【求幂级数和函数的方法分析6000字（论文）】

PAGE求幂级数和函数的方法分析目录摘要 11.引言 12.幂级数及其和函数的定义 22.1.幂级数 22.2和函数. 33.常见的求幂级数和函数的方法 33.1定义法 33.2逐项求导，逐项积分法 53.3通过幂级数的展开式求和函数 73.3.1幂级数展开式的定义 73.3.2用已知的幂级数展开式求和 84.其他求幂级数和函数的方法 94.1代数方程法 94.2差分算子求和法 104.2.1差分算子的定义 104.2.2使用差分算子法求幂级数和函数 104.3微分算子求和法 124.4柯西方法 12结束语 13参考文献 13PAGE11摘要：幂级数是作为研究无穷级数的一种途径，幂级数建立起了函数同级数之间桥梁，通常得到一个幂级数，不可能将它逐项排列写出来，因为幂级数的项是无穷的，而是转而去探究这个幂级数的和函数，在和函数的求解中，一般是用和函数的定义去求和幂级数；通过逐项求导、逐项求积求和幂级数和使用幂级数展开式求和幂级数。然而在面对一些特殊的幂级数时，利用化归思想，会有一些特别的方法，很好的处理一些特例。本文将描述一些常见的几种幂级数求和法。关键词：幂级数，幂级数展开式，差分算子，微分算子，代数方程1.引言关于幂级数这一定义，先是由数列的定义推出数项级数，再扩展到函数项级数，这些也被称之为无穷级数，幂级数的项数是无限的，不同于数项级数各项都是数的形式，将幂级数分解来看，所有的项都是带有一个自变量的幂函数，再对它各项依次用“+”号连接，我们知道函数式子加上函数式子会得到一个新的式子，我们探究幂级数无限个项相加后，是否会有一个有关幂函数的和的式子出现，不同于数项级数的数与数之间的求和，幂级数求和涉及到幂级数的敛散性，在求幂级数和函数之前，首先要建立在该幂级数在非0处有是否收敛点的前提上，在得知幂级数收敛点后，幂级数的和函数被定义为：幂级数在所有收敛点的函数项的和。由于幂级数的项是无穷的，无法逐项计算得出结果，一般是使用极限和数列求和公式加以计算，但有一些幂级数的和函数无法直接由此计算而来，很多时候会对幂级数的一些性质加以利用，贯彻化归思想，使用一些技巧化简幂级数，像是常见手段有积分、求导、四则运算，将原幂级数进一步化简成可求其和的幂级数，再求其和函数。其中涉及到许多相关数项级数，函数求导，积分等内容，有很大的研究意义。2.幂级数及其和函数的定义2.1.幂级数幂级数，是一类各项都是由常数系数项与带有自变量的幂函数的积组成.0的函数项级数，形如

n=0∞anx−x0n

其中是an在求幂级数和函数之前，一般都是要先讨论幂级数的收敛的收敛性问题，显然，幂级数的项都是一个幂函数，由幂函数过点（0,0），故幂级数在x=0时就是收敛的。所以在幂级数的收敛域讨论上，即要讨论幂级数在除点x=0处之外的哪些点收敛。阿贝尔定理提到幂级数（1）在x<x上收敛而且绝对收敛，当幂级数（1）在点x基于阿贝尔定理，可以看出幂级数在一个以点0为中心的对称区间里面收敛，只要求出区间端点，于是就能得出收敛半径R的定义，而求收敛半径则是用到数项级数的根式判别法和比判别法来推出幂级数的收敛半径。对于幂级数（1），若limn→∞nan=limn2.2和函数.将幂级数的所有的“+”进行计算求和，即幂级数和函数的定义，但幂级数在不同的点有收敛或发散的不同情况，发散的级数无法纳入计算，故幂级数的和函数就是计算幂级数所有项在幂级数收敛时的和。幂级数的项数是无穷的，求和时要利用极限的方法，通常先计算幂级数在其收敛域上的前n项部分和Sn(xS即幂级数的和函数。3.常见的求幂级数和函数的方法3.1定义法 定义法是根据定义即先计算出幂级数在收敛域上的前n项部分和Sn(x即

S在确定了幂级数收敛域后，用求和公式或一些特殊方法求出幂级数的前n项部分和Snx，得出Snx的表达式后，对S在使用定义法时，经常会使用到数列求和时的一些技巧，如错位相减，合比定理，方程法，裂项相消法等，方法并不固定，这种方法涉及到个人所掌握的解题技巧。例1.求幂级数n=1解：ρ=故R=2，收敛区间为（-2,2）因为limn→∞n故原幂级数的收敛域为（-2,2）幂级数的部分和：SSn而：12（1）-（2）得：1−则SS3.2逐项求导，逐项积分法在求幂级数和函数时，逐项求导和逐项积分法这种方法是利用了幂级数及其和函数的一些性质来求幂级数的和函数，幂级数在其收敛域上有很多良好的性质，如在收敛半径R不等于0时，幂级数和幂级数逐项求导后所得的幂级数有相同的收敛区间，反推即的幂级数和幂级数逐项求积分后所得的幂级数有相同的收敛区间，在求幂级数和函数时。根据这些性质，在求解幂级数和函数时，可以将幂级数逐项积分或者求导等方法化简原幂级数，使得其易于求和（一般是n=0有幂级数n=0∞(i)逐项积分：fx=n=0∞an0(ii)逐项求导：fx=n=0∞f在解决幂级数和函数问题时，针对不同系数an1、an是含n的多项式，先构造an例题.求幂级数n=解：由于ρ=lim又因为幂级数n=1∞n得：收敛域为（-1,1），当x在（-1,1）上时，有：Sx对Sx在x∈（-1,0xS0xS0xStdt再对所得Sx则有：Sx=Sx=即原幂级数的和函数为12、an是一个在分母部分的含有n的多项式，记成1p(n)，这种形式，一般先构造在例题.求级数n=1解：

