四年级数学思维训练-盈亏问题

四年级数学思维训练——盈亏问题在我们的日常生活中，常常会遇到这样一类问题：把一定数量的物品分给若干个对象，如果按照某种标准来分，会有剩余（也就是“盈”）；如果按照另一种标准来分，又会不足（也就是“亏”）。这类有趣的数学问题，我们称之为“盈亏问题”。盈亏问题不仅能够锻炼我们分析问题的能力，还能培养我们运用数学知识解决实际问题的思维，是四年级数学思维训练中非常重要的一个模块。今天，我们就一起来探索盈亏问题的奥秘，学习如何巧妙地解决它们。一、什么是盈亏问题？简单来说，盈亏问题就是在分配物品时，由于分配方案的不同，导致结果出现“多余”或“不足”的情况。解决这类问题，关键在于找出两次分配方案之间的差异，以及这种差异如何导致了“盈”与“亏”的产生，从而推算出参与分配的对象数量和物品的总数量。比如，同学们分糖果，如果每人分5颗，还剩下10颗；如果每人分7颗，就还差5颗。这里，“剩下10颗”就是“盈”，“还差5颗”就是“亏”。我们需要通过这些信息，算出有多少个同学，一共有多少颗糖果。二、盈亏问题的常见类型与解题思路盈亏问题主要有以下几种基本类型，我们逐一来看：（一）“一盈一亏”型这是最典型的盈亏问题，即一次分配有剩余，另一次分配则不足。解题关键：两次分配的总差额=盈+亏造成这个总差额的原因是，两次分配中，每个对象分到的物品数量不同，这个差异我们称之为“每份差额”。那么，参与分配的对象数量=总差额÷每份差额知道了对象数量，再根据任意一种分配方案，就能求出物品的总数量。举例说明：幼儿园老师给小朋友们分画片。如果每人分4张，就多出来12张；如果每人分7张，就少了3张。请问有多少个小朋友？一共有多少张画片？分析：第一次分配“盈”12张，第二次分配“亏”3张。总差额=盈+亏=12+3=15（张）每份差额=第二次每人分的张数-第一次每人分的张数=7-4=3（张）小朋友的人数（对象数量）=总差额÷每份差额=15÷3=5（个）画片总数=按第一次分配算：4×5+12=20+12=32（张）或者按第二次分配算：7×5-3=35-3=32（张）答：有5个小朋友，一共有32张画片。（二）“两盈”型即两次分配都有剩余，只是剩余的数量不同。解题关键：两次分配的总差额=大盈-小盈参与分配的对象数量=总差额÷每份差额物品总数量=按其中一种方案分配的结果（例如：每份数量×对象数量+小盈）举例说明：学校买来一批新书，分给几个班级。如果每个班分10本，还余48本；如果每个班分13本，还余12本。问有多少个班级？这批新书有多少本？分析：第一次分配“盈”48本，第二次分配“盈”12本。总差额=大盈-小盈=48-12=36（本）每份差额=13-10=3（本）班级数量（对象数量）=总差额÷每份差额=36÷3=12（个）新书总数=10×12+48=120+48=168（本）或者=13×12+12=156+12=168（本）答：有12个班级，这批新书有168本。（三）“两亏”型即两次分配都不足，只是不足的数量不同。解题关键：两次分配的总差额=大亏-小亏参与分配的对象数量=总差额÷每份差额物品总数量=按其中一种方案分配的结果（例如：每份数量×对象数量-大亏）举例说明：老师给同学们安排宿舍，如果每间住6人，就缺少2间宿舍；如果每间住8人，就正好住满。问有多少间宿舍？有多少名同学？分析：这个问题需要稍微转换一下。“如果每间住6人，就缺少2间宿舍”，意味着按照现有的宿舍数量，每间住6人，会有6×2=12人没地方住，也就是“亏”12人。“如果每间住8人，就正好住满”，可以看作是“亏”0人（或者说不盈不亏）。所以这是“两亏”型（大亏12人，小亏0人）。总差额=大亏-小亏=12-0=12（人）每份差额=8-6=2（人）宿舍数量（对象数量）=总差额÷每份差额=12÷2=6（间）同学总数=8×6=48（名）或者6×6+12=36+12=48（名）答：有6间宿舍，有48名同学。三、解决盈亏问题的关键步骤通过上面的几种类型，我们可以总结出解决盈亏问题的一般步骤：1.仔细审题：明确题目中是把什么（物品总数）分配给什么（分配对象总数），以及两种不同的分配方案。2.判断类型：根据题目条件，判断属于“一盈一亏”、“两盈”还是“两亏”，或者是其中一种情况的变形。3.找出差额：*一盈一亏：总差额=盈+亏*两盈：总差额=大盈-小盈*两亏：总差额=大亏-小亏4.计算每份差额：即两种分配方案中，每个对象所分到的物品数量的差。5.求出分配对象总数：分配对象总数=总差额÷每份差额。（这一步是核心，求出了“份数”）6.求出物品总数：根据求出的分配对象总数，代入任意一种分配方案，即可求出物品的总数量。可以用两种方案分别计算，进行验算。四、温馨提示在解决盈亏问题时，有些题目可能不会直接给出“盈”或“亏”的具体数量，需要我们通过对题目条件的转化和理解，才能识别出它是一个盈亏问题，并找出相应的“盈”与“亏”。这就需要我们多动脑筋，灵活运用所学的知识，仔细分析数量之间的关系。比如，有时题目会说“还多X个”（盈），“还差Y个”（亏），“多了X个房间”（需要转化为亏了多少人），“少了Y个座位”（需要转化为盈了多少人）等等。只要我们抓住“分配”这个核心，理解两种分配方式下结果的差异及其原因，就能找到解题的突破口。五、巩固练习现在，请同学们试着用今天学到的方法来解决下面的问题：1.小朋友分饼干，若每人分3块，则剩14块；若每人分4块，则还差1块。问有多少个小朋友？有多少块饼干？2.学校组织春游，租了几辆车。如果每辆车坐45人，则有15人不能上车；如果每辆车多坐5人，恰好多出一辆车。问原计划租多少辆车？参加春游的一共有多少人？3.老师给美术小组的同学发画纸。如果每人发5张，则少32张；如果每人发3张，则少2张。美术小组有多少名同学？老师一共有多少张画纸？（答案在文末）练习答案：1.15个小朋友，5