相似原理和量纲分析课件

相似原理和量纲分析1Chapter4SimilarityPrincipleandDimensionalAnalysis§4-1

Introduction

Experimentisthebasisofdevelopingtheoriesaswellastheyardstickofprovingtheories,sometimesscienceandtechnologyproblemscan’tbesolvedwithoutthecooperationofexperiments.

a.modelexperimentofengineering.Forthepurposeofforecastingtheflowsituationoflarge-scalemachineorwaterpowerengineeringwhicharebeingbuilt.

b.exploratoryobservingexperiment.Forthepurposeofsearchingunknownflowlaws,thetheoreticalfoundationtodirecttheseexperimentsaresimilarityprinciple

anddimensionanalyse.Therearemainlytwokindsofexperimentsinengineeringfluidmechanics:SimilarityPrincipleandDimensionalAnalysis2第四章相似原理和量纲分析§4-1

引言相似原理和量纲分析

实验既是发展理论的依据又是检验理论的准绳，解决科技问题往往离不开实验手段的配合。

a、工程性的模型实验。目的在于预测即将建造的大型机械或水工结构上的流动情况；

b、探索性的观察实验。目的在于寻找未知的流动规律，指导这些实验的理论基础就是相似原理和量纲分析。工程流体力学中的实验主要有两种：3§4-2SimilarityPrinciple

Whenwedesignormanufacturesomecomplexandhugehydraulicmachines,builtwaterpowerengineeringaswellassearchsomecomplicatedhydraulicphenomena,weoftendesignandmadeamodelwhichisreducedsizeaccordingtosimilarityprinciple.Carryingoutsimulationexperiment,deducetheflowsituationandrelativedataofpracticalitythroughobservingtheflowsituationofmodel.

ThebasictheorywhichanalyzeandstudythesimilituderelationbetweenmodelandrealobjectiscalledsimilarityprincipleRealobjectiscalledprototypetoo.SimilarityPrincipleandDimensionalAnalysisdefination：4§4-2

相似原理

当设计制造某些复杂而庞大的水力机械，建造水利工程以及研究某些复杂的水力现象时，往往要根据相似原理，设计制造缩小了尺寸的模型。进行模拟实验，通过对模型的流动状况观测来推断实物的流动状况及有关数据。

分析研究模型和实物间的相似关系的基本理论称为相似理论。实物又称为原型。相似原理和量纲分析

定义：51.Geometrysimilitude

Modelparameteraddsasubscript

mandprototypeparameteraddsasubscript

ntoexpress.Linearscale（4—1）Surfacescale（4—2）Volumescale（4—3）

Thecorrespondinggeometricallineardimensionsofprototypeareinproportion

tothoseofmodelandcorrespondinggeometricalanglesarethatcalledgeometrysimilitude.defination：SimilarityPrincipleandDimensionalAnalysis6一、几何相似

模型参数加脚码m

，原型参数加脚码n表示。线性比尺为（4—1）面积比尺为（4—2）体积比尺为（4—3）相似原理和量纲分析

原型与模型中对应的几何线性尺寸成比例，对应的几何角度相等，称为几何相似。定义：72.Kinematicsimilitude

Timescale（4—4）Velocityscale（4—5）Accelerationscale（4—6）

Thecorrespondingparametersofmotionofprototypesuchasvelocity,accelerationareconsistentindirectionandinproportiontomagnitudetothoseofmodelcalledkinematicsimilitude

.defination：SimilarityPrincipleandDimensionalAnalysis8

二、运动相似

时间比尺为（4—4）速度比尺为（4—5）加速度比尺为（4—6）相似原理和量纲分析

原型与模型中对应的运动参数如速度、加速度方向一致，大小成比例，称为运动相似。定义：93.Dynamicsimilarity

Densityscale（4—7）Massscale（4—8）Forcescale（4—9）

Theforcesofcorrespondingpointsofprototypeandmodelareconsistentindirectionandinproportiontomagnitudethatiscalleddynamicsimilarity.

defination：SimilarityPrincipleandDimensionAnalyse10

三、动力相似密度比尺为（4—7）质量比尺为（4—8）力的比尺为（4—9）相似原理和量纲分析

原型与模型中对应点处受力方向相同、大小成比例，称为动力相似。

定义：11Unitmassscale（4—10）accordingto（4—9）Thatis（4—11）Informula，isadimensionlessnumber,calledNewtonnumber，denotedby（4—12）Thatis,twogeometrysimilitudeflows,ifdynamicsimilarity,thentheirNewtonnumbermustbeequal;Whereas,twogeometrysimilitudeflowswhoseNewtonnumberareequal,theirdynamicsimilaritymustbeequal.Sogeometrysimilitudeisonlynecessaryconditionofsimilitude

