华北理工金属塑性变形理论课件第28讲 本构方程

2026/6/31第十二章变形力学方程主要内容MainContent力平衡微分方程屈服条件应力应变关系方程等效应力、等效应变平面变形和轴对称变形2026/6/3212.3应力应变关系方程塑性变形时应力与应变的关系称为本构关系，其数学表达式称为本构方程或物理方程。2026/6/3312.3.1弹性变形时的应力应变关系弹性变形的特点应力与应变完全成线性关系，即应力主轴与全量应变主轴重合弹性变形是可逆的，与应变历史（加载过程无关），应力与应变之间存在统一的单值关系弹性变形时，应力张量使物体产生体积变化，泊松比小于0.52026/6/34虎克定律广义虎克定律E：弹性模量v：泊松比剪切模量2012-5-7-32026/6/35由则而即2026/6/36同理所以广义虎克定律可写成求和约定的形式克罗内克儿记号2026/6/37弹性变形的比列及差比形式2026/6/38广义虎克定律的矩阵形式2026/6/3912.3.2塑性变形时的应力应变关系塑性变形的特点体积不变，泊松比v=0.5应力、应变为非线性关系全量应变与应力主轴不一定重合塑性变化不可逆——无单值一一对应关系——与加载路径有关对于应变硬化材料，卸载后的屈服应力比初始屈服应力高2011-12-8-32026/6/310应变增量与小变形及大变形的关系应变增量与小变形数值大小处于同一数量级，都属于无穷小量；大变形是对应变增量进行积分获得的2026/6/311塑性变形时应力与应变的关系增量理论

Prantl—Reuss理论

Levy—Mises理论全量理论

Hencky小变形理论

2026/6/312Prantl—Reuss理论基本观点

应力与应变的位向关系塑性应变增量主轴与应力主轴一致应力与应变的分配关系

在任意加载瞬间，塑性应变增量各分量与该瞬时相应的各偏差应力分量成比例2026/6/313数学表达式或2026/6/314对P—R理论的解释应变增量主轴与应力主轴重合的含义：若在某一方向加载，则在该方向必产生应力与应变增量分配关系的含义：把塑性应变增量与应力在数学上联系起来是一个非零非负的瞬时比例系数，时，表示弹性变形，时，无实际情况与其对应。2026/6/315Prantl—Reuss方程总的应变增量是弹性与塑性变形增量之和，即而又2026/6/316

该式称为Prantl—Reuss方程，建立了偏差变形增量与偏差应力之间的关系2026/6/317适用范围该理论适用于弹塑性问题，即塑性变形很小，与弹性变形处于同数量级，而不能忽略弹性变形。2026/6/318Levy—Mises理论基本观点

应力与应变的位向关系应变增量主轴与应力主轴一致应力与应变的分配关系

在任意加载瞬间，应变增量各分量与该瞬时相应的各偏差应力分量成比例塑性2026/6/319数学表达式

或2026/6/320对L—M理论的说明与Prantl—Reuss理论相比，Levy—Mises理论只适用于大塑性变形问题；又称为Levy—Mises流动法则；同样用于应变速率

2026/6/3212026/6/322全量理论全量理论建立了全应变与应力的关系。其中比较由影响的是Hencky小变形理论。2026/6/323加载条件简单加载在加载过程中，应力张量各分量按同样的比例增加，也称为比例加载。即。例：已知，，则简单加载的特点：加载过程中，应力主轴不动。复杂加载：加载过程中各应力分量之间无规律可循。2026/6/324Hencky小变形理论基本观点应力与应变的位向关系塑性应变主轴与应力主轴一致。应力与应变的分配关系在任意加载瞬间，塑性应变各分量与该瞬时相应的各偏差应力分量成比例。2026/6/325数学表达式

或2026/6/326总的变形2026/6/327小变形理论用于大变形对于大塑性变形，仅用于简单加载条件，此时应力与应变主轴