采矿工程毕业设计（论文）-开元煤矿1.8Mta新井设计

第IV)原始应力区:距煤体边缘较远，煤体的应力和变形基本不受采空区的影响。3.3沿空煤体力学状态分析具体的采矿与地质条件下，有些因素影响采空区边缘煤体应力分布和力学特征。通过现场的观测统计分析，得出主要影响因素包括:煤体硬度、直接顶岩性、煤层倾角、煤层采高及开采深度。其中卸载带宽度(Ls)式中，f—煤体普氏系数；Rc—直接顶单轴抗压强度，MPa；α—煤层倾角，°；H—采深，m；M—采高，m。式(3.1)表明，煤体边缘卸载区宽度Ls随煤体硬度、直接顶单轴抗压强度和煤层倾角的增加而减小，随采高和采深的增加而增大。(2)塑性带宽度(Lp)(3)影响带宽度(Le)式中符号意义同式(3.1)式。从式(3.2)和式(3.3)同样可以看出，煤体边缘塑性带宽度Lp、影响带宽度Le也是随煤体硬度、直接顶单轴抗压强度和煤层倾角而减小，随采高和采深的增加而增大。对于煤体边缘应力分布的实验研究，相似材料模拟试验验证了采深、采高、倾角和直接顶等力学参数对沿倾斜支承压力的影响，并得出最大应力集中系数k的关系式式中，H—采深，m;M—采高，m;L—采空区沿倾斜宽度，m;Re—直接顶与煤层的弹模比;α—煤层倾角，°。图2倾斜煤层边缘力学状态分区采用立体相似模拟试验，得出的煤体边缘支承压力近似关系为式中，P—支承压力值，t/m2;x—距煤体边缘距离，m。从式(3.5)可知支承压力峰值距煤体边缘3~5m，峰值压力集中系数约为1.5，支承压力影响范围为25m左右。理论研究方面，借助弹性力学建立煤体边缘的力学平衡方程，经过必要的简化和假设，以及利用某种强度准则(例如莫尔一库仑强度准则)确定塑性区宽度，并获得煤体边缘弹性应力区、塑性应力区应力分布的解析解表达式。比较有代表性的工作是运用极限平衡理论研究煤体边缘应力状态。计算公式主要有三种形式式中，σy—应力极限平衡区的垂直应力，MPa；σx—煤体单轴抗压强度，MPa；N0—巷道边缘处的垂直应力，MPa；M—煤层开采厚度，m；c—煤层与顶底板间的粘聚力，MPa；φ—煤层与顶底板间内摩擦角，°；λ—测压系数，λ=dσx/dσyσx—应力极限平衡区的水平应力，MPa；x—煤体内任意点到煤体边缘的距离，m；ξ—常数，ξ=（1+sinφ）/（1-sinφ）；Pi—支架对煤帮的支护阻力，MPa；r—煤层平均容重，MN/m3；H—巷道埋深，m；k—应力集中系数；xp—极限平衡区宽度，m；上述研究普遍存在以下问题：(1)认为极限平衡区内的应力σx、σy等于主应力σ1、σ2忽略了剪应力τxy的影响；(2)极限平衡区内的应力(σx、σy、τxy)不满足平衡方程。为此，通过修正，推导出基于极限平衡理论的煤体边缘塑性区内应力σy、塑性区宽度xp，的关系式图3煤层边缘极限平衡区煤体受力分析简图（3.9）（3.10）式中，m—煤柱高度，m；c—煤层与顶底板间的粘聚力，MPaφ—煤层与顶底板间内摩擦角，°；λ—煤柱塑性区与弹性区界面处的测压系数；px—煤柱侧向约束力，MPa；[σy，max]—煤体支承压力峰值，MPa；[σy，max]=kγH。从式（3.9）和式（3.10）可知，煤体边缘应力分布和塑性区宽度与采深H、煤柱高度m、煤体强度c，φ、煤壁侧向支护阻力px有关。在其它条件相同时：(l)煤柱高度m越大，煤体边缘塑性区宽度越大；(2)煤体与顶底板间的粘聚力c和摩擦角越小，煤体边缘塑性区宽度越大；(3)测压系数λ越大，煤体边缘塑性区宽度越大；(4)煤体极限抗压强度[σy，max]越大，煤体边缘塑性区越小；(5)对煤壁的水平支护阻力px越大，煤体边缘塑性区越小。综放开采所引起的采场周围应力重新分布情况与其他开采方法不全相同，同时考虑倾斜一侧的煤体的倾角因素，重新建立模型，假设如下：(1)煤体视为均质连续体；(2)取整个处于极限强度范围内煤体作为研究对象，研究在平面应变情况下进行；(3)煤体受剪切而发生破坏，破坏满足莫尔一库仑准则；在煤柱极限强度处，即x=x1，处，应力边界条件为式中，β为极限强度所在面的侧压系数，β=µ/(1-µ)，µ为泊松比；α为煤层倾角（°）；为x方向应力（MPa）；为y方向应力（MPa）；为煤体的极限强度（即支承压力峰值）。建立如图4所示的力学模型和坐标系统，图中P为巷道支护对煤壁沿x方向的约束力(MPa)，τxy为煤层与顶底板界面处的剪切应力(MPa)，m为开采煤层厚度(m)；x1为采空侧至煤体极限强度发生处的距离(m)。由图4可知，求解屈服区界面应力的平衡方程为上述理论研究视煤层作为水平煤层、煤体屈服强度按理想弹塑性处理。实际上，煤层倾角α以及煤体破坏后的应变软化特性也不同程度地影响煤柱应力分布和塑性区宽度。有研究表明，煤体塑性软化时的强度条件可用下式表示：（3.13）式中，σ1、σ3—分别为最大主应力、最小主应力；M0—煤体软化模量；σc—煤体单轴抗压强度；φ—煤体内摩擦角；ε1’’—煤体主塑性应变。图4沿空煤体力学模型煤体在塑性流动阶段(松弛阶段)的强度条件为：（3.14）式中，σc*—煤体单轴残余抗压强度。设非弹性区与弹性区交界处的压力为支承压力峰值P，则(1)非弹性区宽度x0（3.15）(2)塑性区宽度x2（3.16）(3)松弛区宽度x1（3.17）式中，γ—煤层容重；α—煤层倾角；f1—煤柱与底板间的摩擦系数；St—塑性区煤体应变梯度；Kp—系数，Kp=1+sinφ/1-sinφσc—煤体单轴抗压强度；σc*—煤体单轴残余抗压强度。(4)塑性区内竖向煤层的应力σy（3.18）式中，x—塑性区内任一点距煤体边缘的距离，其它符号意义同式(3.15)~式(3.17)。根据上述理论模型，煤层倾角对煤柱非弹性区宽度的影响表现在：随着煤层倾角的增加，煤柱下侧的非弹性区扩展明显增大，给煤柱的稳定性带来不利影响。当煤层倾角为30°左右时，煤柱上下非弹性区宽度的比值大约为1.5左右。传统的理论计算中不考虑煤层倾角，当煤层倾角较大时，其计算结果煤柱上侧非弹性区偏大，而下侧偏小。因此，煤柱的稳定性分析应考虑倾角的因素。当煤柱另一侧为巷道时，巷道掘进后周边煤岩体同样也产生塑性变形。在各向等压条件下，运用极限平衡理论，圆形巷道围岩塑性区半径Rp的计算公式为：（3.19）式中，R0—巷道半径；p—岩层压力，p=KγH；γ—覆岩平均容重；Pi—支护阻力；c，φ—煤岩粘聚力和内摩擦角。从(3.19)式可知，煤柱中巷道围岩的塑性区半径取决于巷道半径R0、煤体的强度c、φ，支护阻力Pi，以及埋藏深度H和支承压力集中系数k。从这个意义上讲，煤柱的稳定性取决于采空区侧煤体边缘塑性区和巷道边缘煤体塑性区的宽度。