，andthatkinematicsimilitudeand

dynamicsimilarityarenecessaryandsufficientconditionofsimilitude.Soformula（4—11）changetoSimilarityPrincipleandDimensionalAnalysis12单位质量比尺为（4—10）据式（4—9）可写即（4—11）式中，为一个无因次量，称为牛顿数，以表示。（4—12）

就是说，两个几何相似的流动，如果动力相似，则牛顿数必相等；反之，牛顿数相等的两个几何相似的流动，必然是动力相似的。故几何相似仅是相似的必要条件，而运动相似和动力相似才是相似的充要条件。相似原理和量纲分析故式（4—11）变为13§4-3SimilarityCriterion1.Reynoldsnumber

throughformula（4—10）weknowthedimensionofinertiaforceis，ifsubstitutionofTforF，thenFor，sosimplifingaboveformulaweget:（4—13）Informula，calledReynoldsnumberPhysicalmeaning：internalfriction

causedbyviscosity:whichcanbeexpressedfromdimension:Theratioofinertialforcetoviscosityforce

.SimilarityPrincipleandDimensionalAnalysis14§4-3

相似准则一、雷诺数

由式（4—10）知惯性力的因次为，如用T替换F，则因，故简化上式得（4—13）

式中，称为雷诺数数。物理意义：相似原理和量纲分析粘性引起的内摩擦力为，从因次上可写惯性力与粘性力的比。152.Froudenumber

substitutionforFin(4—10),thenSimplifyitthen（4—14）Informala

，calledFroudenumberPhysicalmeaning：Theratioofinertialforcetogravity.Inthoseliquidwhichhavefreesurface,Whichhavingleadingeffectisgravity:ondimensionitisSimilarityPrincipleandDimensionalAnalysis16二、弗劳德数用以代替式（4—10）中的F，则简化后得（4—14）式中，称为弗劳德数。物理意义：相似原理和量纲分析惯性力与重力之比。在具有自由表面的液流中，起主要作用的为重力在因次上为173.EulernumberOndimensionSubstitutionforFin(4—10),thenThatisInformula,calledEulernumberPhysicalmeaning：（4—15）Theratioispresstoinitialforce.

Whenstudythedistributingofpressorpressureoftheobjectssubmergedinliquid,themajorforceispress.SimilarityPrincipleandDimensionalAnalysis18三、欧拉数在因次上为将其代替式（4—10）中的F时，则即式中，称为欧拉数。物理意义：（4—15）相似原理和量纲分析压力与惯性力之比。

研究淹没在流体中的物体表面上的压力或压强分布时，起主要作用的力为压力。19Definition:

（4—16）Cametobeknownasmechanicssimilaritycriterionofstationaryflowofincompressiblefluid.

Iftwoflowsaredynamicsimilarity,thentheymusthavethesameEulernumber,ReynoldsnumberandFroudenumber.ThatisSimilarityPrincipleandDimensionalAnalysis20定义：

（4—16）称为不可压缩流体定常流动的力学相似准则。相似原理和量纲分析

如果两个流动成力学相似，则它们的弗劳德数、欧拉数、雷诺数必须各自相等。于是214.MachnumberWhenthinkingaboutfluidcompressibility,elasticforcepredominatesF=EASimilarityPrincipleandDimensionalAnalysis22相似原理和量纲分析四、马赫数

当考虑流体压缩性时，弹性力起主要作用F=EA235.Webernumber6.ArchimedesNumberSimilarityPrincipleandDimensionalAnalysisnumber.

Archimedes

flow

differencetemperature

called

,

flow

difference

temperature2number.

Archimedes

flow

differencedensity

called

,

flow

differencedensity120002errTVTglAVglAD=D=）（）（rr24相似原理和量纲分析五、韦伯数六、阿基米德数25SimilarityPrincipleandDimensionalAnalysisInformula：ArchimedesnumberisFroudenumberwhichthinkingaboutflotationalprocess,thatiswhichcorrectsthegravitysimilitudecriterion.Isthetemperaturedifferencebetweentwyerandindooristhermodynamictemperatureindoor.

0eTTD26相似原理和量纲分析27§4-4ModelLawsInthesamephysicalphenomenontwosimilitudenumbersoftencan’tmeetsimilarityrelationshipatthesametime.SuchasReynoldsnumberandFroudenumberarenoteasytomeettheconditionsatthesametime.WishReynoldsnumbertomeetthecondition:WishFroudenumbertomeetthecondition:Itishardtorealizeandevenneverontechnique.Infact,weoftenanalyzetheresearchedflowproblemsdeeplytofindoutthemainactingforcewhichinfluencflowproblems,tomeetamainforcesimilitudeandignoreotherminorforcessimilitude.SimilarityPrincipleandDimensionAnalyse28§4-4模型律

