选修2-31.2.2.2常见组合题型及方法-邻水中学

四川省邻水中学黄文谦四川省邻水中学黄文谦1.2.2.2常见组合题型及方法1/40例．

一位教练足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队上场队员是11人．问：

(l)这位教练从这17名学员中能够形成多少种学员上场方案？

(2)假如在选出11名上场队员时，还要确定其中守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？类型一、无限制条件2/40例：在100件产品中有98件合格品，2件次品。产品检验时,从100件产品中任意抽出3件。(1)一共有多少种不一样抽法?(2)抽出3件中恰好有1件是次品抽法有多少种?(3)抽出3件中最少有1件是次品抽法有多少种?(4)抽出3件中至多有一件是次品抽法有多少种？说明：“最少”“至多”问题，通惯用分类法或排除法求解。切记不可笼统计算！类型二、有限制条件

元素分属集合2件次品作成集合A3/40练习按以下条件，从12人中选出5人，有多少种不一样选法？（1）甲、乙、丙三人必须当选；（2）甲、乙、丙三人不能当选；（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；（5）甲、乙、丙三人至多2人当选；（6）甲、乙、丙三人最少1人当选；甲乙丙三人作成集合A4/40练习黑球作成集合A5/40练习共线4点作成集合A6/40练习7/408/40例4某车间有11名工人，其中有5名钳工，4名车工，另外2名师傅既能当钳工又能当车工，现要在这11名工人中选派4名钳工，4名车工修理一台机床，有多少种选派方法？按钳工选取按车工选取按师傅选取

9/40名额分配问题——隔板法例、给3个学校8个名额参加数学竞赛,每校最少有1个,这么有几个安排方法?分析:问题相当于把8个相同球中间有7个空，从中选出2个空，插入2个隔板分成3堆，每一堆对应一个学校12345673、5指是在3、5处插入隔板，3之前球分给A，A得到3名额3、5之间分给B，B得到2名额5之后分给C，C得到3名额有C72种组合，就有C72种分配方案练习：求x+y+z=10正整数解组数最少有1个名额问题——隔板插空法10/40变式、给3个学校8个名额参加数学竞赛,每校都可能无名额,这么有几个安排方法?分析:把8个相同球和2个隔板安排到10个位置中去，从其中选择2个位置放隔板，有C102种方法123456789103、5指是在3、5位置是隔板，3之前球分给A，A得到2名额3、5之间分给B，B得到1名额5之后分给C，C得到5名额11/40变式、给3个学校8个名额参加数学竞赛,每校都可能无名额,这么有几个安排方法?分析:把8个相同球和2个隔板安排到10个位置中去，从其中选择2个位置放隔板，有C102种方法123456789104、5指是在4、5位置是隔板，4之前球分给A，A得到3名额4、5之间分给B，B得到0名额5之后分给C，C得到5名额12/40练习：求x+y+z=10自然数解组数变式、给3个学校8个名额参加数学竞赛,每校都可能无名额,这么有几个安排方法?分析:把8个相同球和2个隔板安排到10个位置中去，其中2个位置是隔板，有C102种情况123456789101、2指是在1、2处是隔板，1之前球分给A，A得到0名额1、2之间分给B，B得到0名额2之后分给C，C得到8名额隔板位置有C102种，名额分配方法就有C102种可能无名额问题——隔板位置法13/40变式、给3个学校9个名额参加数学竞赛,每校最少2名额,这么有几个安排方法?分析:先每校都分1名额；再把另外6个名额分下去，现在每校最少一个名额14/40成组问题——先选组，再选个例.10双互不相同鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求满足以下条件各有多少种情况：(1)4只鞋子恰有两双；(2)4只鞋子没有成双；(3)4只鞋子只有一双。解析(1)因为4只鞋来自2双鞋,所以有(2)因为4只鞋来自4双不一样鞋,而从10双鞋中取4双有种方法,每双鞋中可取左边一只也可取右边一只,各有种取法,所以一共有种取法.(3)因为4只鞋来自3双鞋,而从10双鞋中取3双有种取法,3双鞋中取出1双有种方法,另2双鞋中各取1只有种方法故共有种取法.15/40路线问题例.

在3×4方格中，从左下角A沿线路到右上角B，最短线路有多少条？AB练习:从一楼到二楼梯步共17级,上楼时能够一步走一级,也能够一步走两级,若要求11步走完这段楼梯,则有多少种不一样走法?分析：从A到B最短路线必走7步这7步中必有3步往上走则有C73种走法1、2、3、4、5、6、7组合2、4、7指24716/40练习.

