(

)A.16

B.12

C.10

D.8以A为顶点,可知三棱锥A-A1BD为正三棱锥,同理,三棱锥B-AB1C,三棱锥C-BC1D,三棱锥D-ACD1,三棱锥A1-AB1D1,三棱锥B1-A1BC1,三棱锥C1-B1CD1,三棱锥D1-A1C1D均为正三棱锥,此类三棱锥共有8个;易知三棱锥A1-BC1D,三棱锥A-B1CD1为正三棱锥,此类三棱锥共有2个.所以正三棱锥的个数为8+2=10.C

巩固提升6.下列说法中,正确的个数是(

)①由五个面围成的多面体只能是三棱柱;②由若干个平面多边形所围成的封闭几何体是多面体;③仅有一组对面平行的五面体是棱台.A.0

B.1

C.2

D.3①中,由五个面围成的多面体可以是四棱锥、三棱台,所以①中说法不正确;易知②中说法正确;③中,仅有一组对面平行的五面体还可以是三棱柱,所以③中说法不正确.B巩固提升

n棱锥的侧棱数为n,底面边数为n,侧面数为n,则棱数k=2n,面数m=n+1,又3k=5m,所以6n=5(n+1),解得n=5.B

D巩固提升

AC规律总结