两个相似准数在同一个物理现象中，常不能同时满足相似关系。例如雷诺数和弗劳德数就不易同时满足。欲使雷诺数相等，将有欲使弗劳德数相等，将有

这在技术上很难甚至不可能做到。实际中，常常要对所研究的流动问题作深入的分析找出影响流动问题的主要作用力，满足一个主要力的相似而忽略其它次要力的相似。相似原理和量纲分析29

example:Forthepressureflowinthepipeandsubmergedbodyambientflowetc,aslongastheReynoldsnumberoftheflowisnottoolarge,commonlyitssimilitudeconditiondependsonReynoldsCriterionnumber.Wavemotioncausedbyshipmovement,waterflowinopenchannal,waterflowaroundpier,jetfromsmallholeincontainerwalletcaremainlyinfluencedbygravity.SimilitudeconditionneedensurethatFroudenumbersareequal.SimilarityPrincipleandDimensionalAnalysis30

例：对于管中的有压流动及潜体绕流等，只要流动的雷诺数不是特别大，一般其相似条件依赖于雷诺准则数。

而行船引起的波浪运动、明渠水流、绕桥墩的水流、容器壁小孔射流等主要受重力影响，相似条件要保证弗劳德数相等。相似原理和量纲分析31§4-5ApplicationofπTheoremandDimensionalAnalysis1.πtheoremAssumethatthefunction（4—18）

isusedtoexpressaphysicalruletobestudied.Undercertainsystemofunits,allthesek+1physicalvariableshavedefiniteunitsandvalues.

Functionalrelationsamongphysicalvariablesincludedinaphysicalphenomenon,ifchoosingacertainsystemofunits,aredetermined.Ifchangingthesystemofunits,thefunctionalrelationsmaybeinfluenced.Ifwewantitnottobeinfluencedbytheselectionofsystemofunits,itshouldhavespecialstructureformoffunctionalrelations.theoremisthemethodwhichchangingdimensionalfunctionalrelationsintodimensionlessones.SimilarityPrincipleandDimensionalAnalysis32§4-5定理和量纲分析的应用一、定理

假定用函数（4—18）

表示一个需要研究的物理规律，在一定的单位制下，这k+1个物理量都有一定的单位和数值。相似原理和量纲分析

一物理现象所包含的各物理量间的函数关系，如果选用一定单位制，则其关系的函数式就确定了，若改变单位制则函数关系可能受影响。要使它不受单位制选择的影响，必须具有特殊的函数关系的结构形式。定理就是化有量纲的函数关系为无量纲的函数关系式的方法。33Choosethosephysicalvariablesofgreatinfluence,suchaschoosingasbasicunits.Ofwhichthesystemofunitsofshouldmeet:（1）basicunitsshouldbeindependenteachother;（2）Usingthesebasicunitscaneduceallnecessaryunitsofphysicalvariables.Becausetheresearchingproblemsaredifferent,thefactorwhichhasgreatinfluenceoneachproblemisdifferent.Thebaseunit

whichmeetsabovetworequirementsmayhavealotofcombinationforms.Suchasstudyingheadlossandflowresistanceandsoon,itsinfluencingfactoroftencan’tdowithoutthethreebasicphysicalvariables:lineardimension,flowvelocityandfluiddensity.Thesethreephysicalvariablesseparatelyhavethespecialitiesofgeometry,kinematicsanddynamics.Theymeettherequirements(1)and(2),socanformaspecialsystemofunits.SimilarityPrincipleandDimensionalAnalysis34

取对所研究的问题有重大影响的几个物理量。例如取作为基本单位。其中单位制需满足：（1）基本单位应该是各自独立的；（2）利用这几个基本单位应该能够导出其它所需要的一切物理量的单位。

由于研究问题各不相同，对每种问题起重大影响的因素自然也不同。满足上述两点要求的基本单位可以有很多种组合形式。

例如研究水头损失及流动阻力等问题，其影响因素常离不开线性尺寸，流体运动速度及流体密度这三个基本物理量。这三个物理量分别具有几何学、运动学和动力学的特性。满足要求（1）、（2），因而以可以组成一组特殊单位制。相似原理和量纲分析35Soallthephysicalvariablesinformula(4—18)canbeexpressedasaproductofacertainpowercombinationofthethreebasicunits

multipliedbyadimensionlessnumber,thatis（4—19）andInformulathedimensionlessnumber（4—20）andarethevaluesofphysicalvariableNandunderbasicsystemofunits.Sounderbasicsystemofunitsthebasiclawsinformula(4—18)stillunchanged,onlythevalueofeachphysicalvariablevaries.SimilarityPrincipleandDimensionalAnalysis36

因而式（4—18）中的物理量都可以表示成这三种基本单位的一定幂次组合与一个无量纲数的乘积，即（4—19）与式中无量纲数（4—20）与

就是物理量N与基本单位制下的数值，因而在基本单位制下，式（4—18）的规律仍然不变，只是各物理量的数值有所改变。相似原理和量纲分析37so，formula(4—18)canbewrittenas（4—21）It’snothardtofindfromthefirstthreetoright,thepowersofdenominatorare:Accordingtoformula(4—20)cangetSimilarityPrincipleandDimensionalAnalysis38

