《一次函数与方程(组)、不等式》课件2025-2026学年人教版八年级数学下册

第二十三章一次函数人教版八年级（初中）数学下册授课老师：XXX23.3一次函数与方程(组)、不等式学习目标1.理解一次函数与一元一次方程的内在联系，能运用函数图象求解一元一次方程的解，并解释其几何意义.2.结合两个一次函数图象的交点坐标，探究一次函数与二元一次方程组的关系，会利用函数图象求二元一次方程组的近似解，体会数形结合思想在解决问题中的作用.3.依据一次函数的增减性，分析一次函数值大于（或小于）0时自变量的取值范围，掌握用函数图象解一元一次不等式的方法，提升运用函数知识解决实际问题的能力.5m15m121m/s0.5m/s新知探究知识点1一次函数与一元一次方程的关系如图，一次函数y=2x-1的图象与x轴交点的横坐标是0.5.当自变量x的值为0.5时，函数值是多少？由此可以得出一元一次方程2x-1=0的解吗？0.50.5-0.5-1Oyxy=2x-1思考新知探究如图，一次函数y=2x-1的图象与x轴交点的横坐标是0.5.当自变量x的值为0.5时，函数值是多少？由此可以得出一元一次方程2x-1=0的解吗？0.50.5-0.5-1Oyxy=2x-1一次函数y=2x-1的图象与x轴交点的横坐标为0.5，纵坐标为0.这表明当自变量x的值为0.5时，函数值为0.由此可以得出一元一次方程2x-1=0的解是x=0.5.新知探究因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0(a≠0)的形式，所以解一元一次方程，从函数值考虑，相当于在某个一次函数y=ax+b的函数值为0时，求自变量x的值；从函数的图象考虑，相当于已知直线y=ax+b，求它与x轴的交点的横坐标.新知探究一次函数与一元一次方程的关系“数”的角度“形”的角度求一元一次方程kx+b=0的解.一次函数y=kx+b中，y=0时x的值.求一元一次方程kx+b=0的解.求直线y=kx+b与x轴交点的横坐标.新知探究利用一次函数的图象解一元一次方程的步骤1.转化：将一元一次方程转化为kx+b=0(k≠0)的形式.2.画图象：画出一次函数y=kx+b的图象.3.找交点：找出一次函数图象与x轴交点的横坐标，即为一元一次方程的解.新知探究例已知一次函数y=-2x+2，根据图象回答：

(1)当y=0时，求x的值；

(2)当y=2时，求x的值.解：(1)由图象可知：一次函数y=-2x+2与x轴的交点为(1，0).∴当y=0时，x=1.(2)由图象可知：一次函数y=-2x+2与y轴的交点为(0，2).∴当y=2时，x=0.123-1-2-31234-1-2-3-4Oyx新知探究知识点2一次函数与一元一次不等式的关系如图，利用一次函数y=2x-1的图象，你能得出函数值大于0时x的取值范围吗？函数值小于0时呢？由此，你能分别得出一元一次不等式2x-1>0与2x-1<0的解集吗?0.50.5-0.5-1Oyxy=2x-1思考新知探究如图，当图象上点的纵坐标大于0时，点在x轴上方，其横坐标大于0.5，即函数值大于0时x的取值范围是x>0.5；当图象上点的纵坐标小于0时，点在x轴下方，其横坐标小于0.5，即函数值小于0时x的取值范围是x<0.5.∴不等式2x-1>0的解集是x>0.5，2x-1<0的解集是x<0.5.0.50.5-0.5-1Oyxy=2x-1新知探究对于可化为ax+b>0或ax+b<0(a≠0)的一元一次不等式，在求它的解集时，从函数值考虑，相当于在某个一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时，求自变量x的取值范围；从函数的图象考虑，相当于已知直线y=ax+b，确定这条直线上的点的纵坐标大于0或小于0时横坐标的取值范围.新知探究一次函数与一元一次不等式的关系“数”的角度“形”的角度求kx+b＞0(或＜0)(k≠0)的解集.y=kx+b的值大于(或小于)0时，x的取值范围.求kx+b＞0(或＜0)(k≠0)的解集.直线y=kx+b在x轴上方(或下方)的图象所对应的x的取值范围.新知探究-6123456-5-4-3-2-1-1-2-3-4-5-6123456Oy=x+2例画出函数y=x+2的图象，利用图象：(1)求不等式x+2<0的解集；(2)若-1≤y≤3，求x的取值范围.解：(1)由图象知，不等式x+2<0的解集是x<-2；(2)由图象知，当-1≤y≤3时，x的取值范围是-3≤x≤1.yx新知探究思考：x+y=5它表示什么呢？它表示一个二元一次方程.y=-x+5它表示什么呢？它既可表示一个二元一次方程，又可表示一个一次函数.知识点3一次函数与二元一次方程(组)的关系新知探究对于二元一次方程2x-y=1可以将其写成一次函数__________的形式.1.画出一次函数y=2x-1的图象；2.找出方程的几组解；3.把以这几组解为坐标的点在坐标系上描出来，你发现了什么？4.在一次函数y=2x-1的图象上点的坐标都是二元一次方程2x-y=1的解吗？y=2x-1-6123456-5-4-3-2-1-1-2-3-4-5-6123456Oy=2x-1