当煤柱宽度B小于煤柱两侧形成的塑性区宽度之和时，也即煤柱两侧的塑性区在煤柱中相贯通时，煤柱将丧失稳定性，与此同时，煤柱护巷也将遭到严重的破坏。因此，保持护巷煤柱稳定的基本条件是：煤柱两侧产生塑性变形后，在煤柱中央仍存在弹性核区，即部分煤柱仍然处于弹性应力状态。有研究建议：对于一次采全厚的综放工作面护巷煤柱，弹性核区的宽度取两倍的巷道高度即可。故综放工作面护巷煤柱保持稳定状态的宽度B：（3.20）式中，Xp—采空区侧煤柱边缘塑性区宽度；Wp—巷道围岩塑性区宽度；M—巷道高度。应该指出，关于采空区侧煤体边缘塑性区宽度的传统理论计算中，煤柱高度按巷道高度取值，而对于放顶煤开采是否合适有必要做进一步探讨。本文认为，采空区侧煤柱边缘的塑性区宽度应按煤层开采全厚度(采高+放高)计算较为合理，特别是在煤层倾角较大的条件下，应该考虑煤柱下部塑性区宽度增加的特点。此外，小煤柱回采巷道时，煤柱宽度B可能不满足(3.20)式的要求，势必涉及在窄小煤柱失稳状态下如何保证留巷稳定性问题，这方面需要做深入系统的研究。4区段煤柱宽度的确定在煤矿开采中，煤柱宽度越大对巷道的稳定越有利，但却影响煤炭的产出率，造成资源浪费。如何在保证安全生产的前提下，尽量减小煤柱的宽度，从而提高煤炭产出率，并合理推导出煤柱宽度公式，从而设计出经济合理的煤柱尺寸是煤矿开采遇到的基础问题。回采区段护巷煤柱合理宽度为（4.1）式中，Le为弹性区宽度；Lp为塑性区宽度；X0为采空区侧塑性区宽度；R0为巷道侧塑性区宽度。目前，在进行煤柱尺寸设计时，主要存在以下2方面问题。（1）在计算煤柱塑性区宽度时，大多采用Mohr－Coulomb屈服准则，它的主要缺点是不能考虑中主应力的影响，使得计算结果偏于保守。（2）在煤柱中部留有2m(m为采高)的范围作为弹性区是前人总结的经验，无法从理论上找到依据。基于以上分析，结合煤柱实际的受力状态，采用考虑中主应力影响的SMP准则，从理论上计算出回采区段煤柱宽度，为煤柱尺寸的设计提供理论依据。4.1平面应变下的SMP准则日本名古屋工业大学的Matsuoka和Nakai于1974年提出的SMP准则，是建立在空间滑动面理论基础上的，它是一种考虑3个主应力或应力张量不变量的破坏准则，适用于无黏性材料。Matsuoka于1990年对其作了修改，在主应力表达式中引入一个黏结应力σ0，其值为（4.2）式中，c、φ分别为岩土材料的内聚力和内摩擦角。得到扩展SMP准则，其表达式为（4.3）式中，粘性材料主应力（4.4）粘性材料不变量形式为（4.5）式中，（4.6）平面应变下，基于相关联流动法则可以证明，3个主应力之间的关系为（4.7）此时，3个主应力所形成的3个应力Mohr圆的公切线恰好相交于-σ0点，如图5所示。图5扩展SMP准则将式（4.7）代入式（4.5）即可得平面应变的SMP表达式为（4.8）4.2煤柱塑性区宽度计算由于煤柱沿煤层走向的尺寸远大于沿倾向的尺寸，故可将煤柱宽度计算简化为平面应变问题。4.2.1采空区侧塑性区宽度计算因煤层厚度和采深比较相对很小，可认为σx均匀分布，支承压力σz沿煤层厚度不变。假设煤体是均质连续的各向同性体，在煤柱内任取一宽度为dx的单元体，其高度为煤层厚度m，其应力状态如图6所示，，在x轴方向所承受的压力靠工作面侧为σx，另一侧为（4.9）在z轴方向上所受的压力分别为σz。由于所取单元作用应力沿x轴方向变化较大，而沿z轴方向的应力变化较小，因而忽略z轴方向的应力增量。设煤层与顶底板接触面之间的内聚力为c1，内摩擦系数为f1；煤体的内聚力为c，内摩擦系数为f(f=tanφ)。图6极限平衡区受力状态由煤柱应力分布规律可知，当单元体处于极限平衡时ΣFx=0，即（4.10）整理得（4.11）由于实际情况下，煤柱一侧采空，使压力释放，使σz远大于σx，因而σz同σ1间夹角很小，可认为σx为小主应力，σz为大主应力。设塑性区内煤体遵循SMP屈服准则，由式（4.5）、（4.7）（4.8）可以得到（4.12）式中，（4.13）E为常数。当x=0时，σx=Pa，Pa为矸石对煤柱的约束应力。将此条件代入式(4.11)可得（4.14）当支承压力达到峰值σz=K1γH(K1为应力集中系数，一般取值为2～4)时，x=X0即为塑性区宽度，代入式(4.12)得（4.15）4.2.2巷道侧塑性区计算取圆形巷道半径为r1，塑性区内微体单元受力分析如图7所示，其受力在径向和切向保持平衡，得到静力平衡方程如下:（4.16）式中，σrp为径向应力；σθp为切向应力。图7塑性区围岩微体单元受力状态根据受力特征可认为σθ为最大主应力，σr为最小主应力，在塑性区内满足SMP屈服准则，代入式(4.7)得（4.17）由式（4.16）、（4.17）可得（4.18）当巷道围岩有支护时，支护与围岩边界(r=r1)应力为支护应力p，即σrp=p，将此条件代入式（4.18）可得（4.19）设巷道所处的原岩应力场为静水应力场，弹性区与塑性区交界处的半径为R0，界面上的径向应力为σR，这时可把整个弹性区看作为一个半径趋于∞，内半径为R0的厚壁圆筒，在弹性区内，根据弹性力学中厚壁圆筒表达式可得（4.20）在弹塑性区交界处，满足应力协调条件，即（4.21）由式(4.19)、(4.20)、(4.21)可得弹塑性区边界上应力为（4.22）塑性区半径为（4.23）对于非圆形巷道目前仍不能从理论上解决其塑性区形状及大小问题，对于非圆形巷塑性区大小问题，一般采用将其视半径为外接圆半径的圆形巷道进行计算，求得塑性半径后再乘以修正系数，得到非圆形巷道的塑性区范围，修正系数如表1所示。表1矩形巷道塑性区宽度修正系数由式（4.23）可得矩形巷道塑性区宽度为（4.24）煤柱塑性区宽度为（4.25）式中，r1为巷道外接圆半径。以Mohr－Coulomb为屈服准则所得采空区侧和巷道侧塑性区宽度公式分别为（4.26）式中，ε为三轴应力系数，ε=（1+sinφ）/（1-sinφ）。4.2.3煤柱塑性区的讨论某矿煤层厚度为6.5m，埋深350m，煤体的内摩擦角及内聚力分别为φ=30°，c=1.6MPa，煤体与顶底板中间的摩擦系数与内聚力分别为0.4、1.6MPa，矸石约束力一般忽略不计，即Pa=0，巷道支护力p一般取值范围为0.19～0.36MPa，本研究取0.24MPa，应力集中系数K1=4，矩形巷道高3.2m，宽4.5m。计算结果如表2所示。表2煤柱塑性区宽度计算对比煤的强度主要取决于内聚力c和内摩擦角φ，当其他条件不变时，煤柱塑性区的宽度将随煤的强度不同而发生改变。本研究分别取2种情况，对其进行分析。（1）保持其他条件不变，改变煤的内摩擦角，由生产实践可知煤的内摩擦角取值范围为16°～40°，故在计算中内摩擦角的取值在这一范围内选取。