于是，式（4—18）可写成（4—21）从右端前三项不难看出，其分母上的乘幂为根据式（4—20）可得相似原理和量纲分析39soor（4—22）Inthisway,Usingthemethodofchoosinganewbasicunit,wecanturnthefunctions(4—18)amongoriginalk+1dimensionalvariablesintothefunctions(4—22)amongk+1-3namelyk-2dimensionlessvariables.It’stheBuckinghamtheorem.Becauseweoftenexpressadimensionlessvariableasπ,itisalsocalledπtheorem.Sinceπisdimensionless

,thedimensionofnumeratoranddenominatortotherightofformula(4—20)mustbeequal.Toeachphysicalvariable,listitsexponentfunctionsofdimensionsofnumeratoranddenominator(L,M.T),simultaneousnessandsolve,wecanconfirmalldimensionalnumbersinformula(4—22).SimilarityPrincipleandDimensionalAnalysis40于是或（4—22）

这样，运用选择新基本单位的办法，可使原来k+1个有量纲的物理量之间的函数式（4—18）变成k+1-3个即k-2个无量纲数之间的函数式（4—22），这就是泊金汉定理。因为经常用表示无量纲数，故又简称定理。

因为是无量纲数，因而式（4—20）右端分子分母的量纲必须相同，对每个物理量列出其分子分母量纲的幂次方程，联立求解，即可确定式（4—22）中的所有量纲数。相似原理和量纲分析412.Applicationofdimensionanalysis[solution]accordingtoabovechooseasbasicunits,so[Example4—1]headlossofflowinginpipeontheway.

Fromactuallyobserve,Inpipeflowing,thepressuredifferencecausedbyfrictiononthewayhasrelationtothefollowingfactors:pipediameterd,averagevelocityinpipe,dynaflowviscosity，pipelinelengthl

，degreeofroughnessofpipewall,fluiddensity.Trytosolvetheheadlossontheway.SimilarityPrincipleandDimensionalAnalysis42二、量纲分析的应用

[解]

根据题意知选择作为基本单位，于是相似原理和量纲分析[例题4—1]管中流动的沿程水头损失。

根据实际观测知道，管中流动由于沿程摩擦而造成的压强差与下列因素有关：管路直径d

，管中平均速度，流体动力粘度，管路长度l

，管壁的粗糙度，流体的密度试求水中流动的沿程水头损失。43Dimensionsofeachphysicalvariableareasfollows:dimensionPhysicalvariableFirstanalyzethedimensionof,Sinceitsdimensionofnumeratoranddenominatorshouldbeequal.SimilarityPrincipleandDimensionalAnalysissosolveit44各物理量的量纲如下：量纲物理量

首先分析的量纲，因为其分子分母的量纲应该相同，所以解得所以相似原理和量纲分析45Secondanalyzethedimensionof,inasimilarwayResolveitsoInasimilarwaySubstituteallπinto(4—22),wecanobtainfortheheadlossflowinginpipeorderthenSimilarityPrincipleandDimensionalAnalysis46其次再分析的量纲，同理有解得所以同理可得将所有值代入式（4—22）可得因为管中流动的水头损失令则相似原理和量纲分析47Chapter4Exercise4—1Underlayerflowcondition,flowthroughasmallequilateraltriangle

hole(sidelengthisb,holelengthis

L),itsvolumeflowrateQisthefunctionofdynamic-viscositycoefficient,thepressuredroponunitlengthandb.Trytoaltertherelationintonondimensionalformula.Ifdoubleb,howtheQwillchange?solution：whenthenumberofunknownparametersislessthen4,wecanobtainitsaccuratefunctionwhitdimensionalanalysismethod.ItiscalledRayleighmethod.SimilarityPrincipleandDimensionalAnalysis48相似原理和量纲分析

第四章习题4—1在层流情况下，流过一小等边三角形截面的孔（边长为b

，孔长为L)的体积流量Q

为动力粘性系数，单位长度上的压降及

b

的函数。试将此关系写成无因次式。若b

加倍，流量有何变化？解：对未知参数小于等于4个时，可直接用量纲分析法求得其准确的函数关系，并称之为雷利法。49SimilarityPrincipleandDimensionalAnalysis50相似原理和量纲分析514—2Aflyermovinginstationaryairisthesameasairflowflowingaroundfixity.Accordingtomeasure,whencirculatingflowtheflowresistanceDhasrelationtotransectlineardimensionl,averagevelocityofflow,airdensity,dynamicviscosity，trytoanalyzetheresistanceformulaofambientflow.Similar