数：方程2x-y=1的解(数对)形：直线y=2x-1上的点转化yx新知探究由于每个含未知数x和y的二元一次方程都可以转化为y=kx+b(以k，b是常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线.这条直线上每个点的坐标(x，y)都是这个二元一次方程的解，以这个二元一次方程的解(x，y)为坐标的点都在这条直线上.新知探究一次函数与二元一次方程的关系相互转化一一对应一次函数y=kx+b二元一次方程y-kx=b一次函数y=kx+b图象上点的坐标二元一次方程y-kx=b的解注意：虽然一次函数与二元一次方程可以相互转化，但是一次函数≠二元一次方程.新知探究一次函数与二元一次方程的区别二元一次方程一次函数字母表示的意义不同表示未知数表示变量表示方法不同只能用等式解析式、表格和图像新知探究

思考

新知探究

y=2x-11-1-1-21O2323yxP(1，1)

新知探究一般地，由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解这样的方程组相当于求当自变量为何值时相应的两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解这样的方程组相当于确定两条直线交点的坐标.新知探究图象法求二元一次方程组的解的一般步骤1.变函数：把方程组中的方程化为一次函数的形式.2.画图象：建立一个平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象.3.找交点：由图象确定两直线交点的坐标.4.写结果：依据点的坐标写出方程组的解.注意：用图象法解二元一次方程组要求作图精准，且有时只能得到近似解.新知探究思考两直线的位置关系与对应的二元一次方程组解的情况的关系?两直线的位置关系对应的二元一次方程组解的情况相交有唯一解平行无解重合有无数组解典例解析例

同时释放两个探测气球，1号气球从距离地面5m高处出发，以1m/s的速度上升；与此同时，2号气球从距离地面15m高处出发，以0.5m/s的速度上升.两个气球都上升了1min.(1)分别写出表示两个气球所在位置的高度y(单位：m)关于上升时间x(单位：s)的函数解析式；解：(1)气球上升时间x满足0≤x≤60.对于1号气球，y关于x的函数解析式为y=x+5.对于2号气球，y关于x的函数解析式y=0.5x+15.典例解析(2)两个气球在某时刻能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？

典例解析也可以画一次函数的图象解答此问题.在同一直角坐标系中，画出一次函数y=x+5和y=0.5x+15的图象.两条直线交点坐标为(20，25)，这也说明当上升20s时，两个气球都位于海拔25m的高度.5O201015y/mx/s2025y=x+5y=0.5x+15P(20，25)随堂演练1.画出一次函数y=-2x+8的图象，利用图象解方程-2x+8=0及不等式-2x+8>0和-2x+8<0.解：图象如图所示.观察图象可知方程-2x+8=0的解为x=4，不等式-2x+8>0的解集为x＜4，不等式-2x+8<0的解集为x＞4.1O56yx78432-2-1-1-2-312345678y=-2x+8随堂演练

随堂演练3.刘伟一家计划星期日租用新能源汽车自驾出游.在甲公司租车，需收取固定租金80元，在此基础上再按14元/h计费；在乙公司租车，无固定租金，按30元/h计费，当他家租车多长时间时，租用甲、乙两个公司汽车的费用相同？解：设租车时间为th.由题意得，在甲公司租车费用为(80+14t)元，在乙公司租车费用为30t元.令80+14t=30t，解得t=5.故租车时间为5h时，租用甲、乙两个公司汽车的费用相同.课程小结数形结合思想一次函数与方程(组)、不等式一次函数与一元一次方程一元一次方程kx+b=0的解直线