改变内磨擦角时煤柱塑性区宽度变化如图8所示。（2）保持其他条件不变，改变煤的内聚力，取值范围为1～9.8MPa。改变内聚力时煤柱塑性区宽度变化见图9所示。图8改变内摩擦角煤柱塑性区宽度图9改变内聚力时煤柱塑性区宽度从图8和图9可以看出，随着煤体的强度增大，煤柱塑性区宽度不断减小，2种方法的变化趋势相同。但考虑中主应力影响后，煤柱的塑性区宽度在各种情况下较以往计算的结果小。4.3煤柱弹性区宽度计算煤柱中部弹性区宽度Le由2部分组成，如图10所示，即Le=L1+L2，L1、L2分别为靠近采空区、巷道一侧的弹性区临界宽度。根据支承压力分布特点，取在弹性区内其分布特点为图10中K1、K2分别为靠近采空区、巷道一侧应力集中系数。联合弹塑性力学中的艾里应力函数以及最大主应力公式，可以得到采空区侧弹塑性区交界处的最大和最小主应力图10煤柱支承压力分布（4.27）将式（4.27）代入式（4.8）可得（4.28）式中，η为侧压系数。同理可得靠近巷道侧弹性区临界宽度（4.29）综合上诉分析，可得区段煤柱宽度表达式（4.30）5结论通过理论分析，得出了一下结论：（1）在综合分析现场实测的基础上，得出了综放面沿空煤体边缘依次为卸载松散区、塑性强化区、弹性变形区、原始应力区，并得出了沿空煤体边缘应力极限平衡区内任意一点的应力和屈服区宽度计算公式。（2）通过分析沿空煤体的垂直应力和水平应力变化，得出综放开采引起的沿煤层倾斜方向的垂直和水平应力峰值作用位置不藕合。（3）煤层倾角对支承压力峰值有一定的影响，倾角越大，上、下侧煤柱支承压力峰值位置差异就越大，同时对沿空煤体屈服区宽度产生上下侧差异。（4）在综合考虑煤柱宽度留设原则和不同因素对煤柱稳定性影响的基础上，得出区段煤柱宽度和合理确定方法。（5）考虑主应力的影响，用SMP屈服准则代替Mohr－Coulomb屈服准则。（6）基于SMP屈服准则，推导出回采区段煤柱宽度理论公式，公式中的符号具有明确的物理意义，为煤柱尺寸设计提供理论依据。（7）根据煤体的材料特征，采用适用于黏性材料的SMP屈服准则，解决Mohr－Coulomb准则存在的不足。（8）基于SMP屈服准则计算出煤柱塑性区宽度，得出以Mohr－Coulomb准则计算所得的塑性区宽度偏于保守，说明在保证护巷煤柱稳定的前提下，可进一步减小煤柱宽度。参考文献[1]王晓鸣，赵建泽．采煤概论[M]．北京：煤炭工业出版社，2005．1-8[2]费旭敏．我国沿空留巷支护技术现状及存在的问题探讨[J]．中国科技信息，2008(7)：48-51[3]钱鸣高，石平五．矿山压力与岩层控制[M]．徐州：中国矿业大学出版社，2003．22-28，218-221[4]陈金国．不稳定围岩区段煤柱尺寸的确定[J]．矿山压力与顶板管理，2000(4)：39-41[5]李洪，耿献文，朱学军．区段煤柱宽度的实测确定[J]．矿山压力与顶板管理，2005(1)：31-35[6]赵国旭，谢和平，马伟民．宽厚煤柱的稳定性研究[J]．辽宁工程技术大学学报，2004，23(1)：38-40[7]郭明友，潘春德．综放锚网沿空巷道合理小煤柱尺寸的确定[J]．矿山压力与顶板管理，2001(4)：48-49[8]徐永圻.采矿学[M]．徐州：中国矿业大学出版社，2003[9]MATSUOKAH，NAKAIT.Stress-deformationandstrengthcharacteristicsofsoilunderthreedifferenceprincipalstresses[J]．ProcofJapanSocietyofCivilEngineers，1974，232:59-70.[10]罗汀，姚仰平，松岗元.基于SMP准则的土的平面应变强度[J]．岩土力学，2000，21(4):390-393[11]朱建明，彭新坡，姚仰平，等．SMP准则在计算煤柱极限强度中的应用[J]．岩土力学，2010，31(9):2987-2990[12]赵少飞，栾茂田，许成顺，等.考虑中主应力及三向应力状态影响的地基承载力分析[J]．大连理工大学学报，2006，46(3):385-389[13]高玮.倾斜煤柱稳定性的弹塑性分析[J]．力学与实践，2001(23):23-26[14]沈明荣，陈建峰.岩体力学[M]．上海:同济大学出版社，2006[15]杨桂通.弹性力学[M]．北京:高等教育出版社，1998[16]于海勇．《综采开采的基础理论》．北京：煤炭工业出版社，1995[17]王省身．《矿井灾害防治理论与技术》．徐州：中国矿业大学出版社，1989[18]刘刚．《井巷工程》．徐州：中国矿业大学出版社，2005[19]钱鸣高、石平五．《矿山压力及岩层控制》．徐州：中国矿业大学出版社，2003[20]岑传鸿、窦林名．《采场顶板控制与监测技术》．徐州：中国矿业大学出版社，2004[21]刘泽功.通风安全工程计算机模拟与预测仁[M].北京:煤炭工业出版社，1996[22]邓军，徐精彩，王春跃.综放工作面巷道沿空侧松散煤体漏风强度测算方法研究[J].煤炭学报，1999，24(5)[23]马明，蔡国玉.大倾角综采工作面矿压显现规律[J].矿山压力与顶板管理.1997，(3)[24]张义顺，勾攀峰等.大倾角煤层走向长壁开采顶板岩层活动规律及其矿压控制[J].焦作矿业学院学报.1995，14(3)[25]钱鸣高.矿山压力及其控制[M].北京:煤炭工业出版社，1991[26]国家煤矿安全监察局.煤矿安全规程[K].北京:煤炭工业出版社，2001(5)[27]T.P.Medhurst，E.T.Brown.AstudyofthemechanicalbehaviorofcoalforPillarDesign[J]：Int.J.RockMech.Min.SCi，1998，35(8)[28]SongGuo，J.Stanus，ControlmechanismofatensionedboltsystemintheLaminatedroofwithalargehorizontalstress，16thhit.Conf.onGroundControlinMining，Morgantown，WestVirglula，1997[29]R.G.Siddall，W.J.Gale，StrataControl一ANewScienceforanoldProblem.TheAnualJointMeetingoftheInstitutionofMiningEngineersandtheInstitutionofMiningandmetallurgyatTheMajesticHotel.Harrogateon30/9/2[30]MatthewsSM，etal..Horizontalstresscontrolinundergroundcoalmines.1lthInternationalConferenceonGroundControlinMining，TheUniversityofWbllongong，N.S.W.