ρ=所以R=1,故其收敛域为（-1,1）。令S对Sx逐项求导得：

再对S'S在使用这一方法解决问题时，旨在利用积分或导数将幂级数化简成易于求和的形式，在求其和函数，这也是化归思想的一种体现。3.3通过幂级数的展开式求和函数3.3.1幂级数展开式的定义幂级数展开式的定义源自泰勒定理，是泰勒定理的一种特殊情况。1.泰勒定理【1】：函数f在[a,b]上存在n阶的连续导函数，在(a,b)上存在n+1阶导函数，则对任意给定x,x0∈[a,b]，至少存在一点ξ∈(f其中Rn2.定理2【1】：设f在点x0具有任意阶导数，那么f在区间（x0-r,x0+r）上等于它的泰勒级数的和函数的充分条件是：对于一切满足不等式x−x0<r如果f能在点x0的某邻域上等于其泰勒级数的和函数，则称函数f在点x0的这一邻域上可以展开成泰勒级数，并称等式f的右边为f在x0处的幂级数展开式，或称幂级数展开式。且若幂级数n=0∞常见的在x0=0时的幂级数展开式有（1）ⅇ（2）1+（3）sin（4）cosx（5）ln1+3.3.2用已知的幂级数展开式求和如果一个幂级数的各项系数an的分母中有一个包含n的阶乘多项式，则很难利用逐项积分逐项求导的方法化简an。若可以观察到这些带有n的阶乘的式子与一些幂级数展开例题1：求幂级数13解：易知该幂级数收敛域为−11nn则原幂级数和函数为：1例题2.求n=0解：易知幂级数收敛域为−∞,+∞有幂级数展开式知：ⅇx=用ⅇx+ⅇ2得：n=0∞即n=0∞原幂级数的和函数为12（ⅇx4.其他求幂级数和函数的方法前几种求幂级数和函数的方法在本科学习教材中能直接学习到，是比较常见的几种幂级数和函数的方法，但除了这些方法之外，还有一些其他方法，如代数方程法，微分方程法，差分算子求和法等，相对于前面几种方法，下列所展示方法更像是求幂级数和函数时的技巧，使用时是以前面所提及的几种常见的求幂级数和函数的方法作为基础，加上一些特殊的构造处理，化简变换，再求幂级数和函数。4.1代数方程法使用方程法求幂级数和函数，在做题时，观察题目并寻找和函数与另外的一些代数之间的关系，以此建立一个关于和函数Sx的方程，再通过解方程得出S例题1.求幂级数n=0∞解：易知该幂级数的收敛域为（-1,1）令S有：

S构造代数式子：xSxS建立方程：

SSSS故原幂级数的和函数为：

S4.2差分算子求和法4.2.1差分算子的定义差分算子定义为对任意的实函数f（x）,令Δf(x)=f(x+1)−f(x)，则把Δf(x)称f(x)的一阶差分，以此推出f(x)的n阶差分为：Δn4.2.2使用差分算子法求幂级数和函数定理【2】：设px是一个a次多项式，在x∈(−1,1)时，S这个定理是差分算子法在求幂级数和函数时的理论支撑。例题.求幂级数n=0解：易得知该幂级数的收敛域为（−1<x令Sx对SxSxS令p则

ΔpΔ根据上述定理则有：

xxxSS故原幂级数和函数为：Sx=4.3微分算子求和法当幂级数通项系数为有限个有限次数的多项式相乘时，可以使用微分算子求和法求幂级数和函数。当幂级数满足使用微分算子求和法的条件时，通过拆项组合将幂级数通项系数分解成两个或有限个的多项式乘积，将幂级数和函数问题转换成微分方程问题，然后求解微分方程，就能得出幂级数的和函数。D=ⅆⅆx被定义为微分算子，则有xD=xⅆⅆx，定理【3】：设fx和gx为两个多项式，且gn≠0,n=0,1,2…,当g定理中的Sx为幂级数n=0∞fn⋅g例题：求幂级数n=0解：易知该幂级数的收敛域为−∞,+∞令fn=3则根据定理有SS4.4柯西方法【4】从幂级数和幂级数的和函数的定义上来看，易发现在去除幂级数之间相连的+号后，幂级数的通项以此排列就是一个特殊的数列，而幂级数和函数是幂级数前n项部分和在n趋向于无穷时的极限，于是，我们会思考在一些特殊的条件下时，幂级数和函数是否能和数列极限的某一些性质取得相关联。如数列极限中的极限的四则运算法则。定理：设级数n=0∞an和c则n=0∞c使用柯西方法求幂级数和函数时，根据问题，对所求幂级数进行通项拆解组合，将原幂级数化简成两个可以求和的幂级数的乘积，从而求出所求幂级数的和函数。例题：求幂级数n=0∞解：易知该幂级数的收敛域为（-1,1）令an=xn令bn=xn，n作c则n结束语本文简述了常见的幂级数求和函数的方法，常见的求幂级数和函数的方法都是在本科学习中重要的内容，高等数学教材中都有所提及，文章后半段所讲到的方法，都是化归思想的体现，通过各种化简手段，将幂级数这一部分内容与微分，差分算子，代数方程等知识串联起来，是在求解幂级数和函数时的重要技巧。参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析第四版[M].高等教育出版社[2-4]陈志华,杨继明.化归思想在幂级数求和中的应用[J].玉溪师范学院学报,2007(08):78-82.[3]王良渭,幂级数的求和公式,【J