华北理工金属塑性变形理论课件第38讲 虚功原理及最大塑性功原理

2026/6/31第十五章上界定理及其应用主要内容MainContent虚功原理及最大塑性功原理上界定理的概念上界定理的应用——间断速度场2026/6/3215.1虚功原理及最大塑性功原理在塑性加工成型所需功率的上下界中寻找更为接近真实解的力能参数及金属流动等问题，称为极限分析。

极值原理包括上界定理和下界定理，它们都是根据虚功原理和最大塑性功原理得出的，但各自分析问题的出发点不同。2026/6/33上界定理是对工件的变形区虚拟一个运动许可速度场，而未必满足力微分方程和应力边界条件，在满足上述条件所求得的成型所需的功率或变形力大于或等于真实的变形功率和变形力。下界定理是对工件的变形区虚拟一个静力许可应力场，而未必满足体积不变条件和速度边界条件，在满足上述条件求得的成型所需的功率和变形力小于或等于真实的变形功率和变形力。2026/6/34历史发展上世纪四十年代末期A．A．马尔科夫，R．希尔，W．普拉格等人对弹性一塑性材料和刚一塑性材料，从数学塑性理论角度对极值定理进行了证明和探讨。五十年代到七十年代才逐渐把塑性理论的极值定理用于解塑性加工成型的实际问题。可以说五、六十年代是工程法和滑移线法占主要地位，然而到七十年代极限分析法则居主导，目前在工程中普遍应用。2026/6/35在任何塑性加工成型过程都有多于一个的运动许可的速度场或静力许可应力场，所以便存在多于一个的上界解或下界解。这样，在许多上界解中找到最小的或在许多下界解中找到最大的，便会得到更接近真实的解。由于设定运动许可速度场比设定静力许可应力场容易，并且得到的上界解又能满足加工设备强度和功率验算安全的要求，所以上界解应用比较广。*………………2026/6/3615.1.1虚功原理稳定平衡状态的变形体中，当给予变形体一几何约束所许可的微小位移（因为该位移只是几何约束所许可，实际上并未发生，故称虚位移）时，则外力在此虚位移上所作的功（称虚功），必然等于变形体内的应力在虚应变上所作的虚应变功。也常用功率表达虚功率原理2026/6/37其表达式为：求和约定的形式外力功率内力功率2026/6/38含义内力虚功率与外力虚功率平衡内力满足力平衡方程，在边界上与外力满足应力边界条件虚应变速率与虚速度满足几何方程内力与虚应变速率之间没有任何联系2026/6/39有速度不连续线时的虚功率原理P1P2P3F1PiPn-1PnF2LdF1F2N1N2T2T1vn1vn2vt1vt2B1B22026/6/310对F1区应用虚功率原理对F2区应用虚功率原理2026/6/311两者相加有2026/6/312有多条速度不连续线时对三维空间也成立2026/6/31315.1.2最大塑性功原理对刚塑性体一定的应变增量场而言，在所有满足屈服准则的应力场中，与该应变增量场符合应力应变关系的应力场所做的塑性功增量为最大。

2026/6/314含义：2026/6/315原理的证明OQ一定在π

平面上32OQ主轴空间内的应力、应变矢量Π平面上的偏应力矢量和应变矢量M231Qθ2026/6/316由于屈服轨迹是外凸的曲线对上式进行整体积分得同样对于虚拟应变增量场…(9)M231Qθ2026/6/317物体在塑性变形时，总是要导致最大的能量散逸对于一定的应变增量场，在所有满足屈服准则的应力场中，与该应变增量场长符合应力应变关系的应