，July1992EffectiveCorrelationofApparentGasPermeabilityinTightPorousMediaFarukCivanAbstract:GaseousflowregimesthroughtightporousmediaaredescribedbyrigorousapplicationofaunifiedHagen–Poiseuille-typeequation.Properimplementationisaccom-plishedbasedontherealizationofthepreferentialflowpathsinporousmediaasabundleoftortuouscapillarytubes.Improvedformulationsandmethodologypresentedhereareshowntoprovideaccurateandmeaningfulcorrelationsofdataconsideringtheeffectofthecharac-teristicparametersofporousmediaincludingintrinsicpermeability,porosity,andtortuosityontheapparentgaspermeability,rarefactioncoefficient,andKlinkenberggasslippagefactor.Keywords:Tightporousmedia·Apparentgaspermeability·Rarefactioncoefficient·Klinkenberggasslippagefactor·Tortuosity1IntroductionDescriptionofvariousgaseousflowregimesthroughtightporousmediahasdrawncon-siderableattentionbecausetheconvetionalDarcy’slawcannotrealisticallydescribethevarietyoftherelevantflowregimesotherthantheviscousflowregime.Forexample,Javadpouretal.(2007)havedeterminedthatgasflowinshalesdeviatesfrombehaviordescribedbytheconventionalFick’sandDarcy’slaws.Therefore,manyattemptshavebeenmadeindescribingthetransferofgasthroughtightporousmediaundervariousregimes.Sucheffortsareofutmostpracticalimportancewhendealingwithextractionofhydro-carbongasesfromunconventionalgasreservoirs,suchasshale-gasandcoal-bedmethanereservoirs.SkjetneandGudmundsson(1995),andSkjetneandAuriault(1999)theoreticallyinvestigatedthewall-slipgasflowphenomenoninporousmediabasedontheNavier-Stokesequation,butdidnotofferanycorrelationfortheKlinkenbergeffect.Wuetal.(1998)developedanalyticalproceduresfordeterminationoftheKlinkenbergcoefficientfromlaboratoryandwelltests,butdidnotprovideanycorrelation.Havingreviewedthevari-ouscorrelationsavailable,SampathandKeighin(1982)proposedanimprovedcorrelationfortheKlinkenbergcoefficientoftheN2gasinthepresenceofwaterinporousmedia,expressedhereintheconsistentSIunitsaswherebkisinPa,K∞isinm2,andφisinfraction.Thesignificanceofthiscorrelationisthatitsexponentisveryclosetothe−0.50exponentvalueobtainedbytheoreticalanalysisinthisarticle.BeskokandKarniadakis(1999)developedaunifiedHagen–Poiseuille-typeequationcoveringthefundamentalflowregimesintightporousmedia,includingcontinuumfluidflow,slipflow,transitionflow,andfreemolecularflowconditions.Abilitytodescribeallfourflowregimesinoneequationaloneisanoutstandingaccomplishment.However,theempiricalcorrelationoftheavailabledataofthedimensionlessrarefactioncoefficientisamathe-maticallycomplicatedtrigonometricfunction.Asdemonstratedinthisarticle,muchaccu-ratecorrelationofthesamedatacanbeaccomplishedusingasimpleinverse-power-lawfunction.Florenceetal.