如图所表示中，从左下角A沿线路到右上角B，最短线路有多少条？ABCD17/40搭配币值例：有一群孩子外出旅行，回来时准备包车回家，包车费20元，他们把每个人钱凑合起来，其中有23人每人有0．5元硬币一枚，另外10人每人有1元硬币一枚，问有多少不一样凑合方法？解：把全部些人硬币都凑合起来共有23×0.5+10×1=21.5元，所以多1.5元，这么问题可转化为取多出钱方法数，即取3个0.5硬币或取1个0.5硬币和1个1元硬币方法数，则有种取法。还能够直接搭配18/40例：6本不一样书，按以下要求各有多少种不一样分法？(4)分成三份，一份1本，一份2本，一份3本(7)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本(6)平均分成三份，每份2本(3)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本(5)分成三份，一份4本，另外两份每份1本(8)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本(2)甲得1本，乙得1本，丙得4本分堆分配问题(9)分给甲乙丙三人，每人最少一本(1)甲得1本，乙得2本，丙得3本19/40(1)甲得1本，乙得2本，丙得3本(1)定额——由人来取解析：步1：甲先取1本，有C61种方法步2：乙在余下5本里取2本，有C52种方法步3：丙在余下3本里取3本，有C33种方法则满足条件方法有C61C52C33种谁先取谁后取，答案相同20/40(2)甲得1本，乙得1本，丙得4本(1)定额——由人来取解析：步1：甲先取1本，有C61种方法步2：乙在余下5本里取1本，有C51种方法步3：丙在余下4本里取4本，有C44种方法则满足条件方法有C61C51C44种21/40(3)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本(1)定额——由人来取法一：步1：甲先取2本，有C62种方法步2：乙在余下4本里取2本，有C42种方法步3：丙在余下2本里取2本，有C22种方法则满足条件方法有C62C42C22种22/40(4)分成三份，一份1本，一份2本，一份3本(2)无序分堆解析：步1：取1本做一堆，有C61种方法步2：在余下5本里取2本做一堆，有C52种方法步3：在余下3本里取3本作一堆，有C33种方法则满足条件方法有C61C52C33种先取出哪堆后取出哪堆，答案相同不平均分堆，没有重复23/40(2)无序分堆解析：步1：取4本做一堆，有C64种方法步2：在余下2本里取1本做一堆，有C21种方法步3：在余下1本里取1本作一堆，有C11种方法这三堆中有两堆是平均分堆，有重复比如：这其中包含有ABCD_E_F,也含有ABCD_F_E则满足条件方法有种平均分堆，有重复(5)分成三份，一份4本，另外两份每份1本24/40(2)无序分堆解析：步1：取2本做一堆，有C62种方法步2：在余下4本里取2本做一堆，有C42种方法步3：在余下2本里取2本作一堆，有C22种方法这三堆都是平均分堆，将会有重复比如：这其中包含有AB，CD，EF则满足条件方法有种平均分堆，必有重复(6)平均分成三份，每份2本也包含有AB，EF，CD也包含有EF，CD，AB也包含有EF，AB，CD也包含有CD，AB，EF也包含有CD，EF，AB每一个组合都重复了这三堆全排列，即重复了A33次25/40(7)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本(3)有序分堆解析：步1：取1本做一堆，有C61种方法步2：在余下5本里取2本做一堆，有C52种方法步3：在余下3本里取3本作一堆，有C33种方法步4：将这3堆分配给这三人，有A33种方法有序分堆，先分堆，再分配则分堆方法有C61C52C33则满足条件方法有C61C52C33A33种26/40(3)有序分堆解析：步1：取4本做一堆，有C64种方法步2：在余下2本里取1本做一堆，有C21种方法步3：在余下1本里取1本作一堆，有C11种方法步4：将这3堆分配给这三人，有A33种方法有序分堆，先分堆，再分配(8)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本则分堆方法有则满足条件方法有种27/40(3)有序分堆法二：步1：取2本做一堆，有C62种方法步2：在余下4本里取2本做一堆，有C42种方法步3：在余下2本里取2本作一堆，有C22种方法步4：将这3堆分配给这三人，有A33种方法有序分堆，先分堆，再分配则分堆方法有(3)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本则满足条件方法有种28/40(9)分给甲乙丙三人，每人最少一本，分三类29/40例子：过正方体8个顶点可作多少对异面直线？分析：过正方体8个顶点做出来直线分为棱、面对角线、体对角线，则组成异面直线分为(1)棱与棱(2)棱与面对角线(3)棱与体对角线(4)面对角线和面对角线(5)面对角线和体对角线几何目标组成方法30/40(1)棱与棱(C121×C41)÷2=2431/40(2)棱与面对角线C121×C61=7232/40(3)棱与体对角线C121×C21=2433/40(4)面对角线与面对角线(C121×C51)÷2=3034/40(5)面对角线与体对角线C121×C21=2424+72+24+30+24=174对35/40换个思想：以正方体8个顶点中其中4个顶点为顶点四面体共有多少个？每个四面体中共有多少对异面直线？过正方体8个顶点可作多少对异面直线？(1)从正方体8个顶点选出4个顶点有C84种选法，其中有12种选法选出4个点在一个面上，则能做成C84—12个不一样四面体(2)每个四面体中共有3对异面直线(3)过正方体8个顶点可作(C84—12)×3对异面直线(C84