(2007)madeanattemptatutilizingtheHagen–Poiseuille-typeequationofBeskokandKarniadakis(1999)toderiveageneralexpressionfortheapparentgasperme-abilityoftightporousmediaandcorrelatedsomeessentialparametersbymeansofexper-imentaldata,includingtheKlinkenberggasslippagefactorandtheKnudsennumberbyignoringtheeffectoftortuosity,althoughitisanimportantfactorespeciallyintightporousmedia.Therefore,althoughtheiroverallmethodologyisreasonable,theirformulationanddataanalysisprocedurerequiresomecriticalimprovementsaspointedoutinthisarticlewhenattemptingtoapplytheHagen–Poiseuille-typeequation,originallyderivedforpipeflowtotight-porousmediaflow.Theirtreatmentneglectsanumberofimportantissues.TheHagen–Poiseuille-typeequationofBeskokandKarniadakis(1999)hasbeenderivedforasingle-pipeflow.Whenthebundleoftortuoustubesrealizationofthepreferentialflowpathsintight-porousmedia(Carman1956)isconsidered,thenumberandtortuosityofthepref-erentialflowpathsformedinporousmediashouldbetakenintoaccountastheimportantparameters.Further,theapproachtakenbyFlorenceetal.(2007)forcorrelationoftheKlinkenberggasslippagefactorisnotcorrectandconsequentlytheircorrelationcannotrepresentthedataoverthefullrangeofthegasmolecularmass(commonlycalledweight).Theseerrorsarecorrectedinthisarticlebyarigorousapproachwhichleadstoaveryaccuratecorrelationoftheirdatawithacoefficientofregressionalmostequalto1.0.Inaddition,thepresentanalysislendsitselftoapracticalmethodbywhichtortuosityoftightporousmediacanbedeterminedusingtheflowdataobtainedbyconventionalgasflowtests.Totheauthor’sknowledge,suchamethoddoesnotpresentlyexistintheliterature.Hence,theprimaryobjectivesofthisarticlearethreefold:(1)Correlationoftherarefactioncoefficient(2)Derivationoftheapparentgaspermeabilityequation(3)CorrelationoftheKlinkenberggasslippagefactorTheseissuesareresolvedandverifiedinthefollowingsectionsbytheoreticalmeansandrigorouslyanalyzingexperimentaldata.2CorrelationoftheRarefactionCoefficientBeskokandKarniadakis(1999)derivedaunifiedHagen–Poiseuille-typeequationforvolu-metricgasflowqhthroughasinglepipe,givenbelow:wheretheflowconditionfunctionf(Kn)isgivenbywhereKnistheKnudsennumbergivenbywhereRhandLhdenotethehydraulicradiusandlengthofflowtube,andλdenotesthemean-free-pathofmoleculesgivenby(Loeb1934)wherepistheabsolutegaspressureinPa,TistheabsolutetemperatureinK,Misthemolecularmassinkg/kmol,Rg=8314J/kmol/Kistheuniversalgasconstant,andµistheviscosityofgasinPa.s.Equation2describesthefundamentalflowregimes,namelytheconditionsofcontinuumfluidflow(Kn≤0.001),slipflow(0.001<Kn<0.1),transitionflow(0.1<Kn<10),andfreemolecularflow(Kn≥10),accordingtotheclassificationofflowregimesbySchaafandChambre(1961).However,BeskokandKarniadakis(1999)emphasizethattheKnudsennumberlimitsgiveninthisclassificationarebasedonpipeflowexperimentsandmayvarybythegeometryofothercases.TheparameterαappearinginEq.3isadimensionlessrarefactioncoefficientwhichvariesintherangeof0<α<αoover0≤Kn<∞.BeskokandKarniadakis(1999)provideanempiricalcorrelationas:whereα1=4.0,α2=0.4,andαoisanasymptoticupperlimitvalueofαasKn→∞(representingfreemolecularflowcondition),calculatedby:Here,bdenotesaslipcoefficient.Theyindicatethatα=0andb=−1intheslipflowcondition,andthereforeEq.7becomes:TheexpressionofEq.6ismathematicallycomplicated.Inthefollowingexercise,itisdemonstratedthatasimpleinversepower-lawexpressionasgivenbelowprovidesamuchmoreaccurateandpracticalalternativetoEq.6fortherangeofdataanalyzedbyBeskokandKarniadakis(1999):whereAandBareempiricalfittingconstants.NotethatEq.(9)honorsthelimitingconditionsof0<α<αoover0≤Kn<∞.Infact,itcanbeshownthatFig.1PresentapproachusingEq.9accuratelycorrelatesthedataofbothLoyalkaandHamoodi(1990)usingthetheoreticallypredictedupperlimitvalueofαo=1.358andTisonandTilford(1993)usinganadjustedupperlimitvalueofαo=1.205.Thepresentapproachyieldsaccuratefitofdatawithcoefficientsofregressionsverycloseto1.0AsillustratedinFig.1,thepresentapproachusingEq.9accuratelycorrelatesthedataofbothLoyalkaandHamoodi(1990)usingthetheoreticallypredictedupperlimitvalueofαo=1.358andTisonandTilford(1993)usinganadjustedupperlimitvalueofαo=1.205.Consequently,thedataofLoyalkaandHamoodi(1990)iscorrelatedasThus,A=0.1780andB=0.4348.Ontheotherhand,thedataofTisonandTilford(1993)iscorrelatedasFigure2showsthatthedataofLoyalkaandHamoodi(1990)canbecorrelatedaccuratelybyboththepresentcorrelationapproachusingEq.9withacoefficientofregressionofR2=0.9871andtheempiricalequationgivenbyBeskokandKarniadakis(1999)withacoefficientofregressionofR2=0.9697usingthetheoreticallypredictedvalueofαo=1.358.However,asindicatedbythecomparisonofthecoefficientsofregressions,thepresentapproachyieldsamoreaccuratecorrelationthanthatofBeskokandKarniadakis(1999).Fig.2DataofLoyalkaandHamoodi(1990)canbecorrelatedaccuratelybyboththepresentcorrelationapproachusingEq.9withacoefficientofregressionofR2=0.9871andtheempiricalequationgivenbyBeskokandKarniadakis(1999)withacoefficientofregressionofR2=0.9697usingthetheoreticallypredictedvalueofαo=1.358.However,asindicatedbythecomparisonofthecoefficientsofregressions,thepresentapproachyieldsamoreaccuratecorrelationthanthatofBeskokandKarniadakis(1999)Figure3showsthatthepresentcorrelationwithEq.9usingtheadjustedvalueofαo=1.205representsthedataofTisonandTilford(1993)accuratelywithacoefficientofregressionofR2=0.9486,closeto1.0.Incontrast,theempiricalequationgivenbyBeskokandKarniadakis(1999)usingtheadjustedvalueofαo=1.19leadstoalowerqualitycorrelationwithacoefficientofregressionofR2=0.7925,lessthan1.0.Asindicatedbythecomparisonofthecoefficientsofregressions,thepresentapproachyieldsamuchmoreaccuratecorrelationthanthatofBeskokandKarniadakis(1999)Fig.3PresentcorrelationwithEq.9usingtheadjustedvalueofαo=1.205representsthedataofTisonandTilford(1993)accuratelywithacoefficientofregressionofR2=0.9486,verycloseto1.0.However,theempiricalequationgivenbyBeskokandKarniadakis(1999)usingtheadjustedvalueofαo=1.19leadstoalowerqualitycorrelationwithacoefficientofregressionofR2=0.7925,lessthan1.0.Asindicatedbythecomparisonofthecoefficientsofregressions,thepresentapproachyieldsamuchmoreaccuratecorrelationthanthatofBeskokandKarniadakis(1999)Itisconcludedthatthepresentsimpleinversepower-lawexpressionyieldsmoreaccuratecorrelationofthedimensionlessrarefactioncoefficientwithcoefficientsofregressionsverycloseto1.0inbothcasesandthereforemoresuitablethantheempiricalequationgivenbyBeskokandKarniadakis(1999).3DerivationoftheApparentGasPermeabilityEquationTheBeskokandKarniadakis(1999)unifiedHagen–Poiseuille-typeequation(Eq.2)derivedforflowqhthroughasinglepipecannowbeappliedforthevolumetricgasflowthroughabundleoftortuousflowpathsas:whereLhdenotesthelengthofthetortuousflowpathsandndenotesthenumberofpreferentialhydraulicflowpathsformedinporousmedia.Thelattercanbeapproximatedbyroundingthevaluecalculatedbythefollowingequationtothenearestinteger(Civan2007)whereφisporosityandAbisthebulksurfaceareaofporousmedianormaltoflowdirection.Thesymbolqdenotesthetotalvolumetricflowthroughporousmedia.ItcanbedescribedmacroscopicallybyaDarcy-typegradient-lawofflow,wheretheflowisassumedproportionaltothepressuregradientgivenbywhereKdenotestheapparentgaspermeabilityoftightporousmediaandListhelengthofbulkporousmedia.NotethatEq.16isusedfrequently,althoughitisnotrigorouslycorrect.ThecorrectionsrequiredonEq.16,suchastheeffectofthethresholdpressuregradient(PradaandCivan1999),areprovidedelsewherebyCivan(2008),butareignoredheretoavoidunnecessarycomplicationsforpurposesofthepresentdiscussionandderivation.Nevertheless,Civan(2008)arguedthatsuchcorrectionsareusuallynegligibleforgaseousflow,althoughthevalidityofsuchclaimfortightporousmedianeedsdetailedinvestigation.ThetortuosityfactorτhofhydraulicpreferentialflowpathsinporousmediaisdefinedbyHence,thefollowingexpressioncanbederivedfortheapparentgaspermeabilitybycombiningEqs.14–17:whereK∞denotestheliquidpermeabilityofporousmediagivenbyEquation19canberearrangedtoexpressthehydraulictubediameterasAlternatively,itcanbeshownforapackofporousmediagrainsthat(Civan2007)Where∑gdenotesthespecificgrainsurfaceinporousmedia.Hence,equatingEqs.20and21yieldsthewell-knownKozeny-Carmanequationofpermeabilityas(Carman1956;Civan2007)Thefunctionf(Kn)doesnotappearinEq.22becausetheintrinsicpermeabilityK∞ofporousmediaisonlyapropertyofporousmediaanddoesnotdependonthefluidtypeandflowcondition.TheformulationpresentedbyFlorenceetal.(2007)fortheapparentgaspermeabilityoftightporousmediaconsideredflowthroughasinglestraightpipeandthereforeneedscorrections,accordingtotheproceduredescribedabove.4CorrelationoftheKlinkenbergGasSlippageFactorUnderslipflowconditions,α=0andb=−1,andthereforeEq.18combinedwithEq.3canbewrittenas:Florenceetal.(2007)approximatethisequationforKn<<1,uponsubstitutionoftheKnnumberexpressionEq.4as:whereastheequationofKlinkenberg(1941)isgivenby:wherebkistheslippagefactor.ComparingEqs.24and25yieldsanexpressionasSubstitutingEqs.5and20intoEq.26resultsin:wherethecoefficientβisdefinedbyFigure4indicatesthatthepresentEq.28yieldsanaccuratecorrelationforthedataofFlorenceetal.(2007)involvingtheflowofvariousgases(hydrogen,helium,nitrogen,air,andcarbondioxide)inagivenporousmedium(sandstone)underisothermalconditions(assumedas298K)asthefollowing:whereβisinPa.m,μinPa.s,andMisinkg/kmol.TheresultsreportedinTable1indicatethatthevaluescalculatedbyEq.29obtainedbycorrelatingtheβcoefficientdividedbytheviscosityversusthesquare-rootofthemolecularmass,accordingtoEq.28accuratelymatchthedataofFlorenceetal.(2007).Incontrast,thevaluescalculatedusingthecorrelationdevelopedbyFlorenceetal.(2007),alsogiveninTable1,differsignificantlyfromthesamedatabecausetheycorrelatedtheβcoefficientdirectly(i.e.withoutdividingbythegasviscosity)byaninverse-power-lawfunctionofthemolecularmass,expressedhereintheconsistentSIunitsas:whereβisinPa.mandMisinkg/kmol.InviewofEq.28,theirapproachisnotrigorouslycorrectbecausetheeffectofviscositywasignoredintheircorrelation.NotethatEqs.26–28canbeusedtoderiveanexpressionfortheKnudsennumberasForexample,applyingthecorrelationgivenbyEq.29toEq.31yields:ThereforeFig.4Presentapproachyieldsanaccuratecorrelationofthe[(β/μ),m/s]parameterversusthemolecularmass(M,kg/kmol)forthedataofFlorenceetal.(2007)forflowofvariousgases(hydrogen,helium,nitrogen,air,andcarbondioxide)insandstoneunder298Kisothermalconditions.Thecoefficientofregressionisalmostequalto1.0indicatingthatthepresentcorrelationapproachisrigorousTable1ComparisonoftheβvaluesindicatethatthepresentcorrelationapproachreproducesthedatawithhighaccuracyIncontrast,thevaluescalculatedbythecorrelationdevelopedbyFlorenceetal.(2007)differfromthedatasignificantlywherebkisinPa,μinPa.s,Misinkg/kmol,pisinPa,K∞isinm2,andφisfraction.WhenappliedfortheN2gas,Eq.33yieldsThecoefficient0.0094ofthisequationisinthesameorderofmagnitudeasthecoefficient0.0414ofEq.1ofSampathandKeighin(1982)butdiffersbyafactorof4.4.Thismaybeexplainedduetothe−0.53valueoftheexponentofEq.1beingdifferentthantheexponentvalueof−0.50ofEq.34andtheN2gasflowtestsconductedinthepresenceofwaterinporousmediainsteadofthedryporousmediaconsideredbyFlorenceetal.(2007).Asabonus,Eq.29revealsthatthetortuosityτhofthepreferentialhydraulicflowpathsintheporousmediumisgivenby,expressedintheconsistedSIunitswhereRgis8314J/kmol-KandTisinK.Equation35